Series temporales

En el contexto de la estadística , la econometría , las finanzas cuantitativas , la sismología , la meteorología y la geofísica, el objetivo principal del análisis de series temporales es la predicción . En el contexto del procesamiento de señales , la ingeniería de control y la ingeniería de comunicaciones, se utiliza para la detección de señales. Otras aplicaciones se encuentran en la minería de datos , el reconocimiento de patrones y el aprendizaje automático , donde el análisis de series temporales puede utilizarse para la agrupación , ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} la clasificación , ^{[ 5 ]} la consulta por contenido, ^{[ 6 ]} la detección de anomalías y la predicción . ^{[ 7 ]}

Una forma sencilla de analizar una serie temporal regular es manualmente con un gráfico de líneas . El gráfico de datos muestra las muertes por tuberculosis en Estados Unidos, ^{[ 8 ]} junto con la variación anual y la variación porcentual interanual. El número total de muertes disminuyó cada año hasta mediados de la década de 1980, después de lo cual se produjeron aumentos ocasionales, a menudo proporcionalmente —aunque no en términos absolutos— bastante grandes.

Un estudio realizado con analistas de datos corporativos reveló dos desafíos para el análisis exploratorio de series temporales: descubrir la forma de patrones interesantes y encontrar una explicación para estos patrones. ^{[ 9 ]} Las herramientas visuales que representan datos de series temporales como matrices de mapas de calor pueden ayudar a superar estos desafíos.

Este enfoque puede basarse en el análisis armónico y el filtrado de señales en el dominio de la frecuencia mediante la transformada de Fourier , así como en la estimación de la densidad espectral . Su desarrollo se aceleró significativamente durante la Segunda Guerra Mundial gracias al matemático Norbert Wiener , los ingenieros eléctricos Rudolf E. Kálmán , Dennis Gabor y otros, quienes lo utilizaron para filtrar señales de ruido y predecir valores de señal en un momento determinado.

Se puede lograr un efecto equivalente en el dominio del tiempo, como en un filtro de Kalman ; consulte la sección sobre filtrado y suavizado para obtener más información sobre las técnicas.

Otras técnicas relacionadas incluyen:

• Análisis de autocorrelación para examinar la dependencia serial
• Análisis espectral para examinar comportamientos cíclicos que no necesariamente están relacionados con la estacionalidad . Por ejemplo, la actividad de las manchas solares varía en ciclos de 11 años. ^{[ 10 ] [ 11 ]} Otros ejemplos comunes incluyen fenómenos celestes, patrones climáticos, actividad neuronal, precios de materias primas y actividad económica.
• Separación en componentes que representan la tendencia, la estacionalidad, la variación lenta y rápida, y la irregularidad cíclica: véase la estimación de tendencias y la descomposición de series temporales.

El ajuste de curvas ^{[ 12 ] [ 13 ]} es el proceso de construir una curva , o función matemática , que tenga el mejor ajuste a una serie de puntos de datos , ^{[ 14 ]} posiblemente sujeto a restricciones. ^{[ 15 ] [ 16 ]} El ajuste de curvas puede implicar interpolación , ^{[ 17 ] [ 18 ]} donde se requiere un ajuste exacto a los datos, o suavizado , ^{[ 19 ] [ 20 ]} en el que se construye una función "suave" que se ajusta aproximadamente a los datos. Un tema relacionado es el análisis de regresión , ^{[ 21 ] [ 22 ]} que se centra más en cuestiones de inferencia estadística como cuánta incertidumbre está presente en una curva que se ajusta a datos observados con errores aleatorios. Las curvas ajustadas se pueden utilizar como ayuda para la visualización de datos, ^{[ 23 ] [ 24 ]} para inferir valores de una función cuando no hay datos disponibles, ^{[ 25 ]} y para resumir las relaciones entre dos o más variables. ^{[ 26 ]} La extrapolación se refiere al uso de una curva ajustada más allá del rango de los datos observados, ^{[ 27 ]} y está sujeta a un grado de incertidumbre ^{[ 28 ]} ya que puede reflejar el método utilizado para construir la curva tanto como refleja los datos observados.

