Curva implícita

En matemáticas , una curva implícita es una curva plana definida por una ecuación implícita que relaciona dos variables de coordenadas, comúnmente x e y . Por ejemplo, el círculo unitario se define por la ecuación implícita . En general, toda curva implícita se define por una ecuación de la forma $Estilo de visualización x^{2}+y^{2}=1$

${\displaystyle F(x,y)=0}$

para alguna función F de dos variables. Por lo tanto, una curva implícita puede considerarse como el conjunto de ceros de una función de dos variables. Implícita significa que la ecuación no se expresa como una solución para x en términos de y o viceversa.

Si es un polinomio con dos variables, la curva correspondiente se denomina curva algebraica y existen métodos específicos para estudiarla. ${\displaystyle F(x,y)}$

Las curvas planas se pueden representar en coordenadas cartesianas ( coordenadas x , y ) mediante cualquiera de tres métodos, uno de los cuales es la ecuación implícita dada anteriormente. La gráfica de una función se describe habitualmente mediante una ecuación en la que se establece explícitamente la forma funcional; esto se denomina representación explícita . La tercera descripción esencial de una curva es la paramétrica , en la que las coordenadas x e y de los puntos de la curva se representan mediante dos funciones x ( t ), y ( t ), cuyas formas funcionales se establecen explícitamente y que dependen de un parámetro común.${\displaystyle y=f(x)}$${\estilo de visualización t.}$

Algunos ejemplos de curvas implícitas incluyen:

1. una linea :${\displaystyle x+2y-3=0,}$
2. un circulo :${\displaystyle x^{2}+y^{2}-4=0,}$
3. La parábola semicúbica :${\displaystyle x^{3}-y^{2}=0,}$
4. Óvalos de Cassini (ver diagrama),${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})-(a^{4}-c^{4})=0}$
5. ${\displaystyle \sin(x+y)-\cos(xy)+1=0}$(ver diagrama).

Los primeros cuatro ejemplos son curvas algebraicas, pero el último no lo es. Los primeros tres ejemplos poseen representaciones paramétricas simples, lo que no es cierto para los ejemplos cuarto y quinto. El quinto ejemplo muestra la estructura geométrica posiblemente complicada de una curva implícita.

El teorema de la función implícita describe las condiciones bajo las cuales una ecuación puede ser resuelta implícitamente para x y/o y – es decir, bajo las cuales uno puede escribir válidamente o . Este teorema es la clave para el cálculo de las características geométricas esenciales de la curva: tangentes , normales y curvatura . En la práctica las curvas implícitas tienen un inconveniente esencial: su visualización es difícil. Pero hay programas de computadora que permiten mostrar una curva implícita. Las propiedades especiales de las curvas implícitas las convierten en herramientas esenciales en geometría y gráficos de computadora. ${\displaystyle F(x,y)=0}$${\displaystyle x=g(y)}$${\displaystyle y=f(x)}$

Una curva implícita con una ecuación puede considerarse como la curva de nivel del nivel 0 de la superficie (ver tercer diagrama). ${\displaystyle F(x,y)=0}$${\displaystyle z=F(x,y)}$

En general, las curvas implícitas no superan la prueba de la línea vertical (es decir, algunos valores de x están asociados con más de un valor de y ) y, por lo tanto, no son necesariamente gráficos de funciones. Sin embargo, el teorema de la función implícita establece las condiciones en las que una curva implícita está dada localmente por el gráfico de una función (por lo que, en particular, no tiene autointersecciones). Si las relaciones que la definen son suficientemente suaves, entonces, en dichas regiones, las curvas implícitas tienen pendientes, líneas tangentes, vectores normales y curvatura bien definidos.

Existen varias formas posibles de calcular estas cantidades para una curva implícita dada. Un método consiste en utilizar la diferenciación implícita para calcular las derivadas de y con respecto a x . Alternativamente, para una curva definida por la ecuación implícita , se pueden expresar estas fórmulas directamente en términos de las derivadas parciales de . En lo que sigue, las derivadas parciales se denotan (para la derivada con respecto a x ), , (para la segunda parcial con respecto a x ), (para la segunda parcial mixta),${\displaystyle F(x,y)=0}$${\estilo de visualización F}$$Estilo de visualización F_{x}$$Estilo de visualización F_{y}}$$Estilo de visualización F_{xx}}$$Estilo de visualización F_ {xy}}$${\displaystyle F_{yy}.}$

