Flujo (matemáticas)

Es muy común en muchos campos, incluyendo la ingeniería , la física y el estudio de ecuaciones diferenciales , usar una notación que hace implícito el flujo ^{[ 5 ]} . Así, x ( t ) se escribe para ⁠${\displaystyle \varphi ^{t}(x_{0}),}$y se podría decir que la variable x depende del tiempo t y de la condición inicial x = x ₀ . A continuación se muestran algunos ejemplos.

En el caso de un flujo de un campo vectorial V en una variedad diferenciable X , el flujo se suele denotar de tal manera que su generador se hace explícito. Por ejemplo,

${\displaystyle \Phi _{V}\colon X\times \mathbb {R} \to X;\qquad (x,t)\mapsto \Phi _{V}^{t}(x).}$

Dejemos​${\displaystyle f:\mathbb {R} \to X}$Sea una trayectoria dependiente del tiempo que sea una función biyectiva. Entonces, un flujo puede definirse mediante

${\displaystyle \varphi (x,t)=f(t+f^{-1}(x)).}$

Dejemos​${\displaystyle {\boldsymbol {F}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$Sea un campo vectorial (independiente del tiempo) y${\displaystyle {\boldsymbol {x}}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$la solución del problema de valor inicial

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}(t)={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}}(t)),\qquad {\boldsymbol {x}}(0)={\boldsymbol {x}}_{0}.}$

Entonces${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {x}}_{0},t)={\boldsymbol {x}}(t)}$es el flujo del campo vectorial F. Es un flujo local bien definido siempre que el campo vectorial ⁠${\displaystyle {\boldsymbol {F}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$⁠ es Lipschitz-continua . Entonces ⁠${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}} ⁠ también es Lipschitz-continuo dondequiera que se defina. En general, puede ser difícil demostrar que el flujoφestá definido globalmente, pero un criterio simple es que el campo vectorial F tengasoporte compacto.

En el caso de campos vectoriales dependientes del tiempo${\displaystyle {\boldsymbol {F}}:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$⁠ , uno denota${\displaystyle \varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0})={\boldsymbol {x}}(t+t_{0}),}$donde​${\displaystyle {\boldsymbol {x}}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$es la solución de

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}(t)={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}}(t),t),\qquad {\boldsymbol {x}}(t_{0})={\boldsymbol {x}}_{0}.}$

Entonces​${\displaystyle \varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0})}$es el flujo dependiente del tiempo de F. No es un "flujo" según la definición anterior, pero puede verse fácilmente como tal reorganizando sus argumentos. Es decir, la aplicación

${\displaystyle \varphi \colon (\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} )\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R}$ ;\qquad \varphi (({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0}),t)=(\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}),t+t_{0})}

En efecto, satisface la ley de grupo para la última variable:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (\varphi (({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0}),t),s)&=\varphi ((\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}),t+t_{0}),s)\\&=(\varphi ^{s,t+t_{0}}(\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0})),s+t+t_{0})\\&=(\varphi ^{s,t+t_{0}}({\boldsymbol {x}}(t+t_{0})),s+t+t_{0})\\&=({\boldsymbol {x}}(s+t+t_{0}),s+t+t_{0})\\&=(\varphi ^{s+t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}),s+t+t_{0})\\&=\varphi (({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0}),s+t).\end{aligned}}}$

Mediante el siguiente truco, se pueden considerar los flujos dependientes del tiempo de campos vectoriales como casos especiales de los independientes del tiempo. Definir

${\displaystyle {\boldsymbol {G}}({\boldsymbol {x}},t):=({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}},t),1),\qquad {\boldsymbol {y}}(t):=({\boldsymbol {x}}(t+t_{0}),t+t_{0}).}$

Entonces y ( t ) es la solución del problema de valor inicial "independiente del tiempo".

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {y}}}(s)={\boldsymbol {G}}({\boldsymbol {y}}(s)),\qquad {\boldsymbol {y}}(0)=({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0})}$

si y solo si x ( t ) es la solución del problema de valor inicial dependiente del tiempo original. Además, entonces la aplicación φ es exactamente el flujo del campo vectorial "independiente del tiempo" G .

Los flujos de campos vectoriales independientes y dependientes del tiempo se definen en variedades diferenciables exactamente igual que se definen en el espacio euclidiano .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$y su comportamiento local es el mismo. Sin embargo, la estructura topológica global de una variedad diferenciable se manifiesta claramente en el tipo de campos vectoriales globales que puede soportar, y los flujos de campos vectoriales en variedades diferenciables constituyen una herramienta importante en la topología diferencial. La mayor parte de los estudios en sistemas dinámicos se realizan en variedades diferenciables, que en las aplicaciones se consideran "espacios de parámetros".

Formalmente: Dejemos${\displaystyle {\mathcal {M}}}$Sea una variedad diferenciable .${\displaystyle \mathrm {T} _{p}{\mathcal {M}}}$denota el espacio tangente de un punto${\displaystyle p\in {\mathcal {M}}.}$Dejar${\displaystyle \mathrm {T} {\mathcal {M}}}$sea ​​el fibrado tangente completo ; es decir,${\displaystyle \mathrm {T} {\mathcal {M}}=\sqcup _{p\in M}\mathrm {T} _{p}{\mathcal {M}}.}$Dejar $${\displaystyle f:\mathbb {R} \times {\mathcal {M}}\to \mathrm {T} {\mathcal {M}}}$$sea ​​un campo vectorial dependiente del tiempo en${\displaystyle {\mathcal {M}}}$; es decir, f es una aplicación suave tal que para cada${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$y${\displaystyle p\in {\mathcal {M}}}$, uno tiene${\displaystyle f(t,p)\in \mathrm {T} _{p}{\mathcal {M}};}$es decir, el mapa${\displaystyle x\mapsto f(t,x)}$asigna cada punto a un elemento de su propio espacio tangente. Para un intervalo adecuado${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$que contiene 0, el flujo de f es una función${\displaystyle \phi :I\times {\mathcal {M}}\to {\mathcal {M}}}$que satisface $${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (0,x_{0})&=x_{0}&\forall x_{0}\in {\mathcal {M}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Big |}_{t=t_{0}}\phi (t,x_{0})&=f(t_{0},\phi (t_{0},x_{0}))&\forall x_{0}\in {\mathcal {M}},t_{0}\in I\end{aligned}}}$$

