Grupoide

Un grupoide puede verse como una estructura algebraica que consiste en un conjunto con una función parcial binaria . Precisamente, es un conjunto no vacío.${\displaystyle G}$con una operación unaria${\displaystyle {}^{-1}:G\to G}$y una función parcial${\displaystyle *:G\times G\rightharpoonup G}$Aquí​${\displaystyle *}$no es una operación binaria porque no está necesariamente definida para todos los pares de elementos de ⁠${\displaystyle G}$⁠ . Las condiciones precisas bajo las cuales${\displaystyle *}$Las definiciones no se articulan aquí y varían según la situación.

Las operaciones${\displaystyle \ast }$y​${\displaystyle {}^{-1}}$⁠ tienen las siguientes propiedades axiomáticas: Para todo ⁠${\displaystyle a}$,​​${\displaystyle b}$y​${\displaystyle c}$en​${\displaystyle G}$⁠ ,

1. Asociatividad : Si${\displaystyle a*b}$y${\displaystyle b*c}$se definen, entonces${\displaystyle (a*b)*c}$y${\displaystyle a*(b*c)}$están definidos y son iguales. Por el contrario, si uno de${\displaystyle (a*b)*c}$o${\displaystyle a*(b*c)}$Si se define, entonces ambos están definidos (y son iguales entre sí), y${\displaystyle a*b}$y${\displaystyle b*c}$También se definen.
2. Inverso :${\displaystyle a^{-1}*a}$y${\displaystyle a*{a^{-1}}}$siempre están definidos.
3. Identidad : Si${\displaystyle a*b}$entonces está definido${\displaystyle a*b*{b^{-1}}=a}$y​​${\displaystyle {a^{-1}}*a*b=b}$( Los dos axiomas anteriores ya demuestran que estas expresiones están definidas y no presentan ambigüedades).

De estos axiomas se derivan dos propiedades convenientes:

• ⁠${\displaystyle (a^{-1})^{-1}=a}$⁠ ,
• Si${\displaystyle a*b}$entonces está definido${\displaystyle (a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}}$⁠ . ^{[ 3 ]}

Un grupoide es una categoría pequeña en la que cada morfismo es un isomorfismo , es decir, invertible. ^{[ 1 ]} Más explícitamente, un grupoide${\displaystyle G}$es un conjunto${\displaystyle G_{0}}$de objetos con

• para cada par de objetos${\displaystyle x}$y​​${\displaystyle y}$, un conjunto ( posiblemente vacío)${\displaystyle G(x,y)}$de morfismos ( o flechas )de${\displaystyle x}$a​​${\displaystyle y}$; escribimos​${\displaystyle f:x\to y}$para indicar que${\displaystyle f}$es un elemento de${\displaystyle G(x,y)}$;​
• para cada triplete de objetos${\displaystyle x}$,​​${\displaystyle y}$y​​${\displaystyle z}$, una función${\displaystyle \mathrm {comp} _{x,y,z}:G(y,z)\times G(x,y)\rightarrow G(x,z)}$${\displaystyle (g,f)\mapsto gf}$que es asociativo . Es decir, por cada cuatro objetos${\displaystyle x}$,​​${\displaystyle y}$,​​${\displaystyle z}$,​​${\displaystyle w}$y funciones​${\displaystyle f:x\to y,g:y\to z,h:z\to w}$⁠
  • ${\displaystyle h(gf)=(hg)f}$
• para cada objeto${\displaystyle x}$, un elemento designado${\displaystyle \mathrm {id} _{x}}$de​${\displaystyle G(x,x)}$satisfactorio , para cualquier morfismo${\displaystyle f:x\to y}$⁠
  • ⁠${\displaystyle f\ \mathrm {id} _{x}=f}$y​​${\displaystyle \mathrm {id} _{y}\ f=f}$;​
• para cada par de objetos${\displaystyle x}$,​​${\displaystyle y}$, una función${\displaystyle \mathrm {inv} :G(x,y)\rightarrow G(y,x):f\mapsto f^{-1}}$satisfactorio, para cualquier${\displaystyle f:x\to y}$:​
  • ${\displaystyle ff^{-1}=\mathrm {id} _{y}}$y​${\displaystyle f^{-1}f=\mathrm {id} _{x}}$⁠ .