Un punto de curva es regular si las primeras derivadas parciales y no son ambas iguales a 0. ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$$Estilo de visualización F_{x}(x_{0},y_{0})}$${\ Displaystyle F_ {y} (x_ {0}, y_ {0})}$

La ecuación de la recta tangente en un punto regular es ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

${\displaystyle F_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0}) =0,}$

Por lo tanto, la pendiente de la línea tangente y, por lo tanto, la pendiente de la curva en ese punto, es

${\displaystyle {\text{pendiente}}=-{\frac {F_{x}(x_{0},y_{0})}{F_{y}(x_{0},y_{0})}}.}$

Si la curva es vertical en ese punto, mientras que si y en ese punto, entonces la curva no es diferenciable allí, sino que es un punto singular , ya sea una cúspide o un punto donde la curva se interseca a sí misma. ${\displaystyle F_{y}(x,y)=0\neq F_{x}(x,y)}$${\displaystyle (x_{0},y_{0}),}$${\displaystyle F_{y}(x,y)=0}$$Estilo de visualización F_{x}(x,y)=0$

Un vector normal a la curva en el punto está dado por

${\displaystyle \mathbf {n} (x_ {0}, y_ {0}) = (F_ {x} (x_ {0}, y_ {0}), F_ {y} (x_ {0}, y_ {0 }))}$

(aquí escrito como un vector de fila).

Para facilitar la lectura de las fórmulas, se omiten los argumentos. La curvatura en un punto regular se da mediante la fórmula ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\estilo de visualización \kappa}$

${\displaystyle \kappa ={\frac {-F_{y}^{2}F_{xx}+2F_{x}F_{y}F_{xy}-F_{x}^{2}F_{yy}}{(F_{x}^{2}+F_{y}^{2})^{3/2}}}}$. ^[1]

El teorema de la función implícita garantiza dentro de un entorno de un punto la existencia de una función tal que . Por la regla de la cadena , las derivadas de la función son ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\estilo de visualización f}$${\displaystyle F(x,f(x))=0}$${\estilo de visualización f}$

${\displaystyle f'(x)=-{\frac {F_{x}(x,f(x))}{F_{y}(x,f(x))}}}$y${\displaystyle f''(x)={\frac {-F_{y}^{2}F_{xx}+2F_{x}F_{y}F_{xy}-F_{x}^{2}F_{yy}}{F_{y}^{3}}}}$

(donde se omiten los argumentos del lado derecho de la segunda fórmula para facilitar la lectura). ${\estilo de visualización (x,f(x))}$

Insertando las derivadas de la función en las fórmulas para una tangente y curvatura del gráfico de la ecuación explícita se obtiene ${\estilo de visualización f}$${\displaystyle y=f(x)}$

${\displaystyle y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})}$(tangente)

${\displaystyle \kappa (x_{0})={\frac {f''(x_{0})}{(1+f'(x_{0})^{2})^{3/2}}}}$(curvatura).

La desventaja esencial de una curva implícita es la falta de una posibilidad fácil de calcular puntos individuales, lo cual es necesario para la visualización de una curva implícita (ver la siguiente sección).

1. Las representaciones implícitas facilitan el cálculo de puntos de intersección: si una curva se representa implícitamente y la otra paramétricamente, el cálculo de los puntos de intersección solo necesita una iteración de Newton simple (unidimensional), lo que es contrario a los casos implícito-implícito y paramétrico-paramétrico (ver Intersección ).
2. Una representación implícita ofrece la posibilidad de separar los puntos que no están en la curva mediante el signo de . Esto puede resultar útil, por ejemplo, al aplicar el método de la posición falsa en lugar de una iteración de Newton.${\displaystyle F(x,y)=0}$${\displaystyle F(x,y)}$
3. Es fácil generar curvas que sean casi geométricamente similares a la curva implícita dada simplemente agregando un pequeño número: (ver sección #Aproximaciones suaves).${\displaystyle F(x,y)=0,}$${\displaystyle F(x,y)-c=0}$

En matemáticas, las curvas implícitas desempeñan un papel destacado como curvas algebraicas . Además, las curvas implícitas se utilizan para diseñar curvas de formas geométricas deseadas. A continuación se muestran dos ejemplos.

