Isomorfismo de categorías

En teoría de categorías , dos categorías C y D son isomorfas si existen funtores F  : C → D y G  : D → C que son mutuamente inversos, es decir, FG = 1 _D (el funtor identidad en D ) y GF = 1 _C. ^{[ 1} ] Esto significa que tanto los objetos como los morfismos de C y D guardan una correspondencia biunívoca entre sí. Dos categorías isomorfas comparten todas las propiedades definidas únicamente en ^la teoría de categorías; a efectos prácticos, son idénticas y difieren solo en la notación de sus objetos y morfismos.

El isomorfismo de categorías es una condición fuerte y rara vez se satisface en la práctica. Mucho más importante es la noción de equivalencia de categorías ; en términos generales, para una equivalencia de categorías, no requerimos que${\displaystyle FG}$ser igual a${\displaystyle 1_{D}}$, pero solo naturalmente isomorfo a${\displaystyle 1_{D}}$y asimismo que${\displaystyle GF}$ser naturalmente isomorfo a${\displaystyle 1_{C}}$.

Como ocurre con cualquier noción de isomorfismo , tenemos las siguientes propiedades generales formalmente similares a una relación de equivalencia :

• cualquier categoría C es isomorfa a sí misma.
• Si C es isomorfo a D , entonces D es isomorfo a C.
• Si C es isomorfo a D y D es isomorfo a E , entonces C es isomorfo a E.

Un functor F  : C → D produce un isomorfismo de categorías si y solo si es biyectivo en objetos y conjuntos de morfismos . [ ^{1 ] Este} criterio puede ser conveniente ya que evita la construcción del functor inverso G.

• Consideremos un grupo finito G , un cuerpo k y el álgebra de grupo kG . La categoría de representaciones de grupo k - lineales de G es isomorfa a la categoría de módulos izquierdos sobre kG . El isomorfismo se puede describir de la siguiente manera: dada una representación de grupo ρ : G → GL( V ), donde V es un espacio vectorial sobre k , GL( V ) es el grupo de sus automorfismos k -lineales y ρ es un homomorfismo de grupo , convertimos V en un módulo izquierdo de kG definiendo $${\displaystyle \left(\sum _{g\in G}a_{g}g\right)v=\sum _{g\in G}a_{g}\rho (g)(v)}$$para cada v en V y cada elemento Σ a _g g en kG .
  Por el contrario, dado un módulo kG izquierdo M , entonces M es un espacio vectorial k , y la multiplicación con un elemento g de G produce un automorfismo k -lineal de M (ya que g es invertible en kG ), que describe un homomorfismo de grupo G → GL( M ). (Todavía hay varias cosas que comprobar: ambas asignaciones son functores, es decir, se pueden aplicar a mapas entre representaciones de grupo o módulos kG , y son inversas entre sí, tanto en objetos como en morfismos). Véase también Teoría de la representación de grupos finitos §  Representaciones, módulos y el álgebra de convolución .
• Todo anillo puede considerarse como una categoría preaditiva con un único objeto. La categoría de funtores de todos los funtores aditivos de esta categoría a la categoría de grupos abelianos es isomorfa a la categoría de módulos izquierdos sobre el anillo.
• Otro isomorfismo de categorías surge en la teoría de las álgebras booleanas : las álgebras booleanas son isomorfas a la categoría de anillos booleanos . Dada un álgebra booleana B , convertimos B en un anillo booleano utilizando la diferencia simétrica como suma y la operación de intersección.${\displaystyle \land }$como multiplicación. Por el contrario, dado un anillo booleano R , definimos la operación de unión mediante una${\displaystyle \lor }$b = a + b + ab , y la operación de intersección como multiplicación. Nuevamente, ambas asignaciones pueden extenderse a morfismos para producir functores, que son inversos entre sí.
• Si C es una categoría con un objeto inicial s, entonces la categoría de rebanadas ( s ↓ C ) es isomorfa a C . Dualmente , si t es un objeto terminal en C , la categoría de funtores ( C ↓ t ) es isomorfa a C . De manera similar, si 1 es la categoría con un objeto y solo su morfismo identidad (de hecho, 1 es la categoría terminal ), y C es cualquier categoría, entonces la categoría de funtores C ¹ , con funtores de objetos c : 1 → C , que seleccionan un objeto c ∈Ob( C ), y transformaciones naturales de flechas f : c → d entre estos funtores, que seleccionan un morfismo f : c → d en C , es nuevamente isomorfa a C .