Problema de pastoreo de cabras

Sea la longitud del cable R  =  160  yardas y el radio del silo r  = R / (2π ) yardas . La evolvente en el cuarto cuadrante es un arco casi circular. Se puede imaginar que un segmento circular con el mismo perímetro (longitud de arco) encerraría casi la misma área; el radio y, por lo tanto, el área de ese segmento se podrían calcular fácilmente. La longitud de arco de una evolvente viene dada por  ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}r\theta ^{2}}$por lo tanto, la longitud de arco |FG| de la evolvente en el cuarto cuadrante es${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}r{\Big [}\theta ^{2}{\Big ]}_{{\tfrac {3\pi }{2}}-\varphi }^{2\pi }}$. Sea c la longitud de un segmento de arco de la evolvente entre el eje y y una línea vertical tangente al silo en θ  =  3 π /2; es el arco subtendido por Φ . ${\displaystyle c\approx r}$(Si bien el arco es ligeramente más largo que r , la diferencia es insignificante). Por lo tanto, ${\displaystyle |FG|={\tfrac {1}{2}}\cdot 25.46\cdot (6.28^{2}-4.71^{2})+25.46=245.38}$La longitud de un arco circular es${\displaystyle r\theta }$y θ aquí es π /2 radianes del cuarto cuadrante, por lo tanto${\displaystyle r{\tfrac {\pi }{2}}=245,38}$, r el radio del arco circular es${\displaystyle 156.21}$y el área del segmento circular delimitado por él es${\displaystyle {\tfrac {\pi r^{2}}{4}}=19165}$. El área de la involuta excluye la mitad del área del silo (1018,61) en el cuarto cuadrante, por lo que su área aproximada es 18146, y el área pastoreable incluye el semicírculo de radio R , (${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi R^{2}}$) totales${\displaystyle 2\cdot 18146+40212=76505}$Eso supone 249 yardas cuadradas más que el área correcta de 76256, un error de tan solo el 0,33%. Este método de aproximación puede no ser tan preciso para ángulos menores de  3π /2 de la evolvente.

Halla el área entre un círculo y su involuta sobre un ángulo de 2 π a −2 π excluyendo cualquier superposición. En coordenadas cartesianas, la ecuación de la involuta es trascendental; hacer una integral de línea allí es casi imposible. Un enfoque más afortunado es usar coordenadas polares  ( z , θ ). Debido a que el "barrido" del área bajo la involuta está limitado por una línea tangente (ver diagrama y derivación a continuación) que no es el límite (${\displaystyle {\overline {qF}}}$) entre áreas superpuestas, la descomposición del problema da como resultado cuatro áreas computables: un semicírculo cuyo radio es la longitud de la cuerda ( _A1 ) ; el área "barrida" por la cuerda en un ángulo de 2π ( A2 ) ; la porción del área A2 desde θ = 0 hasta el segmento de línea _{tangente .}  ${\displaystyle {\overline {tF}}}$( A ₃ ); y el área de la cuña qFtq ( A ₄ ). Por lo tanto, el área deseada A es A ₁ + ( A ₂  − A ₃ + A ₄ ) · 2. El/los área(s) que se requiere calcular están entre dos curvas cuadráticas, y necesariamente serán una integral o una diferencia de integrales.     

Los parámetros principales del problema son:${\displaystyle R}$, la longitud del cable se define como 160 yardas, y${\displaystyle r}$, el radio del silo. No existe una relación necesaria entre${\displaystyle R}$y${\displaystyle r}$pero aquí${\displaystyle r={\tfrac {160}{2\pi }}}$es el radio del círculo cuya circunferencia es${\displaystyle R}$. Si uno define el punto de anclaje${\displaystyle v}$(ver diagrama, arriba) como origen con el círculo que representa la circunferencia del estanque debajo del eje x , y${\displaystyle F}$en el eje y debajo del círculo que representa el punto de intersección de la cuerda cuando se enrolla en sentido horario y antihorario, sea${\displaystyle t}$Sea un punto en el círculo tal que la tangente en${\displaystyle t}$interseca${\displaystyle F}$, y${\displaystyle |{\overset {\fruncer el ceño }{vt}}|}$+${\displaystyle |{\overline {tF}}|}$Es la longitud de la cuerda. Dejemos${\displaystyle q}$sea ​​el punto de intersección de la circunferencia del estanque en el eje y (opuesto a${\displaystyle v}$) debajo del origen. Luego, deje agudo${\displaystyle \angle tFq}$ser${\displaystyle \varphi }$.

