Curva paralela

Una curva paralela a una curva dada (progenitora) es la envolvente de una familia de círculos congruentes (de igual radio) centrados en la curva. Generaliza el concepto de líneas paralelas (rectas) . También puede definirse como una curva cuyos puntos se encuentran a una distancia normal constante de una curva dada. ^[¹^] Estas dos definiciones no son del todo equivalentes, ya que la segunda presupone suavidad , mientras que la primera no. ^[²^]

En el diseño asistido por computadora, el término preferido para una curva paralela es curva de desplazamiento . ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} (En otros contextos geométricos, el término "desplazamiento" también puede referirse a una traslación ; sin embargo, una curva paralela puede tener una forma diferente a la de su precursora. ^{[ 5 ]} ) Las curvas de desplazamiento son importantes, por ejemplo, en el mecanizado de control numérico (NC) , donde describen, por ejemplo, la forma del corte realizado por una herramienta de corte redonda de una máquina de dos ejes. La forma del corte está desplazada de la trayectoria de la herramienta de corte por una distancia constante en la dirección normal a la trayectoria de la herramienta de corte en cada punto. ^[⁶^]

En el ámbito de los gráficos por computadora 2D conocidos como gráficos vectoriales , el cálculo (aproximado) de curvas paralelas está involucrado en una de las operaciones de dibujo fundamentales, llamada trazado, que se aplica típicamente a polilíneas o polibéziers (que a su vez se denominan trayectorias) en ese campo. ^{[ 7 ]}

Curvas paralelas de la gráfica de $y=1.5\sin(x)$ (en rojo) para distancias $d=0.25,\dots ,1.5$

{\displaystyle y=1.5\sin(x)} — Curvas paralelas de la gráfica de $y=1.5\sin(x)$ (en rojo) para distancias $d=0.25,\dots ,1.5$

Excepto en el caso de una línea o un círculo , las curvas paralelas tienen una estructura matemática más compleja que la curva original. ^{[ 1 ]} Por ejemplo, incluso si la curva original es suave , sus desplazamientos pueden no serlo; esta propiedad se ilustra en la figura superior, utilizando una curva sinusoidal como curva original. ^{[ 2 ]} En general, incluso si una curva es racional , sus desplazamientos pueden no serlo. Por ejemplo, los desplazamientos de una parábola son curvas racionales, pero los desplazamientos de una elipse o de una hipérbola no lo son, aunque estas curvas originales sí lo sean. ^{[ 3 ]}

La noción también se generaliza a superficies 3D , donde se denomina superficie de desplazamiento o superficie paralela . ^{[ 8 ]} El aumento de un volumen sólido mediante un desplazamiento de distancia (constante) se denomina a veces dilatación (similar a la operación de imagen de dilatación ). ^{[ 9 ]} La operación opuesta se denomina a veces vaciado . ^{[ 8 ]} Las superficies de desplazamiento son importantes en NC, donde describen la forma del corte realizado por una fresa de punta esférica de una máquina de tres ejes. ^{[ 10 ]} Otras formas de brocas de corte pueden modelarse matemáticamente mediante superficies de desplazamiento generales. ^{[ 11 ]}

Curva paralela de una curva dada paramétricamente

Si existe una representación paramétrica regular ${\vec {x}}=(x(t),y(t))$ de la curva dada disponible, la segunda definición de una curva paralela (véase arriba) conduce a la siguiente representación paramétrica de la curva paralela con distancia $|d|$ :

{\vec {x}}_{d}(t)={\vec {x}}(t)+d{\vec {n}}(t)

con la unidad normal

{\vec {n}}(t)

.

En coordenadas cartesianas:

x_{d}(t)=x(t)+{\frac {d\;y'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}

y_{d}(t)=y(t)-{\frac {d\;x'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\ .

El parámetro de distancia $d$ Puede ser negativo. En este caso, se obtiene una curva paralela en el lado opuesto de la curva (véase el diagrama de las curvas paralelas de un círculo). Es fácil comprobar que una curva paralela de una línea es una línea paralela en el sentido común, y que la curva paralela de un círculo es un círculo concéntrico.

