Tractrix

En geometría , una tractriz ( del latín trahere , ' tirar, arrastrar ' ; plural: tractrices ) es la curva a lo largo de la cual se mueve un objeto, bajo la influencia de la fricción , cuando es arrastrado sobre un plano horizontal por un segmento de línea unido a un punto de tracción (el tractor ) que se mueve perpendicularmente a la línea inicial entre el objeto y el tractor a una velocidad infinitesimal . Es, por lo tanto, una curva de persecución . Fue introducida por primera vez por Claude Perrault en 1670, y posteriormente estudiada por Isaac Newton (1676) y Christiaan Huygens (1693). ^{[ 1 ]} 

Supongamos que el objeto se coloca en ( a , 0) y el tirador en el origen , de modo que a es la longitud del hilo de tracción. (En el ejemplo que se muestra a la derecha, el valor de a es 4). Supongamos que el tirador comienza a moverse a lo largo del eje y en la dirección positiva. En cada instante, el hilo será tangente a la curva descrita por el objeto, de modo que queda completamente determinado por el movimiento del tirador. Matemáticamente, si las coordenadas del objeto son ( x , y ) , entonces por el teorema de Pitágoras la coordenada y del tirador es${\displaystyle y+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}$Escribir que la pendiente del hilo es igual a la de la tangente a la curva conduce a la ecuación diferencial.

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}{x}}}$

con la condición inicial y ( a ) = 0 . Su solución es

${\displaystyle y=\int _{x}^{a}{\frac {\sqrt {a^{2}-t^{2}}}{t}}\,dt=\!a\ln {\frac {a+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}{x}}-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}.}$

Si, en cambio, el elemento que tira se mueve hacia abajo desde el origen, entonces se debe eliminar el signo de la ecuación diferencial y, por lo tanto, insertarlo en la solución. Cada una de las dos soluciones define una rama de la tractriz; se encuentran en el punto de cúspide ( a , 0) .

El primer término de esta solución también se puede escribir

${\displaystyle a\operatorname {arsech} {\frac {x}{a}},}$

donde arsech es la función secante hiperbólica inversa .

La propiedad esencial de la tractriz es la constancia de la distancia entre un punto P de la curva y la intersección de la recta tangente en P con la asíntota de la curva.

La tractriz puede considerarse de múltiples maneras:

1. Es el lugar geométrico del centro de una espiral hiperbólica que rueda (sin deslizarse) sobre una línea recta.
2. Es la involuta de la función catenaria , que describe una cuerda totalmente flexible, inelástica y homogénea unida a dos puntos que está sometida a un campo gravitatorio . La catenaria tiene la ecuación y ( x ) = a cosh ⁠ x / a ⁠ .
3. La trayectoria determinada por el punto medio del eje trasero de un automóvil tirado por una cuerda a velocidad constante y con dirección constante (inicialmente perpendicular al vehículo).
4. Es una curva (no lineal) que un círculo de radio a que rueda sobre una línea recta, con su centro en el eje x , interseca perpendicularmente en todo momento.

La función admite una asíntota horizontal. La curva es simétrica con respecto al eje y . El radio de curvatura es r = a cot ⁠ x / y ⁠ .

Una gran implicación de la tractriz fue el estudio de su superficie de revolución alrededor de su asíntota: la pseudoesfera . Estudiada por Eugenio Beltrami en 1868, ^{[ 2 ]} como una superficie de curvatura gaussiana negativa constante , la pseudoesfera es un modelo local de geometría hiperbólica . La idea fue desarrollada posteriormente por Kasner y Newman en su libro Matemáticas y la imaginación , donde muestran un tren de juguete arrastrando un reloj de bolsillo para generar la tractriz. ^{[ 3 ]}