El área bajo la evolvente es una función de${\displaystyle R^{3}}$porque es una integral sobre una curva cuadrática. El área tiene un límite fijo definido por el parámetro${\displaystyle r}$(es decir, la circunferencia del silo). En este caso, el área es inversamente proporcional a${\displaystyle r}$, es decir, el más grande${\displaystyle r}$, cuanto menor sea el área de la integral, y la circunferencia es una función lineal de${\displaystyle r}$(${\displaystyle 2\pi r}$). Así pues, buscamos una expresión para el área bajo la evolvente${\displaystyle E=f(R^{3}/r)}$.

Primero, el área A ₁ es un semicírculo de radio${\displaystyle R}$entonces${\displaystyle A_{1}={\tfrac {1}{2}}\pi \cdot R^{2}.}$

A continuación, calcule el área entre la circunferencia del estanque y la involuta. Calcule el área en la "cola" cónica de la involuta, es decir, el área superpuesta (tenga en cuenta que, debido a la tangente _tF , esta área incluye la sección en cuña, área A4 , que deberá sumarse nuevamente durante la suma final). Recuerde que el área de un sector circular es${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}r^{2}\theta }$si el ángulo está en radianes. Imagina un sector circular infinitamente delgado desde${\displaystyle o}$a${\displaystyle p}$subtendido por un ángulo infinitamente pequeño${\displaystyle \Delta \theta }$. Tangente a${\displaystyle o}$, existe un sector infinitamente delgado correspondiente de la involuta desde${\displaystyle m}$a${\displaystyle n}$subtendiendo el mismo ángulo infinitamente pequeño${\displaystyle \Delta \theta }$. El área de este sector es${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}z^{2}\Delta \theta }$dónde ${\displaystyle z}$es el radio en algún ángulo${\displaystyle \theta _{i}}$, que es${\displaystyle r\theta _{i}}$, la longitud del arco del círculo hasta ahora "desenvuelto" en ángulo${\displaystyle \theta _{i}}$El área bajo la evolvente es la suma de todos los infinitos sectores infinitamente delgados.${\displaystyle i}$a través de algún ángulo${\displaystyle \theta _{n}}$Esta suma es

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\tfrac {1}{2}}(r\theta _{i})^{2}\Delta \theta =\int _{{\frac {3\pi }{2}}-\varphi }^{2\pi }{\frac {1}{2}}(r\theta )^{2}\ d\theta ={\frac {1}{2}}r^{2}\left[{\frac {\theta ^{3}}{3}}\right]_{{\frac {3\pi }{2}}-\varphi }^{2\pi }={\frac {4}{3}}r^{2}\pi ^{3}-{\frac {1}{2}}r^{2}{\frac {({\frac {3\pi }{2}}-\varphi )^{3}}{3}}.}$

Los límites de la integral representan el área bajo la evolvente en el cuarto cuadrante entre${\displaystyle {\overline {tF}}}$y${\displaystyle {\overline {vG}}}$El ángulo se mide en el círculo, no en la evolvente, por lo que es menor que${\displaystyle {\tfrac {3\pi }{2}}}$por algún ángulo designado${\displaystyle \varphi }$.