Sea Ω un subdominio (acotado o no) de ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$⁠ (con n un entero). Denotemos por Γ su frontera (se supone suave). Consideremos la siguiente ecuación de calor en Ω × (0, T ) , para T > 0 ,

${\displaystyle {\begin{array}{rcll}u_{t}-\Delta u&=&0&{\mbox{ in }}\Omega \times (0,T),\\u&=&0&{\mbox{ on }}\Gamma \times (0,T),\end{array}}}$

con la siguiente condición de valor inicial u (0) = u ⁰ en Ω .

La ecuación u = 0 en Γ × (0, T ) corresponde a la condición de contorno de Dirichlet homogénea. El marco matemático para este problema puede ser el enfoque de semigrupo. Para usar esta herramienta, introducimos el operador no acotado Δ _D definido en${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$por su dominio

${\displaystyle D(\Delta _{D})=H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )}$

(ver los espacios de Sobolev clásicos con${\displaystyle H^{k}(\Omega )=W^{k,2}(\Omega )}$ y

${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )={\overline {C_{0}^{\infty }(\Omega )}}^{H^{1}(\Omega )}}$

es el cierre de las funciones infinitamente diferenciables con soporte compacto en Ω para el${\displaystyle H^{1}(\Omega )-}$norma).

Para cualquier${\displaystyle v\in D(\Delta _{D})}$, tenemos

${\displaystyle \Delta _{D}v=\Delta v=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}v~.}$

Con este operador, la ecuación del calor se convierte en:${\displaystyle u'(t)=\Delta _{D}u(t)}$y u (0) = u ⁰ . Por lo tanto, el flujo correspondiente a esta ecuación es (ver notaciones anteriores)

${\displaystyle \varphi (u^{0},t)={\mbox{e}}^{t\Delta _{D}}u^{0},}$

donde exp( t Δ _D ) es el semigrupo (analítico) generado por Δ _D .

De nuevo, sea Ω un subdominio (acotado o no) de ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$( donde n es un número entero). Denotamos por Γ su frontera (que se supone suave). Consideremos la siguiente ecuación de onda en${\displaystyle \Omega \times (0,T)}$(para T > 0 ),

${\displaystyle {\begin{array}{rcll}u_{tt}-\Delta u&=&0&{\mbox{ in }}\Omega \times (0,T),\\u&=&0&{\mbox{ on }}\Gamma \times (0,T),\end{array}}}$

con la siguiente condición inicial u (0) = u ^1,0 en Ω y${\displaystyle u_{t}(0)=u^{2,0}{\mbox{ in }}\Omega .}$

Utilizando el mismo enfoque de semigrupo que en el caso de la ecuación del calor anterior, escribimos la ecuación de onda como una ecuación diferencial parcial de primer orden en el tiempo introduciendo el siguiente operador no acotado:

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\left({\begin{array}{cc}0&Id\\\Delta _{D}&0\end{array}}\right)}$

con dominio${\displaystyle D({\mathcal {A}})=H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )\times H_{0}^{1}(\Omega )}$en${\displaystyle H=H_{0}^{1}(\Omega )\times L^{2}(\Omega )}$(el operador Δ _D se define en el ejemplo anterior).

Introducimos los vectores columna

${\displaystyle U=\left({\begin{array}{c}u^{1}\\u^{2}\end{array}}\right)}$

(dónde${\displaystyle u^{1}=u}$y${\displaystyle u^{2}=u_{t}}$) y

${\displaystyle U^{0}=\left({\begin{array}{c}u^{1,0}\\u^{2,0}\end{array}}\right).}$

Con estas nociones, la ecuación de onda se convierte en${\displaystyle U'(t)={\mathcal {A}}U(t)}$y U (0) = U ⁰ .

Por lo tanto, el flujo correspondiente a esta ecuación es

${\displaystyle \varphi (U^{0},t)={\mbox{e}}^{t{\mathcal {A}}}U^{0}}$

dónde${\displaystyle {\mbox{e}}^{t{\mathcal {A}}}}$es el semigrupo (unitario) generado por${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$

Los sistemas dinámicos ergódicos , es decir, los sistemas que exhiben aleatoriedad, también exhiben flujos. El más célebre de ellos es quizás el flujo de Bernoulli . El teorema de isomorfismo de Ornstein establece que, para cualquier entropía H dada , existe un flujo φ ( x , t ) , llamado flujo de Bernoulli, tal que el flujo en el tiempo t = 1 , es decir φ ( x , 1) , es un desplazamiento de Bernoulli .

Además, este flujo es único, salvo una constante de escalado del tiempo. Es decir, si ψ ( x , t ) es otro flujo con la misma entropía, entonces ψ ( x , t ) = φ ( x , t ) para alguna constante c . La noción de unicidad e isomorfismo aquí es la del isomorfismo de sistemas dinámicos . Muchos sistemas dinámicos, incluidos los billares de Sinai y los flujos de Anosov, son isomorfos a los desplazamientos de Bernoulli.