Una aproximación suave de un polígono convexo se puede lograr de la siguiente manera: Sean las ecuaciones de las líneas que contienen los bordes del polígono tales que para un punto interior del polígono sea positivo. Entonces un subconjunto de la curva implícita ${\displaystyle g_{i}(x,y)=a_{i}x+b_{i}y+c_{i}=0,\ i=1,\dotsc ,n}$${\displaystyle g_{i}}$

${\displaystyle F(x,y)=g_{1}(x,y)\cdots g_{n}(x,y)-c=0}$

con un parámetro pequeño adecuado es una aproximación suave (diferenciable) del polígono. Por ejemplo, las curvas ${\displaystyle c}$

${\displaystyle F(x,y)=(x+1)(-x+1)y(-x-y+2)(x-y+2)-c=0}$para${\displaystyle c=0.03,\dotsc ,0.6}$

Contienen aproximaciones suaves de un polígono con 5 aristas (ver diagrama).

En caso de dos líneas

${\displaystyle F(x,y)=g_{1}(x,y)g_{2}(x,y)-c=0}$

Uno consigue

un lápiz de líneas paralelas , si las líneas dadas son paralelas o

el lápiz de las hipérbolas, que tienen como asíntotas las líneas dadas.

Por ejemplo, el producto de las variables de los ejes de coordenadas da como resultado el lápiz de hipérbolas , que tienen los ejes de coordenadas como asíntotas. ${\displaystyle xy-c=0,\ c\neq 0}$

Si se parte de curvas implícitas simples que no sean líneas (círculos, parábolas, etc.) se obtiene una amplia gama de nuevas curvas interesantes. Por ejemplo,

${\displaystyle F(x,y)=y(-x^{2}-y^{2}+1)-c=0}$

(producto de un círculo por el eje x) produce aproximaciones suaves de la mitad de un círculo (ver imagen), y

${\displaystyle F(x,y)=(-x^{2}-(y+1)^{2}+4)(-x^{2}-(y-1)^{2}+4)-c=0}$

(producto de dos círculos) produce aproximaciones suaves de la intersección de dos círculos (ver diagrama).

En CAD se utilizan curvas implícitas para la generación de curvas de fusión, ^{[2] [3]} que son curvas especiales que establecen una transición suave entre dos curvas dadas. Por ejemplo,

${\displaystyle F(x,y)=(1-\mu )f_{1}f_{2}-\mu (g_{1}g_{2})^{3}=0}$

genera curvas de fusión entre los dos círculos

${\displaystyle f_{1}(x,y)=(x-x_{1})^{2}+y^{2}-r_{1}^{2}=0,}$

${\displaystyle f_{2}(x,y)=(x-x_{2})^{2}+y^{2}-r_{2}^{2}=0.}$

El método garantiza la continuidad de las tangentes y curvaturas en los puntos de contacto (ver diagrama). Las dos rectas

${\displaystyle g_{1}(x,y)=x-x_{1}=0,\ g_{2}(x,y)=x-x_{2}=0}$

Determinar los puntos de contacto en los círculos. El parámetro es un parámetro de diseño. En el diagrama, . ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu =0.05,\dotsc ,0.2}$

Las curvas equipotenciales de dos cargas puntuales iguales en los puntos se pueden representar mediante la ecuación ${\displaystyle P_{1}=(1,0),\;P_{2}=(-1,0)}$

${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{|PP_{1}|}}+{\frac {1}{|PP_{2}|}}-c}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}}}}+{\frac {1}{\sqrt {(x+1)^{2}+y^{2}}}}-c=0.}$

Las curvas son similares a los óvalos de Cassini , pero no son tales curvas.

Para visualizar una curva implícita, normalmente se determina un polígono en la curva y se muestra el polígono. Para una curva paramétrica, esto es una tarea sencilla: simplemente se calculan los puntos de una secuencia de valores paramétricos. Para una curva implícita, hay que resolver dos subproblemas:

1. determinación de un primer punto de curva hasta un punto de inicio dado en la proximidad de la curva,
2. determinación de un punto de curva a partir de un punto de curva conocido.

En ambos casos es razonable suponer que . En la práctica, esta suposición se viola únicamente en puntos aislados. ${\displaystyle \operatorname {grad} F\neq (0,0)}$

Para la solución de ambas tareas mencionadas anteriormente es imprescindible disponer de un programa de ordenador (al que llamaremos ), que, dado un punto cercano a una curva implícita, encuentre un punto que esté exactamente sobre la curva, hasta la precisión del cálculo: ${\displaystyle {\mathsf {CPoint}}}$${\displaystyle Q_{0}=(x_{0},y_{0})}$${\displaystyle P}$