Propiedades geométricas

Fuente: ^{[ 12 ]}

${\vec {x}}'_{d}(t)\parallel {\vec {x}}'(t),\quad$ Eso significa que los vectores tangentes para un parámetro fijo son paralelos.
$k_{d}(t)={\frac {k(t)}{1+dk(t)}},\quad$ con $k(t)$ la curvatura de la curva dada y $k_{d}(t)$ la curvatura de la curva paralela para el parámetro $t$ .
$R_{d}(t)=R(t)+d,\quad$ con $R(t)$ el radio de curvatura de la curva dada y $R_{d}(t)$ el radio de curvatura de la curva paralela para el parámetro $t$ .
Cuando existen, los círculos osculadores a curvas paralelas en puntos correspondientes son concéntricos. ^{[ 13 ]}
En cuanto a las líneas paralelas , una línea normal a una curva también es normal a sus paralelas.
Cuando se construyen curvas paralelas, estas tendrán cúspides cuando la distancia a la curva coincida con el radio de curvatura . Estos son los puntos donde la curva toca la evoluta .
Si la curva progenitora es el límite de un conjunto plano y su curva paralela no tiene autointersecciones, entonces esta última es el límite de la suma de Minkowski del conjunto plano y el disco del radio dado.

Si la curva dada es polinómica (lo que significa que $x(t)$ y $y(t)$ Si las curvas paralelas son polinómicas, entonces generalmente no lo son. En el ámbito del CAD, esto representa una desventaja, ya que los sistemas CAD utilizan polinomios o curvas racionales. Para obtener al menos curvas racionales, la raíz cuadrada de la representación de la curva paralela debe ser resoluble. Dichas curvas se denominan hodógrafos pitagóricos y fueron investigadas por RT Farouki. ^{[ 14 ]}

Curvas paralelas de una curva implícita

Curvas paralelas de la curva implícita (roja) con ecuación $x^{4}+y^{4}-1=0$

{\displaystyle x^{4}+y^{4}-1=0} — Curvas paralelas de la curva implícita (roja) con ecuación $x^{4}+y^{4}-1=0$

No todas las curvas implícitas tienen curvas paralelas con representaciones analíticas, pero esto es posible en algunos casos especiales. Por ejemplo, las curvas del hodógrafo pitagórico son curvas racionales con curvas paralelas racionales, que pueden convertirse en representaciones implícitas. Otra clase de curvas racionales implícitas con curvas paralelas racionales son las parábolas . ^{[ 15 ]} Para los casos más simples de líneas y círculos, las curvas paralelas pueden describirse fácilmente. Por ejemplo:

Línea

\;f(x,y)=x+y-1=0\;

→ función de distancia:

\;h(x,y)={\frac {x+y-1}{\sqrt {2}}}=d\;

(Forma normal de Hesse)

Círculo

\;f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1=0\;

→ función de distancia:

\;h(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-1=d\;.

En general, suponiendo ciertas condiciones, se puede demostrar la existencia de una función de distancia orientada. $h(x,y)$ En la práctica hay que tratarlo numéricamente. ^{[ 16 ]} Considerando curvas paralelas, se cumple lo siguiente:

La curva paralela para la distancia d es el conjunto de nivel. $h(x,y)=d$ de la función de distancia orientada correspondiente $h$ .

Propiedades de la función de distancia

Fuente: ^{[ 12 ]}^{[ 17 ]}

$|\operatorname {grad} h({\vec {x}})|=1\;,$
$h({\vec {x}}+d\operatorname {grad} h({\vec {x}}))=h({\vec {x}})+d\;,$
$\operatorname {grad} h({\vec {x}}+d\operatorname {grad} h({\vec {x}}))=\operatorname {grad} h({\vec {x}})\;.$

Ejemplo: El diagrama muestra curvas paralelas de la curva implícita con ecuación $\;f(x,y)=x^{4}+y^{4}-1=0\;.$ Nota: Las curvas $\;f(x,y)=x^{4}+y^{4}-1=d\;$ no son curvas paralelas, porque $\;|\operatorname {grad} f(x,y)|=1\;$ No es cierto en el área de interés.

Otros ejemplos

Las evolventes de una curva dada son un conjunto de curvas paralelas. Por ejemplo: las evolventes de un círculo son espirales paralelas (véase el diagrama).

Y: ^{[ 18 ]}

Una parábola tiene como desplazamientos (bilaterales) curvas racionales de grado 6.
Una hipérbola o una elipse tiene como desplazamientos (de dos lados) una curva algebraica de grado 8.
Una curva de Bézier de grado $n$ tiene como desplazamientos (bilaterales) curvas algebraicas de grado $4 n - 2$ . En particular, una curva de Bézier cúbica tiene como desplazamientos (bilaterales) curvas algebraicas de grado 10.

