Evolvente

Una involuta (también conocida como evolvente ) es un tipo particular de curva que depende de otra forma o curva. Un ejemplo de la involuta de una curva es el lugar geométrico de un punto en un trozo de cuerda tensa cuando la cuerda se desenrolla o se enrolla alrededor de la curva. ^{[ 1 ]}

La evoluta de una involuta es la curva original.

Se generaliza mediante la familia de curvas de la ruleta . Es decir, las involutas de una curva son las ruletas de la curva generada por una línea recta.

Las nociones de involuta y evoluta de una curva fueron introducidas en las matemáticas y la física por Christiaan Huygens en su obra titulada Horologium oscillatorium sive de motu pendulorum ad horologia aptato demonstrationes geometricae (1673), donde demostró que la involuta de una cicloide sigue siendo una cicloide, proporcionando así un método para construir el péndulo cicloidal , que tiene la útil propiedad de que su período es independiente de la amplitud de oscilación. ^{[ 2 ]}

Sea una curva regular en el plano con su curvatura en ningún punto 0 y , entonces la curva con la representación paramétrica ${\displaystyle {\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}]}$${\displaystyle a\in (t_{1},t_{2})}$

${\displaystyle {\vec {C}}_{a}(t)={\vec {c}}(t)-{\frac {{\vec {c}}'(t)}{|{\vec {c}}'(t)|}}\;\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw}$

es una involuta de la curva dada.

Si se añade un número arbitrario pero fijo a la integral, se obtiene una involuta que corresponde a una cuerda extendida (como una bola de hilo de lana que ya tiene cierta longitud de hilo colgando antes de desenrollarse). Por lo tanto, la involuta puede variar mediante una constante y/o añadiendo un número a la integral (véase Involutas de una parábola semicúbica ). ${\displaystyle l_{0}}$${\displaystyle {\Bigl (}\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw{\Bigr )}}$${\displaystyle l_{0}}$${\displaystyle a}$

Si uno consigue ${\displaystyle {\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{T}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=x(t)-{\frac {x'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\int _{a}^{t}{\sqrt {x'(w)^{2}+y'(w)^{2}}}\,dw\\Y(t)&=y(t)-{\frac {y'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\int _{a}^{t}{\sqrt {x'(w)^{2}+y'(w)^{2}}}\,dw\;.\end{aligned}}}$

Para derivar propiedades de una curva regular, es ventajoso suponer que la longitud de arco es el parámetro de la curva dada, lo que lleva a las siguientes simplificaciones: y , con la curvatura y la normal unitaria. Se obtiene para la evolvente: ${\displaystyle s}$${\displaystyle \;|{\vec {c}}'(s)|=1\;}$${\displaystyle \;{\vec {c}}''(s)=\kappa (s){\vec {n}}(s)\;}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle {\vec {n}}}$

${\displaystyle {\vec {C}}_{a}(s)={\vec {c}}(s)-{\vec {c}}'(s)(sa)\ }$y

${\displaystyle {\vec {C}}_{a}'(s)=-{\vec {c}}''(s)(sa)=-\kappa (s){\vec {n}}(s)(sa)\;}$

y la declaración:

• En este punto la evolvente no es regular (porque ),${\displaystyle {\vec {C}}_{a}(a)}$${\displaystyle |{\vec {C}}_{a}'(a)|=0}$

y de lo siguiente: ${\displaystyle \;{\vec {C}}_{a}'(s)\cdot {\vec {c}}'(s)=0\;}$

• La normal de la involuta en el punto es la tangente de la curva dada en el punto .${\displaystyle {\vec {C}}_{a}(s)}$${\displaystyle {\vec {c}}(s)}$
• Las involutas son curvas paralelas , debido a y al hecho de que es la normal unitaria en .${\displaystyle {\vec {C}}_{a}(s)={\vec {C}}_{0}(s)+a{\vec {c}}'(s)}$${\displaystyle {\vec {c}}'(s)}$${\displaystyle {\vec {C}}_{0}(s)}$

La familia de involutas y la familia de tangentes a la curva original conforman un sistema de coordenadas ortogonales . Por consiguiente, es posible construir involutas gráficamente. Primero, se traza la familia de líneas tangentes. Luego, se puede construir una involuta manteniendo siempre la ortogonalidad a la línea tangente que pasa por el punto.

Esta sección se basa en el trabajo de Huygens y Barrow. ^{[ 3 ]}

En las involutas, existen generalmente dos tipos de cúspides. El primer tipo se encuentra en el punto donde la involuta toca la propia curva. Esta es una cúspide de orden 3/2. El segundo tipo se encuentra en el punto donde la curva presenta un punto de inflexión. Esta es una cúspide de orden 5/2.