Para los procesos que se espera que aumenten en magnitud, una de las curvas del gráfico (y muchas otras) se puede ajustar estimando sus parámetros.

La construcción de series temporales económicas implica la estimación de algunos componentes para ciertas fechas mediante interpolación entre valores ("puntos de referencia") para fechas anteriores y posteriores. La interpolación es la estimación de una cantidad desconocida entre dos cantidades conocidas (datos históricos), o la extracción de conclusiones sobre información faltante a partir de la información disponible ("leer entre líneas"). ^{[ 29 ]} La interpolación es útil cuando se dispone de datos que rodean a los datos faltantes y se conocen su tendencia, estacionalidad y ciclos a largo plazo. Esto se suele hacer utilizando una serie relacionada conocida para todas las fechas relevantes. ^{[ 30 ]} Alternativamente, se utiliza la interpolación polinómica o la interpolación spline, donde se ajustan funciones polinómicas por partes en intervalos de tiempo de manera que se ajusten suavemente entre sí. Un problema diferente, estrechamente relacionado con la interpolación, es la aproximación de una función compleja mediante una función simple (también llamada regresión ). La principal diferencia entre regresión e interpolación es que la regresión polinómica proporciona un único polinomio que modela todo el conjunto de datos. Sin embargo, la interpolación mediante splines produce una función continua por partes compuesta por muchos polinomios para modelar el conjunto de datos.

La extrapolación es el proceso de estimar, más allá del rango de observación original, el valor de una variable a partir de su relación con otra variable. Es similar a la interpolación , que produce estimaciones entre observaciones conocidas, pero la extrapolación está sujeta a una mayor incertidumbre y a un mayor riesgo de producir resultados sin sentido.

En general, un problema de aproximación de funciones nos pide seleccionar una función dentro de una clase bien definida que se ajuste estrechamente ("aproxime") a una función objetivo de una manera específica para la tarea. Se pueden distinguir dos clases principales de problemas de aproximación de funciones: Primero, para funciones objetivo conocidas, la teoría de la aproximación es la rama del análisis numérico que investiga cómo ciertas funciones conocidas (por ejemplo, funciones especiales ) pueden aproximarse mediante una clase específica de funciones (por ejemplo, polinomios o funciones racionales ) que a menudo tienen propiedades deseables (cálculo económico, continuidad, valores integrales y límite, etc.).

Second, the target function, call it g, may be unknown; instead of an explicit formula, only a set of points (a time series) of the form (x, g(x)) is provided. Depending on the structure of the domain and codomain of g, several techniques for approximating g may be applicable. For example, if g is an operation on the real numbers, techniques of interpolation, extrapolation, regression analysis, and curve fitting can be used. If the codomain (range or target set) of g is a finite set, one is dealing with a classification problem instead. A related problem of online time series approximation^[31] is to summarize the data in one-pass and construct an approximate representation that can support a variety of time series queries with bounds on worst-case error.

To some extent, the different problems (regression, classification, fitness approximation) have received a unified treatment in statistical learning theory, where they are viewed as supervised learning problems.

In statistics, prediction is a part of statistical inference. One particular approach to such inference is known as predictive inference, but the prediction can be undertaken within any of the several approaches to statistical inference. Indeed, one description of statistics is that it provides a means of transferring knowledge about a sample of a population to the whole population, and to other related populations, which is not necessarily the same as prediction over time. When information is transferred across time, often to specific points in time, the process is known as forecasting.

• Fully formed statistical models for stochastic simulation purposes, so as to generate alternative versions of the time series, representing what might happen over non-specific time-periods in the future
• Simple or fully formed statistical models to describe the likely outcome of the time series in the immediate future, given knowledge of the most recent outcomes (forecasting).
• La previsión basada en series temporales se suele realizar utilizando paquetes de software estadístico automatizados y lenguajes de programación, como Julia , Python , R , SAS , SPSS y muchos otros.
• La previsión en datos a gran escala se puede realizar con Apache Spark utilizando la biblioteca Spark-TS, un paquete de terceros. ^{[ 32 ]}

Asignar un patrón de serie temporal a una categoría específica, por ejemplo, identificar una palabra basándose en una serie de movimientos de las manos en el lenguaje de señas .