Si se elimina el requisito de que existan inversos, manteniendo todo lo demás, se obtiene la definición de una categoría. Por lo tanto, un grupoide es una categoría en la que todo morfismo tiene un inverso.

Si​${\displaystyle f}$es un elemento de${\displaystyle G(x,y)}$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle x}$Se le llama la fuente de${\displaystyle f}$, escrito​${\displaystyle s(f)}$y​​${\displaystyle y}$Se denomina objetivo de​${\displaystyle f}$, escrito​${\displaystyle t(f)}$⁠ .

Un grupoide${\displaystyle G}$A veces se denota como${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows G_{0}}$, donde${\displaystyle G_{1}}$es el conjunto de todos los morfismos y las dos flechas${\displaystyle G_{1}\to G_{0}}$representan la fuente y el destino.

En términos más generales, se puede considerar un objeto grupoide en una categoría arbitraria que admita productos de fibra finitos.

Las definiciones algebraicas y de teoría de categorías son equivalentes, como mostraremos a continuación. Dado un grupoide en el sentido de la teoría de categorías, sea ⁠${\displaystyle G}$⁠ sea la unión disjunta de todos los conjuntos ⁠${\displaystyle G(x,y)}$⁠ (es decir, los conjuntos de morfismos de ⁠${\displaystyle x}$a​​${\displaystyle y}$) . Entonces${\displaystyle \mathrm {comp} }$y${\displaystyle \mathrm {inv} }$se convierten en operaciones parciales en ⁠${\displaystyle G}$y​${\displaystyle \mathrm {inv} }$De hecho, se definirá en todas partes. Nosotros definimos${\displaystyle *}$ser​${\displaystyle \mathrm {comp} }$y​${\displaystyle {}^{-1}}$ser​​${\displaystyle \mathrm {inv} }$⁠ , que da un grupoide en el sentido algebraico. Referencia explícita a ⁠${\displaystyle G_{0}}$⁠ (y por lo tanto a ⁠${\displaystyle \mathrm {id} }$) se puede dejar caer.

Por el contrario, dado un grupoide${\displaystyle G}$En el sentido algebraico, define una relación de equivalencia .${\displaystyle \sim }$en sus elementos por ${\displaystyle a\sim b}$si y solo si${\displaystyle a*a^{-1}=b*b^{-1}}$⁠ . Deja ⁠${\displaystyle G_{0}}$Sea el conjunto de clases de equivalencia de${\displaystyle \sim }$, es decir${\displaystyle G_{0}:=G/\!\!\sim }$⁠ . Denotar ⁠${\displaystyle a*a^{-1}}$por​${\displaystyle 1_{x}}$si${\displaystyle a\in G}$con​${\displaystyle x\in G_{0}}$⁠ .

Ahora define${\displaystyle G(x,y)}$como el conjunto de todos los elementos${\displaystyle f}$de tal manera que${\displaystyle 1_{x}*f*1_{y}}$existe. Dado${\displaystyle f\in G(x,y)}$y​${\displaystyle g\in G(y,z)}$⁠ , su compuesto se define como ⁠${\displaystyle gf:=f*g\in G(x,z)}$⁠ . Para ver que esto está bien definido, observe que dado que${\displaystyle (1_{x}*f)*1_{y}}$y${\displaystyle 1_{y}*(g*1_{z})}$existe , también${\displaystyle (1_{x}*f*1_{y})*(g*1_{z})=f*g}$⁠ . El morfismo identidad en ⁠${\displaystyle x}$⁠ es entonces ⁠${\displaystyle 1_{x}}$⁠ , y la inversa categórica de ⁠${\displaystyle f}$es​​${\displaystyle f^{-1}}$⁠ .

En las definiciones anteriores, los conjuntos pueden sustituirse por clases , como suele ocurrir en la teoría de categorías.

Dado un grupoide${\displaystyle G}$⁠ , los grupos de vértices o grupos de isotropía o grupos de objetos en ⁠${\displaystyle G}$son los subconjuntos de la forma${\displaystyle G(x,x)}$, donde​${\displaystyle x}$es cualquier objeto de${\displaystyle G}$De los axiomas anteriores se deduce fácilmente que estos son efectivamente grupos, ya que cada par de elementos es componible y los inversos están en el mismo grupo de vértices .