A continuación, encuentra el ángulo.${\displaystyle \varphi }$. Dejar${\displaystyle x=|{\overline {tF}}|}$.${\displaystyle \varphi }$es complementario al ángulo opuesto del triángulo cuyo ángulo recto está en el punto t; y también complementario a ese ángulo en el tercer cuadrante del círculo.${\displaystyle |{\overline {tF}}|}$es el arco desplegado${\displaystyle {\overset {\frown }{vqt}}}$, por lo que su longitud de arco es${\displaystyle r}$veces el ángulo central . Entonces${\displaystyle x=r\cdot ({\tfrac {3\pi }{2}}-\varphi )}$.${\displaystyle x}$también es un lado del triángulo vFtv, así que${\displaystyle \tan(\varphi )={\tfrac {r}{x}}}$y${\displaystyle x={\tfrac {r}{\tan(\varphi )}}}$. Igualando las 2 expresiones para${\displaystyle x}$y resolver para${\displaystyle \varphi }$Se obtiene la siguiente ecuación:${\displaystyle \varphi =\tan ^{-1}{\frac {1}{{\tfrac {3\pi }{2}}-\varphi }}}$. Esa es una ecuación trascendental que puede resolverse aproximadamente mediante sustitución iterativa de${\displaystyle \varphi }$, expansión polinómica de${\displaystyle \tan ^{-1}}$o un método de aproximación como Newton-Raphson. Una forma constructiva de obtener una estimación rápida y muy precisa de${\displaystyle \varphi }$es: trazar una diagonal desde el punto${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}\pi }$en la circunferencia del estanque hasta su intersección en el eje y. La longitud de la diagonal es de 120 yardas porque es${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$del cable. Entonces el otro lado del triángulo, la hipotenusa como se muestra, es${\displaystyle {\sqrt {120^{2}-r^{2}}}=117.27}$yardas. Entonces${\displaystyle \varphi \approx \sin ^{-1}({\tfrac {r}{117.27}})=.219}$radianes, redondeados a tres decimales.${\displaystyle \varphi \approx 0.21900[+0,-0.00003]}$. Pequeñas imprecisiones en${\displaystyle \varphi }$cuando${\displaystyle \varphi \ll 1}$no afectan significativamente el resultado final. ^{[ 3 ]}

A ₄ es el área de la cuña peculiar${\displaystyle \lambda ^{tFqt}}$. Esa área es el área de un triángulo rectángulo con vértice t, menos el área de un sector delimitado por${\displaystyle {\overset {\frown }{tq}}}$.${\displaystyle \lambda ={\tfrac {rx}{2}}-{\tfrac {1}{2}}r^{2}\theta }$donde x es |tF| y θ es el ángulo opuesto a Φ en el triángulo rectángulo. Entonces,${\displaystyle \lambda ={\tfrac {1}{2}}r(R-r({\tfrac {\pi }{2}}+\varphi ))-{\tfrac {1}{2}}r^{2}({\tfrac {\pi }{2}}-\varphi )={\tfrac {1}{2}}(rR-r^{2}\pi )}$. Si${\displaystyle R=2\pi r}$, entonces el área${\displaystyle \lambda }$de la cuña es${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi r^{2}}$por reducción.

La combinación algebraica de las piezas no se reduce a nada útil debido a las diferentes geometrías de las piezas, y${\displaystyle \varphi }$no es una fracción racional de${\displaystyle \pi }$por lo que no se combina con el otro ángulo. Entonces, evalúe las piezas a la vez y luego combínelas numéricamente. Dado que el área total es un poco menor que el área del círculo máximo cuyo radio es${\displaystyle R}$ (80,425sq.yds.), keep 6 digits of precision (5 digits plus a guard digit):

${\displaystyle R=160}$; the length of the tether (given)

${\displaystyle r={\frac {160}{2\pi }}=25.4648}$; the radius of the pond

${\displaystyle \varphi =.218979}$; the acute angle between tangent line ${\displaystyle {\overline {tF}}}$ and the Y axis

${\displaystyle A_{1}={\tfrac {1}{2}}\pi \cdot R^{2}=40212.4}$; the area of the semicircle ${\displaystyle {\overset {\frown }{GHI}}}$ whose radius is ${\displaystyle R}$

${\displaystyle A_{2}={\frac {4}{3}}r^{2}\pi ^{3}=26808.3}$; the swept area of the involute from 0 to ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle A_{3}={\frac {1}{2}}r^{2}{\frac {({\frac {3\pi }{2}}-\varphi )^{3}}{3}}=9805.22}$; the swept area of the involute from 0 to ${\displaystyle {\tfrac {3\pi }{2}}-\varphi }$

${\displaystyle A_{4}={\tfrac {1}{2}}\pi r^{2}=1018.59}$; the swept area of the involute between tangent line ${\displaystyle {\overline {vT}}}$ and the Y axis

Thus ${\displaystyle A_{2}-A_{3}+A_{4}}$ is the area bounded by the involute and pond in the 4th quadrant.