Curva paralela a una curva con una esquina

Para determinar la trayectoria de corte de una pieza con una esquina afilada , es necesario definir la curva paralela (o de desplazamiento) a una curva dada que presente una normal discontinua en la esquina. Si bien la curva dada no es suave en la esquina afilada, su curva paralela puede ser suave con una normal continua, o puede presentar cúspides cuando la distancia a la curva coincide con el radio de curvatura en la esquina afilada.

Como se describió anteriormente , la representación paramétrica de una curva paralela, ${\vec {x}}_{d}(t)$ , a una curva dada, ${\vec {x}}(t)$ , con distancia $|d|$ es:

{\vec {x}}_{d}(t)={\vec {x}}(t)+d{\vec {n}}(t)

con la unidad normal

{\vec {n}}(t)

.

En una curva cerrada ( $t=t_{c}$ ), lo normal a ${\vec {x}}(t_{c})$ dado por ${\vec {n}}(t_{c})$ es discontinuo, lo que significa que el límite unilateral de la normal desde la izquierda ${\vec {n}}(t_{c}^{-})$ es desigual al límite desde la derecha ${\vec {n}}(t_{c}^{+})$ Matemáticamente,

{\vec {n}}(t_{c}^{-})=\lim _{t\to t_{c}^{-}}{\vec {n}}(t)\neq {\vec {n}}(t_{c}^{+})=\lim _{t\to t_{c}^{+}}{\vec {n}}(t)

.

Sin embargo, podemos definir un ventilador normal ^{[ 11 ].} ${\vec {n}}_{f}(\alpha )$ que proporciona un interpolador entre ${\vec {n}}(t_{c}^{-})$ y ${\vec {n}}(t_{c}^{+})$ y usar ${\vec {n}}_{f}(\alpha )$ en lugar de ${\vec {n}}(t_{c})$ en la esquina afilada:

{\vec {n}}_{f}(\alpha )={\frac {(1-\alpha ){\vec {n}}(t_{c}^{-})+\alpha {\vec {n}}(t_{c}^{+})}{\lVert (1-\alpha ){\vec {n}}(t_{c}^{-})+\alpha {\vec {n}}(t_{c}^{+})\rVert }},\quad

dónde

0<\alpha <1

.

La definición resultante de la curva paralela ${\vec {x}}_{d}(t)$ proporciona el comportamiento deseado:

{\vec {x}}_{d}(t)={\begin{cases}{\vec {x}}(t)+d{\vec {n}}(t),&{\text{if }}t<t_{c}{\text{ or }}t>t_{c}\\{\vec {x}}(t_{c})+d{\vec {n}}_{f}(\alpha ),&{\text{if }}t=t_{c}{\text{ where }}0<\alpha <1\end{cases}}

Algoritmos

En general, la curva paralela de una curva de Bézier no es otra curva de Bézier, un resultado demostrado por Tiller y Hanson en 1984. ^{[ 19 ]} Por lo tanto, en la práctica, se utilizan técnicas de aproximación. Cualquier nivel de precisión deseado es posible subdividiendo repetidamente la curva, aunque las mejores técnicas requieren menos subdivisiones para alcanzar el mismo nivel de precisión. Un estudio de 1997 realizado por Elber, Lee y Kim ^{[ 20 ]} es ampliamente citado, aunque se han propuesto mejores técnicas más recientemente. Una técnica moderna basada en el ajuste de curvas , con referencias y comparaciones con otros algoritmos, así como código fuente JavaScript de código abierto, fue publicada en una entrada de blog ^{[ 21 ]} en septiembre de 2022.

Otro algoritmo eficiente para el desplazamiento es el enfoque de nivel descrito por Kimmel y Bruckstein (1993). ^{[ 22 ]}

Superficies paralelas (desplazadas)

Las superficies de desplazamiento son importantes en el mecanizado de control numérico , donde describen la forma del corte realizado por una fresa de punta esférica de una fresadora de tres ejes. ^[¹⁰^] Si existe una representación paramétrica regular ${\vec {x}}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ de la superficie dada disponible, la segunda definición de una curva paralela (ver arriba) se generaliza a la siguiente representación paramétrica de la superficie paralela con distancia $|d|$ :

{\vec {x}}_{d}(u,v)={\vec {x}}(u,v)+d{\vec {n}}(u,v)

con la unidad normal

{\vec {n}}_{d}(u,v)={{{\partial {\vec {x}} \over \partial u}\times {\partial {\vec {x}} \over \partial v}} \over {|{{\partial {\vec {x}} \over \partial u}\times {\partial {\vec {x}} \over \partial v}}|}}

.