La órbita de un grupoide${\displaystyle G}$en un punto${\displaystyle x\in X}$está dado por el conjunto${\displaystyle s(t^{-1}(x))\subseteq X}$que contiene todos los puntos que se pueden unir a${\displaystyle x}$por un morfismo en${\displaystyle G}$⁠ . Si dos puntos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$están en las mismas órbitas, sus grupos de vértices${\displaystyle G(x)}$y${\displaystyle G(y)}$son isomorfos : si${\displaystyle f}$es cualquier morfismo de${\displaystyle x}$a​${\displaystyle y}$⁠ , entonces el isomorfismo viene dado por la aplicación ⁠${\displaystyle g\to fgf^{-1}}$⁠ .

Las órbitas forman una partición del conjunto .${\displaystyle X}$Un grupoide se denomina transitivo si tiene una sola órbita (o, equivalentemente, si es conexo como categoría). En ese caso, todos los grupos de vértices son isomorfos (aunque, por otro lado, esta no es una condición suficiente para la transitividad; véase la sección siguiente para ver contraejemplos).

Un subgrupoide de${\displaystyle G\rightrightarrows X}$es una subcategoría${\displaystyle H\rightrightarrows Y}$que en sí mismo es un grupoide. Se denomina ancho o completo si es ancho o completo como subcategoría, es decir, respectivamente, si${\displaystyle X=Y}$o${\displaystyle G(x,y)=H(x,y)}$por cada${\displaystyle x,y\in Y}$⁠ .

Un morfismo de grupoide es simplemente un functor entre dos grupoides (de teoría de categorías).

Son de interés ciertos tipos de morfismos de grupoides. Un morfismo${\displaystyle p:E\to B}$Una fibración de grupoides se denomina fibración si para cada objeto${\displaystyle x}$de${\displaystyle E}$y cada morfismo${\displaystyle b}$de${\displaystyle B}$comenzando en${\displaystyle p(x)}$hay un morfismo${\displaystyle e}$de${\displaystyle E}$comenzando en${\displaystyle x}$de tal manera que${\displaystyle p(e)=b}$⁠ . Una fibración se llama morfismo de recubrimiento o recubrimiento de grupoides si además dicha fibración${\displaystyle e}$es único. Los morfismos de recubrimiento de grupoides son especialmente útiles porque pueden usarse para modelar mapas de recubrimiento de espacios. ^{[ 4 ]}

También es cierto que la categoría de morfismos de recubrimiento de un grupoide dado${\displaystyle B}$es equivalente a la categoría de acciones del grupoide${\displaystyle B}$en platós.

Dado un espacio topológico${\displaystyle X}$⁠ , deja${\displaystyle G_{0}}$ser el conjunto${\displaystyle X}$⁠ . Los morfismos desde el punto${\displaystyle p}$hasta el punto${\displaystyle q}$son clases de equivalencia de caminos continuos desde${\displaystyle p}$a​${\displaystyle q}$⁠ , siendo dos caminos equivalentes si son homotópicos . Dos de estos morfismos se componen siguiendo primero el primer camino y luego el segundo; la equivalencia homotópica garantiza que esta composición sea asociativa . Este grupoide se denomina grupoide fundamental de ⁠${\displaystyle X}$⁠ , denotado${\displaystyle \pi _{1}(X)}$(o a veces ,${\displaystyle \Pi _{1}(X)}$⁠ ). ^{[ 5 ]} El grupo fundamental habitual${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$es entonces el grupo de vértices para el punto ⁠${\displaystyle x}$⁠ .

Las órbitas del grupoide fundamental${\displaystyle \pi _{1}(X)}$son los componentes conectados por camino de ⁠${\displaystyle X}$Por consiguiente, el grupoide fundamental de un espacio conexo por caminos es transitivo, y recuperamos el hecho conocido de que los grupos fundamentales en cualquier punto base son isomorfos. Además, en este caso, el grupoide fundamental y los grupos fundamentales son equivalentes como categorías (véase la sección siguiente para la teoría general).

Una extensión importante de esta idea es considerar el grupoide fundamental.${\displaystyle \pi _{1}(X,A)}$dónde${\displaystyle A\subset X}$es un conjunto elegido de "puntos base". Aquí${\displaystyle \pi _{1}(X,A)}$es un subgrupoide (completo) de ⁠${\displaystyle \pi _{1}(X)}$⁠ , donde se consideran únicamente los caminos cuyos puntos finales pertenecen a ⁠${\displaystyle A}$⁠ . El conjunto${\displaystyle A}$puede elegirse en función de la geometría de la situación en cuestión.