${\displaystyle A=A_{1}+(A_{2}-A_{3}+A_{4})\cdot 2\approx 40212.4+18021.6\cdot 2=76255.6}$; the grazing area

The numerical answer is ${\displaystyle A=76256}$sq.yds.rounded up to the nearest square yard.^[4] It is worth noting that ${\displaystyle \lim _{\varphi \rightarrow {\frac {\pi }{2}}}A={\tfrac {1}{2}}\pi \cdot R^{2}+{\tfrac {R^{3}}{6r}}}$, which is the answer given for the case where the tether length is half the circumference (or any length such that ${\displaystyle {\tfrac {R}{r}}\leq \pi }$) of the silo, or no overlap to account for. The goat can eat all but a bit more than 5% of the area of the great circle defined by its tether length, and almost half the area it cannot eat is within the perimeter of the pond/silo.

Just as the area below a line is proportional to the length of the line between boundaries, and the area of a circular sector is a ratio of the arc length (${\displaystyle L=r\theta }$) of the sector (${\displaystyle A={\tfrac {r}{2}}\cdot L}$), the area between an involute and its bounding circle is also proportional to the involute's arc length${\displaystyle L={\tfrac {1}{2}}r\theta ^{2}}$: ${\displaystyle A={\tfrac {r\theta }{3}}\cdot L={\tfrac {r^{2}\theta ^{3}}{6}}}$ for ${\displaystyle 0<\theta <\theta _{i}}$. So the total grazing area is ${\displaystyle A=A_{1}+(A_{2}-A_{3}+A_{4})\cdot 2}$. ${\displaystyle A_{1}={\tfrac {1}{2}}\pi R^{2}}$. ${\displaystyle A_{2}-A_{3}=\left[{\tfrac {r^{2}\theta ^{3}}{6}}\right]_{{\tfrac {3\pi }{2}}-\varphi }^{2\pi }}$.${\displaystyle A_{4}={\tfrac {1}{2}}\pi r^{2}}$.

The area reachable by the animal is in the form of an asymmetric lens, delimited by the two circular arcs.

The area ${\displaystyle A}$ of a lens with two circles of radii ${\displaystyle R,r}$ and distance between centers ${\displaystyle d}$ is

${\displaystyle {\begin{aligned}A={}&r^{2}\arccos \left({\frac {d^{2}+r^{2}-R^{2}}{2dr}}\right)+R^{2}\arccos \left({\frac {d^{2}-r^{2}+R^{2}}{2dR}}\right)\\&{}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {(d+r-R)(d-r+R)(-d+r+R)(d+r+R)}},\end{aligned}}}$

which simplifies in case of ${\displaystyle R=d=1}$ and one half of the circle area to

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi =r^{2}\arccos \left({\frac {1}{2}}r\right)+\arccos \left(1-{\frac {1}{2}}r^{2}\right)-{\frac {1}{2}}r{\sqrt {4-r^{2}}}.}$

The equation can only be solved iteratively and results in ${\displaystyle r=1.1587\ldots }$(sequence A133731 in the OEIS).

By using ${\displaystyle r<{\sqrt {2}}}$ and integrating over the right half of the lens area with

${\displaystyle {\frac {1}{4}}\pi =\int _{0}^{\sqrt {r^{2}-{\frac {r^{4}}{4}}}}\left({\sqrt {r^{2}-t^{2}}}+{\sqrt {1-t^{2}}}-1\right)\,dt}$

the transcendental equation

${\displaystyle r={\frac {\pi }{\pi r-{\sqrt {4-r^{2}}}+\left({\frac {4}{r}}-2r\right)\arcsin \left({\frac {1}{2}}r\right)}}}$

follows, with the same solution.

