Superficie del canal

En geometría y topología , una superficie de canal es una superficie formada como la envoltura de una familia de esferas cuyos centros se encuentran sobre una curva espacial , su directriz . Si los radios de las esferas generadoras son constantes, la superficie de canal se denomina superficie de tubería . Algunos ejemplos sencillos son:

• Cilindro circular recto (superficie del tubo, directriz es una línea, el eje del cilindro)
• toroide (superficie de tubería, directriz es un círculo),
• cono circular recto (superficie del canal, directriz es una línea (el eje), radios de las esferas no constantes),
• superficie de revolución (superficie del canal, la directriz es una línea).

Las superficies de los canales desempeñan un papel esencial en la geometría descriptiva , ya que, en el caso de una proyección ortográfica, su curva de contorno puede dibujarse como la envolvente de círculos.

• En el ámbito técnico, las superficies de los canales se pueden utilizar para mezclar superficies de forma uniforme.

Dado el haz de superficies implícitas

${\displaystyle \Phi _{c}:f({\mathbf {x} },c)=0,c\in [c_{1},c_{2}]}$,

dos superficies vecinas${\displaystyle \Phi _{c}}$y ${\displaystyle \Phi _{c+\Delta c}}$se intersecan en una curva que satisface las ecuaciones

${\displaystyle f({\mathbf {x} },c)=0}$y${\displaystyle f({\mathbf {x} },c+\Delta c)=0}$.

Para el límite${\displaystyle \Delta c\to 0}$uno consigue ${\displaystyle f_{c}({\mathbf {x} },c)=\lim _{\Delta c\to \ 0}{\frac {f({\mathbf {x} },c)-f({\mathbf {x} },c+\Delta c)}{\Delta c}}=0}$. La última ecuación es la razón de la siguiente definición.

• Dejar${\displaystyle \Phi _{c}:f({\mathbf {x} },c)=0,c\in [c_{1},c_{2}]}$sea ​​un haz de 1 parámetro de implícito regular${\displaystyle C^{2}}$superficies (${\displaystyle f}$siendo al menos dos veces continuamente diferenciable). La superficie definida por las dos ecuaciones

  ${\displaystyle f({\mathbf {x} },c)=0,\quad f_{c}({\mathbf {x} },c)=0}$

es la envoltura del lápiz de superficies dado. ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle \Gamma$ :{\mathbf {x} }={\mathbf {c} }(u)=(a(u),b(u),c(u))^{\top }} sea unacurva espacial regular y${\displaystyle r(t)}$a${\displaystyle C^{1}}$-función con${\displaystyle r>0}$y${\displaystyle |{\dot {r}}|<\|{\dot {\mathbf {c} }}\|}$La última condición significa que la curvatura de la curva es menor que la de la esfera correspondiente. La envolvente del haz de esferas de un parámetro.

${\displaystyle f({\mathbf {x} };u):={\big \|}{\mathbf {x} }-{\mathbf {c} }(u){\big \|}^{2}-r^{2}(u)=0}$

se denomina superficie de canal y${\displaystyle \Gamma }$su directriz . Si los radios son constantes, se denomina superficie de tubería .

El estado del sobre

${\displaystyle f_{u}({\mathbf {x} },u)=2{\Big (}-{\big (}{\mathbf {x} }-{\mathbf {c} }(u){\big )}^{\top }{\dot {\mathbf {c} }}(u)-r(u){\dot {r}}(u){\Big )}=0}$

de la superficie del canal por encima es para cualquier valor de${\displaystyle u}$la ecuación de un plano que es ortogonal a la tangente ${\displaystyle {\dot {\mathbf {c} }}(u)}$de la directriz. Por lo tanto, la envolvente es una colección de círculos. Esta propiedad es clave para una representación paramétrica de la superficie del canal. El centro del círculo (para el parámetro${\displaystyle u}$) tiene la distancia ${\displaystyle d:={\frac {r{\dot {r}}}{\|{\dot {\mathbf {c} }}\|}}<r}$(ver condición anterior) desde el centro de la esfera correspondiente y su radio es${\displaystyle {\sqrt {r^{2}-d^{2}}}}$. Por eso

• ${\displaystyle {\mathbf {x} }={\mathbf {x} }(u,v):={\mathbf {c} }(u)-{\frac {r(u){\dot {r}}(u)}{\|{\dot {\mathbf {c} }}(u)\|^{2}}}{\dot {\mathbf {c} }}(u)+r(u){\sqrt {1-{\frac {{\dot {r}}(u)^{2}}{\|{\dot {\mathbf {c} }}(u)\|^{2}}}}}{\big (}{\mathbf {e} }_{1}(u)\cos(v)+{\mathbf {e} }_{2}(u)\sin(v){\grande)},}$

donde los vectores${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1},{\mathbf {e} }_{2}}$y el vector tangente${\displaystyle {\dot {\mathbf {c} }}/\|{\dot {\mathbf {c} }}\|}$forma una base ortonormal , es una representación paramétrica de la superficie del canal. ^{[ 2 ]}

Para${\displaystyle {\dot {r}}=0}$se obtiene la representación paramétrica de la superficie de una tubería :

• ${\displaystyle {\mathbf {x} }={\mathbf {x} }(u,v):={\mathbf {c} }(u)+r{\big (}{\mathbf {e} }_{1}(u)\cos(v)+{\mathbf {e} }_{2}(u)\sin(v){\big )}.}$

a) La primera imagen muestra una superficie de canal con

1. la hélice${\displaystyle (\cos(u),\sin(u),0.25u),u\in [0,4]}$como directora y
2. la función de radio${\displaystyle r(u):=0,2+0,8u/2\pi }$.
3. La elección para${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1},{\mathbf {e} }_{2}}$es lo siguiente:

${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1}:=({\dot {b}},-{\dot {a}},0)/\|\cdots \|,\ {\mathbf {e} }_{2}:=({\mathbf {e} }_{1}\times {\dot {\mathbf {c} }})/\|\cdots \|}$.

b) En la segunda imagen, el radio es constante:${\displaystyle r(u):=0.2}$, es decir, la superficie del canal es la superficie de una tubería.

c) Para la imagen 3, la superficie de la tubería b) tiene parámetro${\displaystyle u\in [0,7.5]}$.

d) La cuarta imagen muestra un nudo de tubería. Su directriz es una curva en un toroide.

e) La imagen 5 muestra una ciclida de Dupin (superficie del canal).

• Superficie paralela

• Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952). Geometría y la imaginación (2.ª  ed.). Chelsea. pág . 219. ISBN  0-8284-1087-9.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

• M. Peternell y H. Pottmann: Cálculo de parametrizaciones racionales de superficies de canales