Mapeo cuasiconformal

En el análisis matemático complejo , una aplicación cuasiconforme , introducida por Grötzsch (1928) y nombrada por Ahlfors (1935), es un homeomorfismo (débilmente diferenciable) entre dominios planos que, en primer orden, lleva desde círculos pequeños hasta elipses pequeñas de excentricidad acotada .

Intuitivamente, sea f  : D  →  D ′ un homeomorfismo que preserva la orientación entre conjuntos abiertos en el plano. Si f es continuamente diferenciable , entonces es K -cuasiconformal si la derivada de f en cada punto convierte círculos en elipses con excentricidad acotada por K.

Supóngase f  : D  →  D ′ donde D y D ′ son dos dominios en C . Hay una variedad de definiciones equivalentes, dependiendo de la suavidad requerida de f . Si se supone que f tiene derivadas parciales continuas , entonces f es cuasiconforme siempre que satisfaga la ecuación de Beltrami

para algún valor complejo de Lebesgue medible μ que satisfaga (Bers 1977). Esta ecuación admite una interpretación geométrica. Equipar D con el tensor métrico${\displaystyle \sup |\mu |<1}$

${\displaystyle ds^{2}=\Omega (z)^{2}\izquierda|\,dz+\mu (z)\,d{\bar {z}}\derecha|^{2},}$

donde Ω( z ) > 0. Entonces f satisface ( 1 ) precisamente cuando es una transformación conforme de D equipado con esta métrica al dominio D ′ equipado con la métrica euclidiana estándar. La función f se llama entonces μ-conforme . De manera más general, la diferenciabilidad continua de f puede reemplazarse por la condición más débil de que f esté en el espacio de Sobolev W ^1,2 ( D ) de funciones cuyas derivadas distribucionales de primer orden están en L ² ( D ) . En este caso, se requiere que f sea una solución débil de ( 1 ). Cuando μ es cero en casi todas partes, cualquier homeomorfismo en W ^1,2 ( D ) que sea una solución débil de ( 1 ) es conforme.

Sin recurrir a una métrica auxiliar, consideremos el efecto del retroceso bajo f de la métrica euclidiana habitual. La métrica resultante viene dada por

${\displaystyle \left|{\frac {\parcial f}{\parcial z}}\right|^{2}\left|\,dz+\mu (z)\,d{\bar {z}}\right|^{2}}$

que, en relación con la métrica euclidiana de fondo , tiene valores propios${\displaystyle dzd{\bar {z}}}$

${\displaystyle (1+|\mu |)^{2}\textstyle {\left|{\frac {\parcial f}{\parcial z}}\right|^{2}},\qquad (1-|\mu |)^{2}\textstyle {\left|{\frac {\parcial f}{\parcial z}}\right|^{2}}.}$

Los valores propios representan, respectivamente, la longitud al cuadrado del eje mayor y menor de la elipse obtenida al tirar hacia atrás a lo largo del círculo unitario en el plano tangente.

En consecuencia, la dilatación de f en un punto z se define por

${\displaystyle K(z)={\frac {1+|\mu (z)|}{1-|\mu (z)|}}.}$

El supremo (esencial) de K ( z ) está dado por

${\displaystyle K=\sup _{z\in D}|K(z)|={\frac {1+\|\mu \|_{\infty }}{1-\|\mu \|_{ \infty }}}}$

y se llama dilatación de  f .

Una definición basada en la noción de longitud extremal es la siguiente: si existe una K finita tal que para cada conjunto Γ de curvas en D la longitud extremal de Γ es como máximo K veces la longitud extremal de { f  o γ : γ ∈  Γ }, entonces f es K -cuasiconformal.

Si f es K -cuasiconformal para algún K finito , entonces f es cuasiconformal.

Si K > 1 entonces las funciones x + iy ↦ Kx + iy y x + iy ↦ x + iKy son ambas cuasiconformales y tienen dilatación constante K.

Si s > −1, entonces la función es cuasiconformal (aquí z es un número complejo ) y tiene dilatación constante . Cuando s ≠ 0, este es un ejemplo de un homeomorfismo cuasiconformal que no es suave. Si s = 0, este es simplemente el mapa identidad. ${\displaystyle z\mapsto z\,|z|^{s}}$${\displaystyle \max(1+s,{\frac {1}{1+s}})}$

Un homeomorfismo es 1-cuasiconformal si y solo si es conforme. Por lo tanto, la función identidad es siempre 1-cuasiconformal. Si f  : D → D ′ es K -cuasiconformal y g  : D ′ → D ′′ es K ′-cuasiconformal, entonces g  o  f es KK ′-cuasiconformal. La inversa de un homeomorfismo K -cuasiconformal es K -cuasiconformal. El conjunto de funciones 1-cuasiconformales forma un grupo bajo composición.

El espacio de aplicaciones K-cuasiconformales desde el plano complejo a sí mismo, que asigna tres puntos distintos a tres puntos dados, es compacto.

De importancia central en la teoría de aplicaciones cuasiconformales en dos dimensiones es el teorema de aplicación medible de Riemann , demostrado por Lars Ahlfors y Lipman Bers. El teorema generaliza el teorema de aplicación de Riemann de homeomorfismos conformes a cuasiconformales, y se enuncia de la siguiente manera. Supóngase que D es un dominio simplemente conexo en C que no es igual a C , y supóngase que μ : D → C es medible según Lebesgue y satisface . Entonces hay un homeomorfismo cuasiconforme f de D al disco unidad que está en el espacio de Sobolev W ^1,2 ( D ) y satisface la ecuación de Beltrami correspondiente ( 1 ) en el sentido distribucional . Al igual que con el teorema de aplicación de Riemann, esta f es única hasta 3 parámetros reales. ${\displaystyle \|\mu \|_{\infty }<1}$

Recientemente, la geometría cuasiconforme ha atraído la atención de diferentes campos, como las matemáticas aplicadas, la visión por computadora y la imagenología médica. Se ha desarrollado la geometría cuasiconforme computacional, que extiende la teoría cuasiconforme a un entorno discreto. Ha encontrado varias aplicaciones importantes en el análisis de imágenes médicas, la visión por computadora y los gráficos.

• Coordenadas isotérmicas
• Mapa cuasirregular
• Función pseudoanalítica
• Espacio de Teichmüller
• La indicadora de Tissot

• Ahlfors, Lars (1935), "Zur Theorie der Überlagerungsflächen", Acta Mathematica (en alemán), 65 (1): 157–194, doi : 10.1007/BF02420945 , ISSN  0001-5962, JFM  61.0365.03, Zbl  0012.17204.
• Ahlfors, Lars V. (2006) [1966], Lectures on quasiconformal mappings, Serie de conferencias universitarias, vol. 38 (2.ª ed.), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3644-6, MR  2241787, Zbl  1103.30001, (reseñas de la primera edición: MR 0200442, Zbl  1103.30001).
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