Parámetro de distancia $d$ También puede ser negativo. En este caso, se obtiene una superficie paralela en el lado opuesto de la superficie (véase un diagrama similar sobre las curvas paralelas de un círculo). Es fácil comprobarlo: una superficie paralela de un plano es un plano paralelo en el sentido común, y la superficie paralela de una esfera es una esfera concéntrica.

Propiedades geométricas

Fuente: ^{[ 23 ]}

${\partial {\vec {x}}_{d} \over \partial u}\parallel {\partial {\vec {x}} \over \partial u},\quad {\partial {\vec {x}}_{d} \over \partial v}\parallel {\partial {\vec {x}} \over \partial v},\quad$ Eso significa que los vectores tangentes para parámetros fijos son paralelos.
${\vec {n}}_{d}(u,v)=\pm {\vec {n}}(u,v),\quad$ Eso significa que los vectores normales para parámetros fijos coinciden en dirección.
$S_{d}=(1+dS)^{-1}S,\quad$ dónde $S_{d}$ y $S$ son los operadores de forma para ${\vec {x}}_{d}$ y ${\vec {x}}$ , respectivamente.

Las curvaturas principales son los valores propios del operador de forma , las direcciones de curvatura principales son sus vectores propios , la curvatura gaussiana es su determinante y la curvatura media es la mitad de su traza .

$S_{d}^{-1}=S^{-1}+dI,\quad$ dónde $S_{d}^{-1}$ y $S^{-1}$ son los inversos de los operadores de forma para ${\vec {x}}_{d}$ y ${\vec {x}}$ , respectivamente.

Los radios principales de curvatura son los valores propios del inverso del operador de forma , las direcciones principales de curvatura son sus vectores propios , el recíproco de la curvatura gaussiana es su determinante y el radio medio de curvatura es la mitad de su traza .

Nótese la similitud con las propiedades geométricas de las curvas paralelas .

Generalizaciones

El problema se generaliza de forma bastante obvia a dimensiones superiores, por ejemplo, a superficies desplazadas, y de forma algo menos trivial a superficies de tuberías . ^{[ 24 ]} Nótese que la terminología para las versiones de dimensiones superiores varía aún más que en el caso planar; por ejemplo, otros autores hablan de fibras paralelas, cintas y tubos. ^{[ 25 ]} Para curvas incrustadas en superficies 3D, el desplazamiento puede tomarse a lo largo de una geodésica . ^{[ 26 ]}

Otra forma de generalizarlo es (incluso en 2D) considerar una distancia variable, por ejemplo, parametrizada por otra curva. ^{[ 23 ]} Se puede, por ejemplo, trazar (envolvente) con una elipse en lugar de un círculo ^{[ 23 ]} como es posible, por ejemplo, en METAFONT . ^{[ 27 ]}

Más recientemente, Adobe Illustrator ha añadido una función similar en la versión CS5 , aunque los puntos de control para el ancho variable se especifican visualmente. ^{[ 28 ]} En contextos donde es importante distinguir entre el desplazamiento de distancia constante y variable, a veces se utilizan los acrónimos CDO y VDO. ^{[ 9 ]}

Curvas de desplazamiento generales

Supongamos que tenemos una representación paramétrica regular de una curva, ${\vec {x}}(t)=(x(t),y(t))$ y tienes una segunda curva que puede ser parametrizada por su normal unitaria, ${\vec {d}}({\vec {n}})$ , donde la normal de ${\vec {d}}({\vec {n}})={\vec {n}}$ (esta parametrización por normal existe para curvas cuya curvatura es estrictamente positiva o negativa, y por lo tanto convexa, suave y no recta). La representación paramétrica de la curva de desplazamiento general de ${\vec {x}}(t)$ compensado por ${\vec {d}}({\vec {n}})$ es:

{\vec {x}}_{d}(t)={\vec {x}}(t)+{\vec {d}}({\vec {n}}(t)),\quad

dónde

{\vec {n}}(t)

es la unidad normal de

{\vec {x}}(t)

.

Tenga en cuenta que el desplazamiento trivial, ${\vec {d}}({\vec {n}})=d{\vec {n}}$ , te proporciona curvas paralelas ordinarias (también conocidas como curvas desplazadas).