In fact, using the identities ${\displaystyle \arccos \left(1-{\frac {r^{2}}{2}}\right)+2\arccos \left({\frac {|r|}{2}}\right)=\pi }$ and ${\displaystyle \arcsin \left({\frac {r}{2}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\arccos \left({\frac {r}{2}}\right)}$, the transcendental equation derived from lens area can be obtained.

The area can be written as the sum of sector area plus segment area.^[5]

Assuming the leash is tied to the bottom of the pen, define ${\displaystyle \theta }$ as the angle the taut leash makes with upwards when the goat is at the circumference. Define ${\displaystyle \alpha }$como el ángulo desde abajo hasta la misma ubicación, pero desde el centro del bolígrafo en lugar de desde el centro del círculo más grande. La suma de los ángulos de un triángulo es igual a${\displaystyle \pi }$para el triángulo isósceles resultante , dando${\displaystyle \alpha =\pi -2\theta }$. Establecer el radio del lápiz en 1 y trigonometría como${\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin(\theta )\cos(\theta )}$luego dar${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {r}{2}}\right)}$.

Requerir que la mitad del área de pastoreo sea 1/4 del área del corral da${\displaystyle A_{sector}+A_{segment}=\pi /4}$. Usando las fórmulas del área del sector circular y del segmento circular se obtiene

${\displaystyle r^{2}\theta +\alpha -\sin(\alpha )={\frac {\pi }{2}}}$,

lo cual solo supone${\displaystyle 0<r<2}$.

Al combinarlas en una sola ecuación se obtiene

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=r{\sqrt {1-\left({\frac {r}{2}}\right)^{2}}}+(2-r^{2})\arccos \left({\frac {r}{2}}\right)}$.

Tenga en cuenta que resolver para${\displaystyle \arccos \left({\frac {r}{2}}\right)}$Luego, al tomar el coseno de ambos lados se generan soluciones adicionales incluso si se incluye la restricción obvia.${\displaystyle 1<r<{\sqrt {2}}}$.

Utilizando identidades trigonométricas, vemos que se trata de la misma ecuación trascendental que proporcionan el área de la lente y la integración.

Mediante el uso de métodos de análisis complejos en 2020, Ingo Ullisch obtuvo una solución de forma cerrada como el coseno de una razón de dos integrales de contorno : ^{[ 6 ]}

${\displaystyle r=2\cos \left({\frac {\displaystyle \oint _{C}{\frac {z}{2\sin z-2z\cos z-\pi }}\,dz}{\displaystyle \oint _{C}{\frac {2}{2\sin z-2z\cos z-\pi }}\,dz}}\right),}$

donde C es el círculo${\displaystyle \left|z-{\frac {3\pi }{4}}\right|={\frac {\pi }{4}}}$.

También se puede escribir una solución utilizando polinomios de Bell , lo cual se deduce del teorema de inversión de Lagrange :

${\displaystyle r=2\cos \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=2}^{\infty }g_{n}{\frac {\left(1-{\frac {2}{\pi }}\right)^{n}}{n!}}\right)}$

dónde

${\displaystyle g_{n}=\sum _{k=1}^{n-1}\left(-1\right)^{k}\cdot B_{n-1,k}\left({\hat {f}}_{1},{\hat {f}}_{2},...,{\hat {f}}_{n-k}\right)\cdot \prod _{i=0}^{k-1}\left(n+i\right),{\text{ and}}}$

${\displaystyle {\hat {f}}_{k}={\frac {2}{\pi }}{\frac {k\sin \left({\frac {\pi }{2}}k\right)+{\frac {\pi }{2}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}k\right)}{k+1}}.}$

Estas fórmulas provienen de expresiones exactas para la enésima derivada de ecuaciones trascendentales anteriores para${\displaystyle r}$.