(P1) para el punto de inicio es${\displaystyle j=0}$

(P2) repetir

${\displaystyle (x_{j+1},y_{j+1})=(x_{j},y_{j})-{\frac {F(x_{j},y_{j})}{F_{x}(x_{j},y_{j})^{2}+F_{y}(x_{j},y_{j})^{2}}}\,\left(F_{x}(x_{j},y_{j}),F_{y}(x_{j},y_{j})\right).}$

( Paso de Newton para la función )${\displaystyle g(t)=F\left(x_{j}+tF_{x}(x_{j},y_{j}),y_{j}+tF_{y}(x_{j},y_{j})\right)\ .}$

(P3) hasta que la distancia entre los puntos sea lo suficientemente pequeña.${\displaystyle (x_{j+1},y_{j+1}),\,(x_{j},y_{j})}$

(P4) es el punto de la curva cerca del punto de inicio .${\displaystyle P=(x_{j+1},y_{j+1})}$${\displaystyle Q_{0}}$

Para generar un polígono con un espaciado casi igual en la curva implícita, se elige una longitud de paso y ${\displaystyle s}$

(T1) elige un punto de inicio adecuado en la proximidad de la curva

(T2) determina un primer punto de curva utilizando el programa${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle {\mathsf {CPoint}}}$

(T3) determina la tangente (ver arriba), elige un punto de inicio en la tangente usando la longitud del paso (ver diagrama) y determina un segundo punto de curva usando el programa .${\displaystyle s}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle {\mathsf {CPoint}}}$

${\displaystyle \cdots }$

Dado que el algoritmo traza la curva implícita, se denomina algoritmo de trazado . El algoritmo traza únicamente las partes conectadas de la curva. Si la curva implícita consta de varias partes, debe iniciarse varias veces con puntos de inicio adecuados.

Si la curva implícita consta de varias partes o incluso de partes desconocidas, puede ser mejor utilizar un algoritmo de rasterización . En lugar de seguir exactamente la curva, un algoritmo raster cubre toda la curva en tantos puntos que se fusionan y parecen una curva.

(R1) Generar una red de puntos (raster) sobre el área de interés del plano xy.

(R2) Para cada punto del ráster, ejecute el algoritmo de puntos comenzando desde P, luego marque su salida.${\displaystyle P}$${\displaystyle {\mathsf {CPoint}}}$

Si la red es lo suficientemente densa, el resultado se aproxima a las partes conectadas de la curva implícita. Si para otras aplicaciones se necesitan polígonos en las curvas, se pueden trazar las partes de interés mediante el algoritmo de trazado.

Cualquier curva espacial que esté definida por dos ecuaciones

${\displaystyle {\begin{matrix}F(x,y,z)=0,\\G(x,y,z)=0\end{matrix}}}$

se llama curva espacial implícita .

Un punto de curva se llama regular si el producto vectorial de los gradientes y no está en este punto: ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (0,0,0)}$

${\displaystyle \mathbf {t} (x_{0},y_{0},z_{0})=\operatorname {grad} F(x_{0},y_{0},z_{0})\times \operatorname {grad} G(x_{0},y_{0},z_{0})\neq (0,0,0);}$

De lo contrario, se llama singular . El vector es un vector tangente de la curva en el punto${\displaystyle \mathbf {t} (x_{0},y_{0},z_{0})}$${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0}).}$

Ejemplos:

${\displaystyle (1)\quad x+y+z-1=0\ ,\ x-y+z-2=0}$

Es una linea.

${\displaystyle (2)\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}-4=0\ ,\ x+y+z-1=0}$

es una sección plana de una esfera, por lo tanto un círculo.

${\displaystyle (3)\quad x^{2}+y^{2}-1=0\ ,\ x+y+z-1=0}$

es una elipse (sección plana de un cilindro).

${\displaystyle (4)\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}-16=0\ ,\ (y-y_{0})^{2}+z^{2}-9=0}$

es la curva de intersección entre una esfera y un cilindro.

Para el cálculo de puntos de curva y la visualización de una curva espacial implícita, consulte Intersección .

• Superficie implícita

• Gomes, A., Voiculescu, I., Jorge, J., Wyvill, B., Galbraith, C.: Curvas y superficies implícitas: matemáticas, estructuras de datos y algoritmos , 2009, Springer-Verlag Londres, ISBN 978-1-84882-405-8 
• C:L: Bajaj, CM Hoffmann, RE Lynch: Trazado de intersecciones de superficies , Comp. Aided Geom. Design 5 (1988), 285-307.
• Geometría y Algoritmos para el Diseño Asistida por Computadora

• Curvas famosas