Propiedades geométricas

Fuente: ^{[ 23 ]}

${\vec {x}}'_{d}(t)\parallel {\vec {x}}'(t),\quad$ Eso significa que los vectores tangentes para un parámetro fijo son paralelos.
En cuanto a las líneas paralelas , una normal a una curva también es normal a sus desplazamientos generales.
$k_{d}(t)={\dfrac {k(t)}{1+{\dfrac {k(t)}{k_{n}(t)}}}},\quad$ con $k_{d}(t)$ la curvatura de la curva de desplazamiento general, $k(t)$ la curvatura de ${\vec {x}}(t)$ , y $k_{n}(t)$ la curvatura de ${\vec {d}}({\vec {n}}(t))$ para el parámetro $t$ .
$R_{d}(t)=R(t)+R_{n}(t),\quad$ con $R_{d}(t)$ el radio de curvatura de la curva de desplazamiento general, $R(t)$ el radio de curvatura de ${\vec {x}}(t)$ , y $R_{n}(t)$ el radio de curvatura de ${\vec {d}}({\vec {n}}(t))$ para el parámetro $t$ .
Cuando se construyen curvas de desplazamiento generales, estas tendrán cúspides cuando la curvatura de la curva coincida con la curvatura del desplazamiento. Estos son los puntos donde la curva toca la evoluta .

Superficies de desplazamiento general

Las superficies de desplazamiento general describen la forma de los cortes realizados por una variedad de brocas de corte utilizadas por fresas de extremo de tres ejes en el mecanizado de control numérico . ^[¹¹^] Suponga que tiene una representación paramétrica regular de una superficie, ${\vec {x}}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ y tienes una segunda superficie que puede ser parametrizada por su normal unitaria, ${\vec {d}}({\vec {n}})$ , donde la normal de ${\vec {d}}({\vec {n}})={\vec {n}}$ (esta parametrización por normal existe para superficies cuya curvatura gaussiana es estrictamente positiva y, por lo tanto, convexa, suave y no plana). La representación paramétrica de la superficie de desplazamiento general de ${\vec {x}}(t)$ compensado por ${\vec {d}}({\vec {n}})$ es:

{\vec {x}}_{d}(u,v)={\vec {x}}(u,v)+{\vec {d}}({\vec {n}}(u,v)),\quad

dónde

{\vec {n}}(u,v)

es la unidad normal de

{\vec {x}}(u,v)

.

Tenga en cuenta que el desplazamiento trivial, ${\vec {d}}({\vec {n}})=d{\vec {n}}$ , te proporciona superficies paralelas ordinarias (también conocidas como superficies desplazadas).

Propiedades geométricas

Fuente: ^{[ 23 ]}

En cuanto a las líneas paralelas , el plano tangente de una superficie es paralelo al plano tangente de sus desplazamientos generales.
En cuanto a las líneas paralelas , una normal a una superficie también es normal a sus desplazamientos generales.
$S_{d}=(1+SS_{n}^{-1})^{-1}S,\quad$ dónde $S_{d},S,$ y $S_{n}$ son los operadores de forma para ${\vec {x}}_{d},{\vec {x}},$ y ${\vec {d}}({\vec {n}})$ , respectivamente.

Las curvaturas principales son los valores propios del operador de forma , las direcciones de curvatura principales son sus vectores propios , la curvatura gaussiana es su determinante y la curvatura media es la mitad de su traza .

$S_{d}^{-1}=S^{-1}+S_{n}^{-1},\quad$ dónde $S_{d}^{-1},S^{-1}$ y $S_{n}^{-1}$ son los inversos de los operadores de forma para ${\vec {x}}_{d},{\vec {x}},$ y ${\vec {d}}({\vec {n}})$ , respectivamente.

Los radios principales de curvatura son los valores propios del inverso del operador de forma , las direcciones principales de curvatura son sus vectores propios , el recíproco de la curvatura gaussiana es su determinante y el radio medio de curvatura es la mitad de su traza .

Nótese la similitud con las propiedades geométricas de las curvas de desplazamiento generales .