Esto se puede ver visualmente construyendo un mapa definido por donde es la parametrización de la longitud de arco de la curva, y es el ángulo de pendiente de la curva en el punto . Esto mapea el plano 2D en una superficie en el espacio 3D. Por ejemplo, esto mapea el círculo en el hiperboloide de una hoja . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$$${\displaystyle (s,t)\mapsto (x(s)+t\cos(\theta ),y(s)+t\sin(\theta ),t)}$$${\displaystyle (x(s),y(s))}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle (x(s),y(s))}$

Mediante este mapa, las involutas se obtienen en un proceso de tres pasos: mapear a , luego a la superficie en , y luego proyectarla hacia abajo eliminando el eje z: donde es cualquier constante real. ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$$${\displaystyle s\mapsto (s,l-s)\mapsto f(s,l-s)\mapsto (f(s,l-s)_{x},f(s,l-s)_{y})}$$${\displaystyle l}$

Dado que el mapeo tiene derivada distinta de cero en todos los puntos , las cúspides de la involuta solo pueden ocurrir donde la derivada de es vertical (paralela al eje z), lo que solo puede ocurrir donde la superficie en tiene un plano tangente vertical. ${\displaystyle s\mapsto f(s,l-s)}$${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$${\displaystyle s\mapsto f(s,l-s)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

En términos generales, la superficie tiene planos tangentes verticales solo en dos casos: donde la superficie toca la curva y donde la curva tiene un punto de inflexión.

Para el primer tipo, se puede comenzar con la evolvente de un círculo, con la ecuación entonces establecida , y expandir para valores pequeños de , para obtener así la curva de orden 3/2 , una parábola semicúbica . $${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=r(\cos t+(t-a)\sin t)\\Y(t)&=r(\sin t-(t-a)\cos t)\end{aligned}}}$$${\displaystyle a=0}$${\displaystyle t}$$${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=r+rt^{2}/2+O(t^{4})\\Y(t)&=rt^{3}/3+O(t^{5})\end{aligned}}}$$${\displaystyle Y^{2}-{\frac {8}{9r}}(X-r)^{3}+O(Y^{8/3})=0}$

Para el segundo tipo, consideremos la curva . El arco desde hasta tiene longitud , y la tangente en tiene ángulo . Por lo tanto, la involuta que comienza desde a una distancia tiene la fórmula paramétrica . Al expandirla hasta el orden , obtenemos que es una cúspide de orden 5/2. Explícitamente, se puede resolver para la expansión polinómica que satisface : o , lo que muestra claramente la forma de cúspide. ${\displaystyle y=x^{3}}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=s}$${\displaystyle \int _{0}^{s}{\sqrt {1+(3t^{2})^{2}}}dt=s+{\frac {9}{10}}s^{5}-{\frac {9}{8}}s^{9}+O(s^{13})}$${\displaystyle x=s}$${\displaystyle \theta =\arctan(3s^{2})}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle L}$$${\displaystyle {\begin{cases}x(s)=s+(L-s-{\frac {9}{10}}s^{5}+\cdots )\cos \theta \\y(s)=s^{3}+(L-s-{\frac {9}{10}}s^{5}+\cdots )\sin \theta \end{cases}}}$$${\displaystyle s^{5}}$$${\displaystyle {\begin{cases}x(s)=L-{\frac {9}{2}}Ls^{4}+({\frac {9}{2}}L-{\frac {9}{10}})s^{5}+O(s^{6})\\y(s)=3Ls^{2}-2s^{3}+O(s^{6})\end{cases}}}$$${\displaystyle x,y}$$${\displaystyle \left(x-L+{\frac {y^{2}}{2L}}\right)^{2}-\left({\frac {9}{2}}L+{\frac {51}{10}}\right)^{2}\left({\frac {y}{3L}}\right)^{5}+O(s^{11})=0}$$$${\displaystyle x=L-{\frac {y^{2}}{2L}}\pm \left({\frac {9}{2}}L+{\frac {51}{10}}\right)\left({\frac {y}{3L}}\right)^{2.5}+O(y^{2.75}),\quad \quad y\geq 0}$$

Estableciendo , obtenemos la evolvente que pasa por el origen. Es especial ya que no contiene cúspides. Mediante desarrollo en serie, tiene una ecuación paramétrica o${\displaystyle L=0}$$${\displaystyle {\begin{cases}x(s)={\frac {18}{5}}s^{5}-{\frac {126}{5}}s^{9}+O(s^{13})\\y(s)=-2s^{3}+{\frac {54}{5}}s^{7}-{\frac {318}{5}}s^{11}+O(s^{15})\end{cases}}}$$${\displaystyle x=-{\frac {18}{5\cdot 2^{1/3}}}y^{5/3}+O(y^{3})}$

Para un círculo con representación paramétrica , se tiene . Por lo tanto , y la longitud del camino es . ${\displaystyle (r\cos(t),r\sin(t))}$${\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(-r\sin t,r\cos t)}$${\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=r}$${\displaystyle r(t-a)}$

Al evaluar la ecuación dada anteriormente para la evolvente, se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=r(\cos(t+a)+t\sin(t+a))\\Y(t)&=r(\sin(t+a)-t\cos(t+a))\end{aligned}}}$

para la ecuación paramétrica de la evolvente del círculo.