Si${\displaystyle X}$es un setoide , es decir, un conjunto con una relación de equivalencia .${\displaystyle \sim }$⁠ , entonces se puede formar un grupoide que "represente" esta relación de equivalencia de la siguiente manera:

• Los objetos del grupoide son los elementos de ⁠${\displaystyle X}$;​
• Para cualesquiera dos elementos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$en​${\displaystyle X}$⁠ , hay un único morfismo de${\displaystyle x}$a${\displaystyle y}$(denotado por ⁠${\displaystyle (y,x)}$) si y solo si${\displaystyle x\sim y}$;​
• La composición de${\displaystyle (z,y)}$y${\displaystyle (y,x)}$es​${\displaystyle (z,x)}$⁠ .

Los grupos de vértices de este grupoide son siempre triviales; además, este grupoide no es transitivo en general y sus órbitas son precisamente las clases de equivalencia. Hay dos ejemplos extremos:

• Si cada elemento de${\displaystyle X}$está en relación con todos los demás elementos de ⁠${\displaystyle X}$⁠ , obtenemos el grupoide de pares de ⁠${\displaystyle X}$⁠ , que tiene todo${\displaystyle X\times X}$como un conjunto de flechas, y que es transitivo.
• Si cada elemento de${\displaystyle X}$es solo en relación consigo mismo, se obtiene el grupoide unitario , que tiene${\displaystyle X}$como un conjunto de flechas ,${\displaystyle s=t=\mathrm {id} _{X}}$⁠ , y que es completamente intransitivo (cada singleton${\displaystyle \{x\}}$es una órbita).

Un grupoide de Čech ^{[ 6 ] p.  5} es un tipo especial de grupoide asociado a una relación de equivalencia dada por una cubierta abierta.${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$de algún tipo${\displaystyle X}$Sus objetos vienen dados por la unión disjunta $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}=\coprod U_{i},}$$ y sus flechas son las intersecciones$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}=\coprod U_{ij}.}$$

Los mapas de origen y destino vienen dados entonces por los mapas inducidos.

${\displaystyle {\begin{aligned}s=\phi _{j}:U_{ij}\to U_{j}\\t=\phi _{i}:U_{ij}\to U_{i}\end{aligned}}}$

y el mapa de inclusión

${\displaystyle \varepsilon :U_{i}\to U_{ii}}$

dando la estructura de un grupoide. De hecho, esto se puede extender aún más estableciendo

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}={\mathcal {G}}_{1}\times _{{\mathcal {G}}_{0}}\cdots \times _{{\mathcal {G}}_{0}}{\mathcal {G}}_{1}}$

como el${\displaystyle n}$-producto de fibra iterado donde el${\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}}$representa${\displaystyle n}$-tuplas de flechas componibles. El mapa de estructura del producto fibrado es implícitamente el mapa objetivo, ya que

${\displaystyle {\begin{matrix}U_{ijk}&\to &U_{ij}\\\downarrow &&\downarrow \\U_{ik}&\to &U_{i}\end{matrix}}}$

es un diagrama cartesiano donde los mapas a${\displaystyle U_{i}}$son los mapas objetivo. Esta construcción puede verse como un modelo para algunos${\displaystyle \infty }$-grupoides . Además, otro artefacto deesta construcción es${\displaystyle k}$-cociclos​

${\displaystyle [\sigma ]\in {\check {H}}^{k}({\mathcal {U}},{\underline {A}})}$

para algún haz constante de grupos abelianos se puede representar como una función

${\displaystyle \sigma$ :\coprod U_{i_{1}\cdots i_{k}}\to A}

dar una representación explícita de las clases de cohomología.

Si el grupo${\displaystyle G}$actúa en el set${\displaystyle X}$⁠ , entonces podemos formar el grupoide de acción (o grupoide de transformación ) que representa esta acción de grupo de la siguiente manera:

• Los objetos son los elementos de ⁠${\displaystyle X}$;​
• Para cualesquiera dos elementos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$en​${\displaystyle X}$⁠ , los morfismos de${\displaystyle x}$a${\displaystyle y}$corresponden a los elementos${\displaystyle g}$de${\displaystyle G}$de tal manera que${\displaystyle gx=y}$;​
• La composición de morfismos interpreta la operación binaria de ⁠${\displaystyle G}$⁠ .