Derivación de propiedades geométricas para desplazamientos generales

Las propiedades geométricas enumeradas anteriormente para curvas y superficies de desplazamiento generales se pueden derivar para desplazamientos de dimensión arbitraria. Suponga que tiene una representación paramétrica regular de una superficie n-dimensional, ${\vec {x}}({\vec {u}})$ , donde la dimensión de ${\vec {u}}$ es n-1. Suponga también que tiene una segunda superficie n-dimensional que puede ser parametrizada por su normal unitaria, ${\vec {d}}({\vec {n}})$ , donde la normal de ${\vec {d}}({\vec {n}})={\vec {n}}$ (esta parametrización por normal existe para superficies cuya curvatura gaussiana es estrictamente positiva y, por lo tanto, convexa, suave y no plana). La representación paramétrica de la superficie de desplazamiento general de ${\vec {x}}({\vec {u}})$ compensado por ${\vec {d}}({\vec {n}})$ es:

{\vec {x}}_{d}({\vec {u}})={\vec {x}}({\vec {u}})+{\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}})),\quad

dónde

{\vec {n}}({\vec {u}})

es la unidad normal de

{\vec {x}}({\vec {u}})

. (El desplazamiento trivial,

{\vec {d}}({\vec {n}})=d{\vec {n}}

(Te da superficies paralelas ordinarias.)

Primero, observe que la normal de ${\vec {x}}({\vec {u}})=$ la normalidad de ${\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))={\vec {n}}({\vec {u}}),$ por definición. Ahora, aplicaremos el diferencial con respecto a ${\vec {u}}$ a ${\vec {x}}_{d}$ , lo que nos da sus vectores tangentes que abarcan su plano tangente.

\partial {\vec {x}}_{d}({\vec {u}})=\partial {\vec {x}}({\vec {u}})+\partial {\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))

Observe los vectores tangentes para ${\vec {x}}_{d}$ son la suma de vectores tangentes para ${\vec {x}}({\vec {u}})$ y su compensación ${\vec {d}}({\vec {n}})$ , que comparten la misma normal unitaria. Por lo tanto, la superficie de desplazamiento general comparte el mismo plano tangente y normal con ${\vec {x}}({\vec {u}})$ y ${\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))$ Eso concuerda con la naturaleza de los sobres.

Ahora consideramos las ecuaciones de Weingarten para el operador de forma , que se pueden escribir como $\partial {\vec {n}}=-\partial {\vec {x}}S$ . Si $S$ es reversible, $\partial {\vec {x}}=-\partial {\vec {n}}S^{-1}$ Recordemos que las curvaturas principales de una superficie son los autovalores del operador de forma, las direcciones de curvatura principales son sus autovectores , la curvatura de Gauss es su determinante y la curvatura media es la mitad de su traza . El inverso del operador de forma conserva estos mismos valores para los radios de curvatura.

Sustituyendo en la ecuación para la diferencial de ${\vec {x}}_{d}$ , obtenemos:

\partial {\vec {x}}_{d}=\partial {\vec {x}}-\partial {\vec {n}}S_{n}^{-1},\quad

dónde

S_{n}

es el operador de forma para

{\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))

.

A continuación, volvemos a usar las ecuaciones de Weingarten para reemplazar $\partial {\vec {n}}$ :

\partial {\vec {x}}_{d}=\partial {\vec {x}}+\partial {\vec {x}}SS_{n}^{-1},\quad

dónde

S

es el operador de forma para

{\vec {x}}({\vec {u}})

.

Luego, resolvemos para $\partial {\vec {x}}$ y múltiples ambos lados por $-S$ para volver a las ecuaciones de Weingarten , esta vez para $\partial {\vec {x}}_{d}$ :

\partial {\vec {x}}_{d}(I+SS_{n}^{-1})^{-1}=\partial {\vec {x}},

-\partial {\vec {x}}_{d}(I+SS_{n}^{-1})^{-1}S=-\partial {\vec {x}}S=\partial {\vec {n}}.

De este modo, $S_{d}=(I+SS_{n}^{-1})^{-1}S$ y al invertir ambos lados obtenemos, $S_{d}^{-1}=S^{-1}+S_{n}^{-1}$ .

Véase también

Referencias

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Enlaces externos

Curvas paralelas en MathWorld
Diccionario visual de curvas planas Xah Lee

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Curva paralela de una curva dada paramétricamente

Propiedades geométricas

Curvas paralelas de una curva implícita

Propiedades de la función de distancia

Otros ejemplos

Curva paralela a una curva con una esquina

Algoritmos

Superficies paralelas (desplazadas)

Propiedades geométricas

Generalizaciones

Curvas de desplazamiento generales

Propiedades geométricas

Superficies de desplazamiento general

Propiedades geométricas

Derivación de propiedades geométricas para desplazamientos generales

Véase también

Referencias

Lecturas adicionales

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