• La curva puede ser parametrizada por la ecuación${\displaystyle x=t-\tanh(t),y=1/{\cosh(t)}}$. ^{[ 4 ]}
• Debido a la forma geométrica en que fue definida, la tractriz tiene la propiedad de que el segmento de su tangente , entre la asíntota y el punto de tangencia, tiene una longitud constante a .
• La longitud de arco de una rama entre x = x ₁ y x = x ₂ es a ln ⁠ y ₁ / y ₂ ⁠ .
• El área entre la tractriz y su asíntota es ⁠ π a ² / 2 ⁠ , que se puede encontrar usando integración o el teorema de Mamikon .
• La envolvente de las normales de la tractriz (es decir, la evoluta de la tractriz) es la catenaria (o curva de cadena ) dada por y = a cosh ⁠ x / a ⁠ .
• La superficie de revolución creada al hacer girar una tractriz alrededor de su asíntota es una pseudoesfera .
• La tractriz es una curva trascendental ; no puede definirse mediante una ecuación polinómica.

En 1927, P.  G.  A.  H. Voigt patentó un diseño de altavoz de bocina basado en la suposición de que un frente de onda que viaja a través de la bocina es esférico de radio constante. La idea es minimizar la distorsión causada por la reflexión interna del sonido dentro de la bocina. La forma resultante es la superficie de revolución de una tractrix. ^{[ 5 ]} El diseño de Voigt eliminó el molesto sonido característico de los diseños de bocina anteriores, especialmente las bocinas cónicas, y así revitalizó el interés en el altavoz de bocina. ^{[ 6 ]} Klipsch Audio Technologies ha utilizado el diseño tractrix para la gran mayoría de sus altavoces, y muchos diseñadores de altavoces volvieron a la tractrix en el siglo XXI, creando un segmento de mercado audiófilo . La bocina tractrix se diferencia de la bocina exponencial más común en que proporciona una mayor dispersión de la energía de alta frecuencia y soporta las frecuencias bajas con mayor fuerza. ^{[ 7 ]}

Una aplicación importante se encuentra en la tecnología de conformado de chapa metálica . En particular, se utiliza un perfil tractrix para la esquina de la matriz sobre la cual se dobla la chapa metálica durante el embutido profundo. ^{[ 8 ]}

Un diseño de correa dentada y polea proporciona una mayor eficiencia en la transmisión de potencia mecánica mediante la forma de catenaria tractrix de sus dientes. ^{[ 9 ]} Esta forma minimiza la fricción de los dientes de la correa al engranar con la polea, ya que los dientes móviles se acoplan y desacoplan con un contacto deslizante mínimo. Los diseños originales de correas de distribución utilizaban formas de dientes trapezoidales o circulares más simples , que provocaban un deslizamiento y una fricción significativos.

• En octubre-noviembre de 1692, Christiaan Huygens describió tres máquinas de dibujo de tractriz. ^{[ 10 ]}
• En 1693, Gottfried Wilhelm Leibniz ideó una «máquina de tracción universal» que, en teoría, podía integrar cualquier ecuación diferencial de primer orden . ^{[ 11 ]} El concepto consistía en un mecanismo de computación analógica que implementaba el principio de tracción. El dispositivo era impracticable para su construcción con la tecnología de la época de Leibniz y nunca se materializó.
• En 1706, John Perks construyó una máquina de tracción para realizar la cuadratura hiperbólica . ^{[ 12 ]}
• En 1729, Giovanni Poleni construyó un dispositivo de tracción que permitía dibujar funciones logarítmicas . ^{[ 13 ]}

La historia de todas estas máquinas se puede consultar en un artículo de HJM Bos . ^{[ 10 ]}

• Cisoide de Diocles , una curva algebraica que se asemeja a la tractriz.
• La superficie de Dini
• Funciones hiperbólicas para tanh , sech , csch , arcosh
• Logaritmo natural para ln
• Función de signo para sgn
• Funciones trigonométricas para seno , coseno , tangente , arcocot y csc.

• Kasner, Edward; Newman, James (1940). Matemáticas y la imaginación . Simon & Schuster . págs. 141–143 . 
• Lawrence, J. Dennis (1972). Un catálogo de curvas planas especiales . Dover Publications. pp. 5, 199. ISBN  0-486-60288-5.

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Tractrix" , Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
• "Tractrix" . PlanetMath .
• "Curvas famosas" . PlanetMath .
• Tractrix en MathWorld
• Módulo: La ODA del reloj de bolsillo de Leibniz en PHASER