Ecuaciones de Gauss-Codazzi

En geometría riemanniana y geometría pseudoriemanniana , las ecuaciones de Gauss-Codazzi (también llamadas ecuaciones de Gauss-Codazzi-Weingarten-Mainardi o fórmulas de Gauss-Peterson-Codazzi ^{[ 1 ]} ) son fórmulas fundamentales que vinculan la métrica inducida y la segunda forma fundamental de una subvariedad de (o inmersión en) una variedad riemanniana o pseudoriemanniana .

Las ecuaciones se descubrieron originalmente en el contexto de superficies en el espacio euclidiano tridimensional . En este contexto, la primera ecuación, a menudo llamada ecuación de Gauss (en honor a su descubridor Carl Friedrich Gauss ), establece que la curvatura de Gauss de la superficie, en cualquier punto dado, está determinada por las derivadas del mapa de Gauss en ese punto, codificadas por la segunda forma fundamental . ^{[ 2 ]} La segunda ecuación, llamada ecuación de Codazzi o ecuación de Codazzi-Mainardi , establece que la derivada covariante de la segunda forma fundamental es completamente simétrica. Recibe su nombre de Gaspare Mainardi (1856) y Delfino Codazzi (1868-1869), quienes derivaron el resultado de forma independiente, ^{[ 3 ]} aunque fue descubierta anteriormente por Karl Mikhailovich Peterson . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Dejar${\displaystyle i\colon M\to P}$sea ​​una incrustación de una subvariedad n -dimensional M en una variedad riemanniana P de dimensión${\displaystyle n+p}$. Existe una inclusión natural del fibrado tangente de M en el de P mediante el pushforward , y el cokernel es el fibrado normal de M :

${\displaystyle 0\rightarrow T_{x}M\rightarrow T_{x}P|_{M}\rightarrow T_{x}^{\perp }M\rightarrow 0.}$

La métrica divide esta corta secuencia exacta , y así

${\displaystyle TP|_{M}=TM\oplus T^{\perp }M.}$

En relación con esta división, la conexión Levi-Civita${\displaystyle \nabla '}$de P se descompone en componentes tangenciales y normales. Para cada${\displaystyle X\in TM}$y el campo vectorial Y en M ,

${\displaystyle \nabla '_{X}Y=\top \left(\nabla '_{X}Y\right)+\bot \left(\nabla '_{X}Y\right).}$

Dejar

${\displaystyle \nabla _{X}Y=\top \left(\nabla '_{X}Y\right),\quad \alpha (X,Y)=\bot \left(\nabla '_{X}Y\right).}$

La fórmula de Gauss ^{[ 6 ]} ahora afirma que${\displaystyle \nabla _{X}}$es la conexión Levi-Civita para M y${\displaystyle \alpha }$es una forma vectorial simétrica con valores en el fibrado normal. A menudo se la denomina la segunda forma fundamental .

Un corolario inmediato es la ecuación de Gauss para el tensor de curvatura . Para${\displaystyle X,Y,Z,W\in TM}$,

${\displaystyle \langle R'(X,Y)Z,W\rangle =\langle R(X,Y)Z,W\rangle +\langle \alpha (X,Z),\alpha (Y,W)\rangle -\langle \alpha (Y,Z),\alpha (X,W)\rangle }$

dónde${\displaystyle R'}$es el tensor de curvatura de Riemann de P y R es el de M.

La ecuación de Weingarten es un análogo de la fórmula de Gauss para una conexión en el fibrado normal. Sea${\displaystyle X\in TM}$y${\displaystyle \xi }$un campo vectorial normal. Luego descomponga la derivada covariante ambiental de${\displaystyle \xi }$a lo largo del eje X en componentes tangenciales y normales:

${\displaystyle \nabla '_{X}\xi =\top \left(\nabla '_{X}\xi \right)+\bot \left(\nabla '_{X}\xi \right)=-A_{\xi }(X)+D_{X}(\xi ).}$

Entonces

1. La ecuación de Weingarten :${\displaystyle \langle A_{\xi }X,Y\rangle =\langle \alpha (X,Y),\xi \rangle }$
2. D _X es una conexión métrica en el paquete normal.

Hay, por lo tanto, un par de conexiones: ∇, definida en el fibrado tangente de M ; y D , definida en el fibrado normal de M. Estas se combinan para formar una conexión en cualquier producto tensorial de copias de T M y T ^⊥ M. En particular, definieron la derivada covariante de${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle \left({\tilde {\nabla }}_{X}\alpha \right)(Y,Z)=D_{X}\left(\alpha (Y,Z)\right)-\alpha \left(\nabla _{X}Y,Z\right)-\alpha \left(Y,\nabla _{X}Z\right).}$

La ecuación de Codazzi-Mainardi es

${\displaystyle \bot \left(R'(X,Y)Z\right)=\left({\tilde {\nabla }}_{X}\alpha \right)(Y,Z)-\left({\tilde {\nabla }}_{Y}\alpha \right)(X,Z).}$

Dado que toda inmersión es, en particular, una incrustación local, las fórmulas anteriores también son válidas para las inmersiones.

Sea M una variedad diferenciable m -dimensional inmersa en la variedad diferenciable ( m +  k ) -dimensional P. ${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots ,e_{k}}$Sea M un marco ortonormal local de campos vectoriales normales a M. Entonces podemos escribir:

${\displaystyle \alpha (X,Y)=\sum _{j=1}^{k}\alpha _{j}(X,Y)e_{j}.}$

Si ahora,${\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots ,E_{m}}$es un marco ortonormal local (de campos vectoriales tangentes) en el mismo subconjunto abierto de M , entonces podemos definir las curvaturas medias de la inmersión por

${\displaystyle H_{j}=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{j}(E_{i},E_{i}).}$

En particular, si M es una hipersuperficie de P , es decir${\displaystyle k=1}$, entonces solo hay una curvatura media de la que hablar. La inmersión se llama mínima si todas las${\displaystyle H_{j}}$son idénticamente cero.