El término es opcional; sirve para establecer el punto de inicio de la curva en el círculo. La figura muestra involutas para (verde), (rojo), (morado) y (azul claro). Las involutas parecen espirales de Arquímedes , pero en realidad no lo son. ${\displaystyle a}$${\displaystyle a=-0.5}$${\displaystyle a=0}$${\displaystyle a=0.5}$${\displaystyle a=1}$

La longitud de arco para y de la evolvente es ${\displaystyle a=0}$${\displaystyle 0\leq t\leq t_{2}}$

${\displaystyle L={\frac {r}{2}}t_{2}^{2}.}$

La ecuación paramétrica describe una parábola semicúbica . De se obtiene y . Extender la cadena mediante simplifica considerablemente los cálculos posteriores, y se obtiene ${\displaystyle {\vec {c}}(t)=({\tfrac {t^{3}}{3}},{\tfrac {t^{2}}{2}})}$${\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(t^{2},t)}$${\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=t{\sqrt {t^{2}+1}}}$${\displaystyle \int _{0}^{t}w{\sqrt {w^{2}+1}}\,dw={\frac {1}{3}}{\sqrt {t^{2}+1}}^{3}-{\frac {1}{3}}}$${\displaystyle l_{0}={1 \over 3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=-{\frac {t}{3}}\\Y(t)&={\frac {t^{2}}{6}}-{\frac {1}{3}}.\end{aligned}}}$

Al eliminar t se obtiene que esta involuta es una parábola . ${\displaystyle Y={\frac {3}{2}}X^{2}-{\frac {1}{3}},}$

Las otras involutas son, por lo tanto, curvas paralelas de una parábola, y no son parábolas, ya que son curvas de grado seis (véase Curva paralela § Ejemplos adicionales ).

Para la catenaria , el vector tangente es , y, como su longitud es . Por lo tanto, la longitud del arco desde el punto (0, 1) es ${\displaystyle (t,\cosh t)}$${\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(1,\sinh t)}$${\displaystyle 1+\sinh ^{2}t=\cosh ^{2}t,}$${\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=\cosh t}$${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{t}\cosh w\,dw=\sinh t.}$

Por lo tanto, la evolvente que comienza en (0, 1) está parametrizada por

${\displaystyle (t-\tanh t,1/\cosh t),}$

y por lo tanto es una tractriz .

Las demás involutas no son tractrices, ya que son curvas paralelas de una tractriz.

La representación paramétrica describe una cicloide . A partir de , se obtiene (después de haber utilizado algunas fórmulas trigonométricas) ${\displaystyle {\vec {c}}(t)=(t-\sin t,1-\cos t)}$${\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(1-\cos t,\sin t)}$

${\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=2\sin {\frac {t}{2}},}$

y

${\displaystyle \int _{\pi }^{t}2\sin {\frac {w}{2}}\,dw=-4\cos {\frac {t}{2}}.}$

Por lo tanto, las ecuaciones de la involuta correspondiente son

${\displaystyle X(t)=t+\sin t,}$

${\displaystyle Y(t)=3+\cos t,}$

que describen la cicloide roja desplazada del diagrama. Por lo tanto

• Las involutas de la cicloide son curvas paralelas de la cicloide.${\displaystyle (t-\sin t,1-\cos t)}$

${\displaystyle (t+\sin t,3+\cos t).}$

(Las curvas paralelas de una cicloide no son cicloides).

La evoluta de una curva dada consiste en los centros de curvatura de . Entre involutas y evolutas se cumple la siguiente afirmación: ^{[ 4 ] [ 5 ]}${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle c_{0}}$

Una curva es la evoluta de cualquiera de sus involutas.

Los perfiles más comunes de los dientes de los engranajes modernos son las involutas circulares. En un sistema de engranajes de involuta , los dientes de dos engranajes que engranan entran en contacto en un único punto instantáneo que sigue una única línea de acción recta. Las fuerzas que ejercen los dientes en contacto entre sí también siguen esta línea y son perpendiculares a los dientes. El sistema de engranajes de involuta que mantiene estas condiciones cumple con la ley fundamental del engranaje : la relación de velocidades angulares entre los dos engranajes debe permanecer constante.

Con dientes de otras formas, las velocidades y fuerzas relativas aumentan y disminuyen a medida que los dientes sucesivos engranan, lo que produce vibraciones, ruido y un desgaste excesivo. Por esta razón, casi todos los sistemas de engranajes planos modernos son de perfil evolvente o del sistema de engranajes cicloidales relacionado . ^{[ 6 ]}

La involuta de un círculo también es una forma importante en la compresión de gases , ya que un compresor scroll puede construirse a partir de esta forma. Los compresores scroll generan menos ruido que los compresores convencionales y han demostrado ser bastante eficientes .

El reactor de isótopos de alto flujo utiliza elementos combustibles con forma de evolvente, ya que estos permiten un canal de ancho constante entre ellos para el refrigerante.

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