Segmentación de una serie temporal. A menudo, una serie temporal puede representarse como una secuencia de segmentos individuales, cada uno con sus propias propiedades características. Por ejemplo, la señal de audio de una conferencia telefónica puede dividirse en fragmentos que corresponden a los momentos en que cada participante habló. En la segmentación de series temporales, el objetivo es identificar los puntos de inflexión de cada segmento y caracterizar sus propiedades dinámicas. Este problema puede abordarse mediante la detección de puntos de cambio o modelando la serie temporal como un sistema más sofisticado, como un sistema lineal de saltos de Markov.

Los datos de series temporales pueden agruparse, sin embargo, se debe tener especial cuidado al considerar la agrupación de subsecuencias. ^{[ 33 ] [ 34 ]} La agrupación de series temporales puede dividirse en

• Agrupación de series temporales completas (múltiples series temporales para las que encontrar un grupo)
• Agrupación de series temporales de subsecuencias (series temporales individuales, divididas en fragmentos mediante ventanas deslizantes)
• agrupamiento de puntos temporales

Los modelos para datos de series temporales pueden tener muchas formas y representar diferentes procesos estocásticos . Al modelar variaciones en el nivel de un proceso, tres clases amplias de importancia práctica son los modelos autorregresivos (AR), los modelos integrados (I) y los modelos de media móvil (MA). Estas tres clases dependen linealmente de los puntos de datos anteriores. ^{[ 36 ]} Las combinaciones de estas ideas producen modelos autorregresivos de media móvil (ARMA) y modelos autorregresivos integrados de media móvil (ARIMA). El modelo autorregresivo fraccionalmente integrado de media móvil (ARFIMA) generaliza los tres anteriores. Otra generalización importante es el modelo autorregresivo variable en el tiempo (TVAR), en el que se permite que los coeficientes AR cambien con el tiempo, lo que permite que el modelo capture dinámicas evolutivas o no estacionarias. Las extensiones de estas clases para tratar con datos de valores vectoriales están disponibles bajo el epígrafe de modelos de series temporales multivariadas y, a veces, los acrónimos anteriores se extienden incluyendo una "V" inicial de "vector", como en VAR para autorregresión vectorial . Existe un conjunto adicional de extensiones de estos modelos para su uso cuando la serie temporal observada está determinada por alguna serie temporal de "forzamiento" (que puede no tener un efecto causal sobre la serie observada): la diferencia con el caso multivariado radica en que la serie de forzamiento puede ser determinista o estar bajo el control del experimentador. Para estos modelos, los acrónimos se extienden con una "X" final de "exógeno".

Los modelos autorregresivos variables en el tiempo (TVAR) son especialmente útiles para analizar series temporales no estacionarias en las que la dinámica subyacente evoluciona con el tiempo de forma compleja, sin limitarse a las formas clásicas de variación, como las tendencias o los patrones estacionales. A diferencia de los modelos AR clásicos con parámetros fijos, los modelos TVAR permiten que los coeficientes autorregresivos varíen en función del tiempo, representados normalmente mediante expansiones de funciones base cuya forma y complejidad determina el usuario. Esto permite una modelización muy flexible del comportamiento variable en el tiempo, lo que posibilita capturar patrones no estacionarios específicos que presentan los datos. Esta flexibilidad los hace idóneos para modelar cambios estructurales, cambios de régimen o evoluciones graduales en el comportamiento de un sistema. Los modelos de series temporales TVAR se aplican ampliamente en campos como el procesamiento de señales, ^{[ 37 ] [ 38 ]} economía, ^{[ 39 ]} finanzas, ^{[ 40 ]} monitoreo de confiabilidad y condición , ^{[ 41 ] [ 42 ] [ 43 ]} telecomunicaciones, ^{[ 44 ] [ 45 ]} neurociencia, ^{[ 46 ]} ciencias climáticas, ^{[ 47 ]} e hidrología, ^{[ 48 ]} donde las series temporales a menudo muestran dinámicas que los modelos lineales tradicionales no pueden representar adecuadamente. La estimación de modelos TVAR generalmente implica métodos como suavizado de núcleo, ^{[ 49 ]} mínimos cuadrados recursivos, ^{[ 50 ]} o filtrado de Kalman. ^{[ 51 ]}