Más explícitamente, el grupoide de acción es una pequeña categoría con${\displaystyle \mathrm {ob} (C)=X}$y${\displaystyle \mathrm {hom} (C)=G\times X}$y con mapas de origen y destino${\displaystyle s(g,x)=x}$y​${\displaystyle t(g,x)=gx}$⁠ . A menudo se denota${\displaystyle G\ltimes X}$(o${\displaystyle X\rtimes G}$para una acción correcta). La multiplicación (o composición) en el grupoide es entonces${\displaystyle (h,y)(g,x)=(hg,x)}$⁠ , que se define siempre que${\displaystyle y=gx}$⁠ .

Para${\displaystyle x}$en​${\displaystyle X}$⁠ , el grupo de vértices está formado por aquellos${\displaystyle (g,x)}$con​${\displaystyle gx=x}$⁠ , que es simplemente el subgrupo de isotropía en${\displaystyle x}$para la acción dada (por eso los grupos de vértices también se llaman grupos de isotropía). De manera similar, las órbitas del grupoide de acción son la órbita de la acción del grupo, y el grupoide es transitivo si y solo si la acción del grupo es transitiva .

Otra forma de describir${\displaystyle G}$-sets es la categoría de functores${\displaystyle [\mathrm {Gr} ,\mathrm {Set} ]}$, donde${\displaystyle \mathrm {Gr} }$es el grupoide (categoría) con un elemento e isomorfo al grupo ⁠${\displaystyle G}$⁠ . De hecho, cada functor${\displaystyle F}$de esta categoría define un conjunto${\displaystyle X=F(\mathrm {Gr} )}$y por cada${\displaystyle g}$en${\displaystyle G}$(es decir, para cada morfismo en ⁠${\displaystyle \mathrm {Gr} }$) induce una biyección${\displaystyle F_{g}}$ :​${\displaystyle X\to X}$⁠ . La estructura categórica del functor${\displaystyle F}$nos asegura que${\displaystyle F}$define un${\displaystyle G}$-acción en el set${\displaystyle G}$⁠ . El functor representable (único)${\displaystyle F:\mathrm {Gr} \to \mathrm {Set} }$es la representación de Cayley de${\displaystyle G}$⁠ . De hecho, este functor es isomorfo a${\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Gr} ,-)}$y así envía${\displaystyle \mathrm {ob} (\mathrm {Gr} )}$al conjunto${\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Gr} ,\mathrm {Gr} )}$que es por definición el "conjunto"${\displaystyle G}$y el morfismo${\displaystyle g}$de${\displaystyle \mathrm {Gr} }$(es decir el elemento${\displaystyle g}$de​${\displaystyle G}$) a la permutación${\displaystyle F_{g}}$del conjunto${\displaystyle G}$⁠ . Deducimos del incrustamiento de Yoneda que el grupo${\displaystyle G}$es isomorfo al grupo ⁠${\displaystyle \{F_{g}\mid g\in G\}}$⁠ , un subgrupo del grupo de permutaciones de ⁠${\displaystyle G}$⁠ .

El grupoide de inercia de un grupoide es, aproximadamente, un grupoide de bucles en el grupoide dado.

Dado un diagrama de grupoides con morfismos de grupoides

${\displaystyle {\begin{aligned}&&X\\&&\downarrow \\Y&\rightarrow &Z\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle f:X\to Z}$y​${\displaystyle g:Y\to Z}$⁠ , podemos formar el grupoide${\displaystyle X\times _{Z}Y}$cuyos objetos son ternas${\displaystyle (x,\phi ,y)}$, donde​${\displaystyle x\in {\text{Ob}}(X)}$,​​${\displaystyle y\in {\text{Ob}}(Y)}$y​${\displaystyle \phi :f(x)\to g(y)}$en​${\displaystyle Z}$⁠ . Los morfismos pueden definirse como un par de morfismos${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$dónde${\displaystyle \alpha :x\to x'}$y ${\displaystyle \beta :y\to y'}$de tal manera que para tríos${\displaystyle (x,\phi ,y),(x',\phi ',y')}$⁠ , hay un diagrama conmutativo en${\displaystyle Z}$de​${\displaystyle f(\alpha ):f(x)\to f(x')}$⁠ ,${\displaystyle g(\beta ):g(y)\to g(y')}$y el${\displaystyle \phi ,\phi '}$⁠ . ^{[ 7 ]}

