Función de distancia con signo

En matemáticas y sus aplicaciones, la función de distancia con signo o campo de distancia con signo ( FDS ) es la distancia ortogonal de un punto dado x al borde de un conjunto Ω en un espacio métrico (como la superficie de una figura geométrica), con el signo determinado por si x está o no en el interior de Ω. La función tiene valores positivos en los puntos x dentro de Ω, disminuye en valor a medida que x se acerca al borde de Ω donde la función de distancia con signo es cero, y toma valores negativos fuera de Ω. ^{[ 1 ]} Sin embargo, a veces también se adopta la convención alternativa (es decir, negativo dentro de Ω y positivo fuera). ^{[ 2 ]} El concepto también se conoce a veces como función/campo de distancia orientado .

Sea Ω un subconjunto de un espacio métrico X con métrica d , y${\displaystyle \partial \Omega }$sea ​​su frontera . La distancia entre un punto x de X y el subconjunto${\displaystyle \partial \Omega }$de X se define como de costumbre como

$${\displaystyle d(x,\partial \Omega )=\inf _{y\in \partial \Omega }d(x,y),}$$

dónde${\displaystyle \inf }$denota el ínfimo .

La función de distancia con signo desde un punto x de X a${\displaystyle \Omega }$se define por

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}d(x,\partial \Omega )&{\text{if }}x\in \Omega \\-d(x,\partial \Omega )&{\text{if }}\,x\notin \Omega \\0&{\text{if }}\,x\in \partial \Omega .\end{cases}}}$$

Si Ω es un subconjunto del espacio euclidiano R ⁿ con frontera suave a trozos , entonces la función de distancia con signo es diferenciable casi en todas partes y su gradiente satisface la ecuación eikonal.

$${\displaystyle |\nabla f|=1.}$$

Si el límite de Ω es C ^k para k ≥ 2 (véase Clases de diferenciabilidad ), entonces d es C ^k en puntos suficientemente cercanos al límite de Ω. ^{[ 3 ]} En particular, en el límite f satisface

$${\displaystyle \nabla f(x)=N(x),}$$

donde N es el campo vectorial normal interno . La función de distancia con signo es, por lo tanto, una extensión diferenciable del campo vectorial normal. En particular, el hessiano de la función de distancia con signo en el límite de Ω da el mapa de Weingarten .

Si, además, Γ es una región suficientemente cercana al límite de Ω como para que f sea dos veces continuamente diferenciable en ella, entonces existe una fórmula explícita que involucra el mapa de Weingarten W _x para el jacobiano de variables cambiantes en términos de la función de distancia con signo y el punto límite más cercano. Específicamente, si T ( ∂ Ω, μ ) es el conjunto de puntos dentro de una distancia μ del límite de Ω (es decir, la vecindad tubular de radio μ ), y g es una función absolutamente integrable en Γ, entonces

$${\displaystyle \int _{T(\partial \Omega ,\mu )}g(x)\,dx=\int _{\partial \Omega }\int _{-\mu }^{\mu }g(u+\lambda N(u))\,\det(I-\lambda W_{u})\,d\lambda \,dS_{u},}$$

donde det denota el determinante y dS _u indica que estamos tomando la integral de superficie . ^{[ 4 ]}

Los algoritmos para calcular la función de distancia con signo incluyen el método de marcha rápida eficiente , el método de barrido rápido ^{[ 5 ]} y el método de conjunto de nivel más general .

Para la representación de vóxeles , un algoritmo rápido para calcular el SDF en la geometría de taxi utiliza tablas de área sumada . ^{[ 6 ]}

Las funciones de distancia con signo se aplican, por ejemplo, en la renderización en tiempo real , ^{[ 7 ]} por ejemplo el método de marcha de rayos SDF y la visión por computadora . ^{[ 8 ] [ 9 ]}

SDF se ha utilizado para describir la geometría de objetos en renderizado en tiempo real , generalmente en un contexto de raymarching, desde mediados de la década de 2000. Para 2007, Valve estaba utilizando SDF para renderizar fuentes suaves de gran tamaño de píxel (o DPI alto ) con aceleración de GPU en sus juegos. ^{[ 10 ]} El método de Valve no es perfecto, ya que se ejecuta en el espacio rasterizado para evitar la complejidad computacional de resolver el problema en el espacio vectorial (continuo). El texto renderizado a menudo pierde esquinas afiladas. En 2014, Behdad Esfahbod presentó un método mejorado . GLyphy de Behdad aproxima las curvas de Bézier de la fuente con splines de arco, acelerado por técnicas de discretización basadas en cuadrículas (que descartan puntos demasiado alejados) para ejecutarse en tiempo real. ^{[ 11 ]}

Se introdujo una versión modificada de SDF como función de pérdida para minimizar el error de interpenetración de píxeles al renderizar múltiples objetos. ^{[ 12 ]} En particular, para cualquier píxel que no pertenezca a un objeto, si se encuentra fuera del objeto en la representación, no se impone ninguna penalización; si lo hace, se impone un valor positivo proporcional a su distancia dentro del objeto.

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}\,x\in \Omega ^{c}\\d(x,\partial \Omega )&{\text{if }}\,x\in \Omega \end{cases}}}$$

En 2020, el motor de juegos FOSS Godot 4.0 recibió iluminación global en tiempo real basada en SDF (SDFGI), que se convirtió en un compromiso entre la iluminación global basada en vóxeles más realista y la iluminación global precalculada. Su principal ventaja es que se puede aplicar a un espacio infinito, lo que permite a los desarrolladores usarla para juegos de mundo abierto. ^{[ 13 ]}

En 2023, los autores del editor de texto Zed anunciaron un marco GPUI que dibuja todos los elementos de la interfaz de usuario utilizando la GPU a 120 fps. El trabajo utiliza la lista de primitivas geométricas de Inigo Quilez en SDF, el desenfoque gaussiano de Evan Wallace, cofundador de Figma , en SDF, y un nuevo rectángulo redondeado en SDF. ^{[ 14 ]}

• Función de distancia
• Método de conjunto de niveles
• ecuación de Eikonal
• Curva paralela (también conocida como curva descentrada)
• Longitud de arco con signo
• Área señalizada
• Medida firmada
• Volumen firmado

• Stanley J. Osher y Ronald P. Fedkiw (2003). Métodos de conjuntos de nivel y superficies implícitas dinámicas . Springer. doi : 10.1007/b98879 . ISBN 9780387227467.
• Gilbarg, D.; Trudinger, NS (1983). Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol.  224 (2ª  ed.). Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-3-642-61798-0 .(o el Apéndice de la 1.ª edición de 1977)