Obsérvese que la curvatura media es una traza, o promedio, de la segunda forma fundamental, para cualquier componente dado. A veces, la curvatura media se define multiplicando la suma del lado derecho por${\displaystyle 1/m}$.

Ahora podemos escribir las ecuaciones de Gauss-Codazzi como

${\displaystyle \langle R'(X,Y)Z,W\rangle =\langle R(X,Y)Z,W\rangle +\sum _{j=1}^{k}\left(\alpha _{j}(X,Z)\alpha _{j}(Y,W)-\alpha _{j}(Y,Z)\alpha _{j}(X,W)\right).}$

Contratar el${\displaystyle Y,Z}$los componentes nos dan

${\displaystyle \operatorname {Ric} '(X,W)=\operatorname {Ric} (X,W)+\sum _{j=1}^{k}\langle R'(X,e_{j})e_{j},W\rangle +\sum _{j=1}^{k}\left(\sum _{i=1}^{m}\alpha _{j}(X,E_{i})\alpha _{j}(E_{i},W)-H_{j}\alpha _{j}(X,W)\right).}$

Cuando M es una hipersuperficie, esto se simplifica a

${\displaystyle \operatorname {Ric} '(X,W)=\operatorname {Ric} (X,W)+\langle R'(X,n)n,W\rangle +\sum _{i=1}^{m}h(X,E_{i})h(E_{i},W)-Hh(X,W)}$

dónde${\displaystyle n=e_{1},}$${\displaystyle h=\alpha _{1}}$y${\displaystyle H=H_{1}}$En ese caso, una contracción más produce,

${\displaystyle R'=R+2\operatorname {Ric} '(n,n)+\|h\|^{2}-H^{2}}$

dónde${\displaystyle R'}$y${\displaystyle R}$son las curvaturas escalares de P y M respectivamente, y

${\displaystyle \|h\|^{2}=\sum _{i,j=1}^{m}h(E_{i},E_{j})^{2}.}$

Si${\displaystyle k>1}$, la ecuación de curvatura escalar podría ser más complicada.

Ya podemos usar estas ecuaciones para sacar algunas conclusiones. Por ejemplo, cualquier inmersión mínima ^{[ 7 ]} en la esfera redonda.${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{m+k+1}^{2}=1}$debe ser de la forma

${\displaystyle \Delta x_{j}+\lambda x_{j}=0}$

dónde${\displaystyle j}$va de 1 a${\displaystyle m+k+1}$y

${\displaystyle \Delta =\sum _{i=1}^{m}\nabla _{E_{i}}\nabla _{E_{i}}}$

es el laplaciano en M , y${\displaystyle \lambda >0}$es una constante positiva.

• Marco Darboux

Referencias históricas

• Bonnet, Ossian (1867), "Memoire sur la théorie des Surfaces applys sur une Surface donnee", Journal de l'École Polytechnique , 25 : 31– 151
• Codazzi, Delfino (1868–1869), "Sulle coordinada curvilinee d'una superficie dello spazio" , Ann. Estera. Pura aplicación. , 2 : 101–19 , doi : 10.1007/BF02419605 , S2CID 177803350 
• Gauss, Carl Friedrich (1828), "Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas" [ Discusiones generales sobre superficies curvas ] , Comm. Soc. Gott. (en latín), 6("Discusiones generales sobre superficies curvas")
• Ivanov, AB (2001) [1994], "Ecuaciones de Peterson-Codazzi" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Kline, Morris (1972), El pensamiento matemático desde la antigüedad hasta la época moderna , Oxford University Press , ISBN 0-19-506137-3
• Mainardi, Gaspare (1856), "Su la teoría general delle superficie", Giornale Dell' Istituto Lombardo , 9 : 385– 404
• Peterson, Karl Mikhailovich (1853), Über die Biegung der Flächen , tesis doctoral, Universidad de Dorpat.

Libros de texto

• do Carmo, Manfredo P. Geometría diferencial de curvas y superficies. Segunda edición revisada y actualizada. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2016. xvi+510 pp. ISBN 978-0-486-80699-0,0-486-80699-5
• do Carmo, Manfredo Perdigão. Geometría riemanniana. Traducido de la segunda edición portuguesa por Francis Flaherty. Matemáticas: Teoría y aplicaciones. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992. xiv+300 pp. ISBN 0-8176-3490-8
• Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi . Fundamentos de geometría diferencial . Vol. II. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 15 Vol. II Interscience Publishers John Wiley & Sons, Inc., Nueva York-Londres-Sídney 1969 xv+470 pp.
• O'Neill, Barrett. Geometría semiriemanniana. Con aplicaciones a la relatividad. Matemáticas puras y aplicadas, 103. Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], Nueva York, 1983. xiii+468 pp. ISBN 0-12-526740-1
• Toponogov, Victor Andreevich (2006). Geometría diferencial de curvas y superficies: Una guía concisa . Boston: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4384-3.

Artículos

• Takahashi, Tsunero (1966), "Inmersiones mínimas de variedades riemannianas", Journal of the Mathematical Society of Japan , 18 (4), doi : 10.2969/jmsj/01840380 , S2CID 122849496 
• Simons, James. Variedades mínimas en variedades riemannianas. Ann. of Math. (2) 88 (1968), 62–105.

• Ecuaciones de Peterson-Mainardi-Codazzi – de Wolfram MathWorld
• Ecuaciones de Peterson-Codazzi