Un complejo de dos términos

${\displaystyle C_{1}~{\overset {d}{\rightarrow }}~C_{0}}$

Los objetos de una categoría abeliana concreta se pueden utilizar para formar un grupoide. Tiene como objetos el conjunto${\displaystyle C_{0}}$y como flechas el conjunto${\displaystyle C_{1}\oplus C_{0}}$; el morfismo fuente es simplemente la proyección sobre${\displaystyle C_{0}}$mientras que el morfismo objetivo es la adición de proyección sobre${\displaystyle C_{1}}$compuesto con${\displaystyle d}$y proyección sobre${\displaystyle C_{0}}$⁠ . Es decir, dado ⁠${\displaystyle c_{1}+c_{0}\in C_{1}\oplus C_{0}}$⁠ , tenemos

${\displaystyle t(c_{1}+c_{0})=d(c_{1})+c_{0}.}$

Por supuesto, si la categoría abeliana es la categoría de haces coherentes sobre un esquema, entonces esta construcción puede usarse para formar un prehaz de grupoides.

Si bien rompecabezas como el Cubo de Rubik pueden modelarse utilizando la teoría de grupos (véase Grupo del Cubo de Rubik ), ciertos rompecabezas se modelan mejor como grupoides. ^{[ 8 ]}

Las transformaciones del rompecabezas de quince piezas forman un grupoide (no un grupo, ya que no todos los movimientos se pueden componer). ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]} Este grupoide actúa sobre configuraciones.

El grupoide de Mathieu es un grupoide introducido por John Horton Conway que actúa sobre 13 puntos de tal manera que los elementos que fijan un punto forman una copia del grupo de Mathieu M ₁₂ .

La inclusión${\displaystyle i:\mathbf {Grpd} \to \mathbf {Cat} }$tiene adjunto izquierdo y adjunto derecho :

${\displaystyle \hom _{\mathbf {Grpd} }(C[C^{-1}],G)\cong \hom _{\mathbf {Cat} }(C,i(G))}$

${\displaystyle \hom _{\mathbf {Cat} }(i(G),C)\cong \hom _{\mathbf {Grpd} }(G,\mathrm {Core} (C))}$

Aquí,${\displaystyle C[C^{-1}]}$denota la localización de una categoría que invierte cada morfismo, y${\displaystyle \mathrm {Core} (C)}$denota la subcategoría de todos los isomorfismos.

El nervio funcional${\displaystyle N:\mathbf {Grpd} \to \mathbf {sSet} }$Grpd se integra como una subcategoría completa de la categoría de conjuntos simpliciales. El nervio de un grupoide es siempre un complejo de Kan .

El nervio tiene un ligamento izquierdo

${\displaystyle \hom _{\mathbf {Grpd} }(\pi _{1}(X),G)\cong \hom _{\mathbf {sSet} }(X,N(G))}$

Aquí,${\displaystyle \pi _{1}(X)}$denota el grupoide fundamental del conjunto simplicial .${\displaystyle X}$⁠ .

Existe una estructura adicional que puede derivarse de grupoides internos a la categoría de grupoides, los doble-grupoides . ^{[ 13 ] [ 14 ]} Debido a que Grpd es una 2-categoría, estos objetos forman una 2-categoría en lugar de una 1-categoría, ya que hay una estructura adicional. En esencia, estos son grupoides.${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1},{\mathcal {G}}_{0}}$con functores

${\displaystyle s,t:{\mathcal {G}}_{1}\to {\mathcal {G}}_{0}}$

y una incrustación dada por un functor identidad

${\displaystyle i:{\mathcal {G}}_{0}\to {\mathcal {G}}_{1}}$

Una forma de pensar en estos 2-grupoides es que contienen objetos, morfismos y cuadrados que pueden componerse vertical y horizontalmente. Por ejemplo, dados los cuadrados

${\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\to &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \end{matrix}}}$y${\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &\bullet \end{matrix}}}$

con${\displaystyle a}$el mismo morfismo, pueden unirse verticalmente dando un diagrama

${\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\to &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &\bullet \end{matrix}}}$

que se puede convertir en otro cuadrado componiendo las flechas verticales. Existe una ley de composición similar para las uniones horizontales de cuadrados.