La dependencia no lineal del nivel de una serie respecto a datos previos resulta interesante, en parte debido a la posibilidad de generar una serie temporal caótica . Sin embargo, y lo que es más importante, las investigaciones empíricas pueden indicar la ventaja de utilizar predicciones derivadas de modelos no lineales frente a las de modelos lineales, como por ejemplo en los modelos autorregresivos exógenos no lineales . Otras referencias sobre el análisis de series temporales no lineales: (Kantz y Schreiber), ^{[ 52 ]} y (Abarbanel) ^{[ 53 ].}

Among other types of non-linear time series models, there are models to represent the changes of variance over time (heteroskedasticity). These models represent autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) and the collection comprises a wide variety of representation (GARCH, TARCH, EGARCH, FIGARCH, CGARCH, etc.). Here changes in variability are related to, or predicted by, recent past values of the observed series. This is in contrast to other possible representations of locally varying variability, where the variability might be modeled as being driven by a separate time-varying process, as in a doubly stochastic model.

In a recent work on "model-free" analyses (a term often used to refer to analyses that do not rely on modeling the processes evolution over time with a parametric mathematical expression), wavelet transform based methods (for example locally stationary wavelets and wavelet decomposed neural networks) have gained favor.^[54] Multiscale (often referred to as multiresolution) techniques decompose a given time series, attempting to illustrate time dependence at multiple scales. See also Markov switching multifractal (MSMF) techniques for modeling volatility evolution.

A hidden Markov model (HMM) is a statistical Markov model in which the system being modeled is assumed to be a Markov process with unobserved (hidden) states. An HMM can be considered as the simplest dynamic Bayesian network. HMM models are widely used in speech recognition, for translating a time series of spoken words into text.

Many of these models are collected in the python package sktime.

There are two sets of conditions under which much of the theory is built:

• Stationary process
• Ergodic process

La ergodicidad implica estacionariedad, pero lo contrario no es necesariamente cierto. La estacionariedad se suele clasificar en estacionariedad estricta y estacionariedad en sentido amplio o de segundo orden . Tanto los modelos como las aplicaciones pueden desarrollarse bajo cualquiera de estas condiciones, aunque los modelos en el segundo caso podrían considerarse solo parcialmente especificados.

Además, el análisis de series temporales puede aplicarse cuando las series son estacionalmente estacionarias o no estacionarias. Las situaciones en las que las amplitudes de los componentes de frecuencia cambian con el tiempo pueden abordarse mediante el análisis tiempo-frecuencia , que utiliza una representación tiempo-frecuencia de una serie temporal o señal. ^{[ 55 ]}

Las herramientas para investigar datos de series temporales incluyen:

• Consideración de la función de autocorrelación y la función de densidad espectral (así como las funciones de correlación cruzada y las funciones de densidad espectral cruzada).
• Funciones de autocorrelación y correlación cruzada escaladas para eliminar las contribuciones de los componentes lentos ^{[ 56 ]}
• Realizar una transformada de Fourier para investigar la serie en el dominio de la frecuencia.
• Realizar un análisis de agrupamiento ^{[ 57 ]}
• Espectros discretos, continuos o mixtos de series temporales, dependiendo de si la serie temporal contiene una señal armónica (generalizada) o no.
• Uso de un filtro para eliminar el ruido no deseado
• Análisis de componentes principales (o análisis de funciones ortogonales empíricas )
• Análisis de espectro singular
• Modelos "estructurales":
  • Modelos generales de espacio de estados
  • Modelos de componentes no observados
• Aprendizaje automático
  • Redes neuronales artificiales
  • Máquina de vectores de soporte
  • lógica difusa
  • proceso gaussiano
  • Programación genética
  • Programación de la expresión génica
  • modelo oculto de Markov
  • Programación de expresiones múltiples
• Análisis de la teoría de colas
• Gráfico de control
  • Gráfico de control de individuos de Shewhart
  • Tabla CUSUM
  • Gráfico EWMA
• Análisis de fluctuación sin tendencia
• Modelado de efectos mixtos no lineales
• Deformación temporal dinámica ^{[ 58 ]}
• Red bayesiana dinámica
• Técnicas de análisis tiempo-frecuencia:
  • transformada rápida de Fourier
  • transformada wavelet continua
  • Transformada de Fourier de corto tiempo
  • Transformación de Chirplet
  • Transformada fraccional de Fourier
• Análisis caótico
  • Dimensión de correlación
  • Diagramas de recurrencia
  • Análisis de cuantificación de recurrencia
  • exponentes de Lyapunov
  • Codificación de entropía

Métricas o características de series temporales que pueden utilizarse para la clasificación de series temporales o el análisis de regresión : ^{[ 59 ]}

• Medidas lineales univariadas
  • Momento (matemáticas)
  • Potencia de banda espectral
  • Frecuencia del borde espectral
  • Energía acumulada (procesamiento de señales)
  • Características de la función de autocorrelación
  • Parámetros de Hjorth
  • Parámetros de la FFT
  • Parámetros del modelo autorregresivo
  • prueba de Mann-Kendall
• Medidas no lineales univariadas
  • Medidas basadas en la suma de la correlación
  • Dimensión de correlación
  • Integral de correlación
  • Densidad de correlación
  • entropía de correlación
  • Entropía aproximada ^{[ 60 ]}
  • entropía de muestra
  • entropía de Fourier
  • entropía wavelet
  • Entropía de dispersión
  • entropía de dispersión de fluctuaciones
  • entropía de Rényi
  • Métodos de orden superior
  • Previsibilidad marginal
  • Índice de similitud dinámica
  • medidas de disimilitud del espacio de estados
  • exponente de Lyapunov
  • Métodos de permutación
  • Flujo local
• Otras medidas univariadas
  • Complejidad algorítmica
  • Estimaciones de complejidad de Kolmogorov
  • Estados del modelo oculto de Markov
  • Firma de ruta rugosa ^{[ 61 ]}
  • Series temporales sustitutas y corrección sustituta
  • Pérdida de recurrencia (grado de no estacionariedad)
• Medidas lineales bivariadas
  • Máxima correlación cruzada lineal
  • Coherencia lineal (procesamiento de señales)
• Medidas no lineales bivariadas
  • Interdependencia no lineal
  • Arrastre dinámico (física)
  • Medidas para la sincronización de fases
  • Medidas para el bloqueo de fase
• Medidas de similitud : ^{[ 62 ]}
  • Correlación cruzada
  • Deformación temporal dinámica ^{[ 58 ]}
  • modelo oculto de Markov
  • Editar distancia
  • Correlación total
  • Estimador de Newey-West
  • Transformación de Prais-Winsten
  • Datos como vectores en un espacio métrico
    • distancia de Minkowski
    • Distancia de Mahalanobis
  • Datos como series temporales con envolventes
    • Desviación estándar global
    • Desviación estándar local
    • Desviación estándar en ventana
  • Datos interpretados como series estocásticas
    • Coeficiente de correlación producto-momento de Pearson
    • Coeficiente de correlación de rangos de Spearman
  • Datos interpretados como una función de distribución de probabilidad
    • prueba de Kolmogorov-Smirnov
    • criterio de Cramér-von Mises

• Gráficos trenzados
• gráficos de líneas
• Gráficas de pendiente
• Gráfico de brechas

• Gráficos de horizonte
• Gráfico de líneas reducido (múltiples pequeños)
• Gráfico de silueta
• Gráfico de silueta circular