variedad de Poisson

En mecánica clásica , el espacio de fases de un sistema físico consta de todos los valores posibles de las variables de posición y momento que permite el sistema. Naturalmente, posee una forma simpléctica o de corchete de Poisson (véase más adelante), lo que permite formular las ecuaciones de Hamilton y describir la dinámica del sistema a través del espacio de fases en el tiempo.

Por ejemplo, una sola partícula que se mueve libremente en el${\displaystyle n}$espacio euclidiano de -dimensiones (es decir, que tiene${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$como espacio de configuración ) tiene espacio de fase${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$Las coordenadas${\displaystyle (q^{1},...,q^{n},p_{1},...,p_{n})}$describen respectivamente las posiciones y los momentos generalizados. El espacio de observables , es decir, las funciones suaves en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$, está dotado naturalmente de una operación binaria llamada corchete de Poisson , definida como${\displaystyle \textstyle \{f,g\}:=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q^{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}\right)}$Dicho corchete satisface las propiedades estándar de un corchete de Lie , además de una compatibilidad adicional con el producto de funciones, a saber, la identidad de Leibniz.${\displaystyle \{f,g\cdot h\}=g\cdot \{f,h\}+\{f,g\}\cdot h}$. De forma equivalente, el corchete de Poisson en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$puede reformularse utilizando la forma simpléctica${\displaystyle \textstyle \omega$ :=\sum _{i=1}^{n}dq^{i}\wedge dp_{i}} . Indeed, if one considers the Hamiltonian vector field ${\displaystyle \textstyle X_{f}:=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}\partial _{q^{i}}-{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}\partial _{p_{i}}\right)}$ associated to a function ${\displaystyle f}$, then the Poisson bracket can be rewritten as ${\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{g},X_{f}).}$

In more abstract differential geometric terms, the configuration space is an ${\displaystyle n}$-dimensional smooth manifold${\displaystyle Q}$, and the phase space is its cotangent bundle${\displaystyle T^{*}Q}$ (a manifold of dimension ${\displaystyle 2n}$). The latter is naturally equipped with a canonical symplectic form, which in canonical coordinates coincides with the one described above. In general, by Darboux theorem, any arbitrary symplectic manifold${\displaystyle (M,\omega )}$ admits special coordinates where the form ${\displaystyle \omega }$ and the bracket ${\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{g},X_{f})}$ are equivalent with, respectively, the symplectic form and the Poisson bracket of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$. Symplectic geometry is therefore the natural mathematical setting to describe classical Hamiltonian mechanics.^{[4][5][6][7][8]}

Poisson manifolds are further generalisations of symplectic manifolds, which arise by axiomatising the properties satisfied by the Poisson bracket on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$. More precisely, a Poisson manifold consists of a smooth manifold ${\displaystyle M}$ (not necessarily of even dimension) together with an abstract bracket ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{\mathcal {C}}^{\infty }(M)\times {\mathcal {C}}^{\infty }(M)\to {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$, still called Poisson bracket, which does not necessarily arise from a symplectic form ${\displaystyle \omega }$, but satisfies the same algebraic properties.

Poisson geometry is closely related to symplectic geometry: for instance, every Poisson bracket determines a foliation whose leaves are naturally equipped with symplectic forms. However, the study of Poisson geometry requires techniques that are usually not employed in symplectic geometry, such as the theory of Lie groupoids and algebroids.

Moreover, there are natural examples of structures which should be "morally" symplectic, but fail to be so. For example, the smooth quotient of a symplectic manifold by a group acting by symplectomorphisms is a Poisson manifold, which in general is not symplectic. This situation models the case of a physical system which is invariant under symmetries: the "reduced" phase space, obtained by quotienting the original phase space by the symmetries, in general is no longer symplectic, but is Poisson.^{[9][10][11][3]}

Aunque la definición moderna de variedad de Poisson apareció recién en las décadas de 1970 y 1980, ^{[ 1 ]} su origen se remonta al siglo XIX. Alan Weinstein sintetizó la historia temprana de la geometría de Poisson de la siguiente manera:

"Poisson inventó sus corchetes como una herramienta para la dinámica clásica. Jacobi se dio cuenta de la importancia de estos corchetes y dilucidó sus propiedades algebraicas, y Lie comenzó el estudio de su geometría." ^{[ 12 ]}

De hecho, Siméon Denis Poisson introdujo en 1809 lo que ahora llamamos corchete de Poisson para obtener nuevas integrales de movimiento , es decir, cantidades que se conservan a lo largo del movimiento. ^{[ 13 ]} Más precisamente, demostró que, si dos funciones${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$son integrales de movimientos, entonces hay una tercera función, denotada por${\displaystyle \{f,g\}}$, que también es una integral del movimiento. En la formulación hamiltoniana de la mecánica , donde la dinámica de un sistema físico se describe mediante una función dada${\displaystyle h}$(generalmente la energía del sistema), una integral de movimiento es simplemente una función${\displaystyle f}$que conmuta de Poisson con${\displaystyle h}$, es decir, tal que${\displaystyle \{f,h\}=0}$Lo que se conocerá como el teorema de Poisson se puede formular entonces como:$${\displaystyle \{f,h\}=0,\{g,h\}=0\Rightarrow \{\{f,g\},h\}=0.}$$Los cálculos de Poisson ocuparon muchas páginas, y sus resultados fueron redescubiertos y simplificados dos décadas después por Carl Gustav Jacob Jacobi . ^{[ 14 ] [ 2 ]} Jacobi fue el primero en identificar las propiedades generales del corchete de Poisson como una operación binaria. Además, estableció la relación entre el corchete (de Poisson) de dos funciones y el corchete (de Lie) de sus campos vectoriales hamiltonianos asociados , es decir$${\displaystyle X_{\{f,g\}}=[X_{f},X_{g}],}$$con el fin de reformular (y dar una demostración mucho más corta de) el teorema de Poisson sobre integrales de movimiento. ^{[ 15 ]} El trabajo de Jacobi sobre corchetes de Poisson influyó en los estudios pioneros de Sophus Lie sobre simetrías de ecuaciones diferenciales , que llevaron al descubrimiento de grupos de Lie y álgebras de Lie . Por ejemplo, lo que ahora se denomina estructuras de Poisson lineales (es decir, corchetes de Poisson en un espacio vectorial que envían funciones lineales a funciones lineales) corresponden precisamente a estructuras de álgebras de Lie. Además, la integrabilidad de una estructura de Poisson lineal (véase más adelante) está estrechamente relacionada con la integrabilidad de su álgebra de Lie asociada a un grupo de Lie. ^{[ 16 ]}

El siglo XX vio el desarrollo de la geometría diferencial moderna, pero no fue hasta 1977 que André Lichnerowicz introdujo las estructuras de Poisson como objetos geométricos en variedades diferenciables. ^{[ 1 ]} Las variedades de Poisson fueron estudiadas más a fondo en el artículo fundamental de Alan Weinstein de 1983 , donde se demostraron por primera vez muchos teoremas estructurales básicos. ^{[ 17 ]}

Estos trabajos ejercieron una enorme influencia en las décadas siguientes en el desarrollo de la geometría de Poisson, que hoy es un campo propio y, al mismo tiempo, está profundamente entrelazado con muchos otros, incluyendo la geometría no conmutativa , los sistemas integrables , las teorías topológicas de campos y la teoría de la representación . ^{[ 15 ] [ 11 ] [ 3 ]}

Dejar${\displaystyle M}$ser un colector liso y dejar${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$denotamos el álgebra real de funciones suaves de valor real en${\displaystyle M}$, donde la multiplicación se define punto por punto. Un corchete de Poisson (o estructura de Poisson ) en${\displaystyle M}$es un${\displaystyle \mathbb {R} }$- mapa bilineal

${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{C^{\infty }}(M)\times {C^{\infty }}(M)\to {C^{\infty }}(M)}$

definir una estructura del álgebra de Poisson en${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$, es decir, que cumplan las tres condiciones siguientes:

• Simetría antisimétrica :${\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}}$.
• Identidad jacobiana :${\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0}$.
• La regla de Leibniz :${\displaystyle \{fg,h\}=f\{g,h\}+g\{f,h\}}$.

Las dos primeras condiciones garantizan que${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$define una estructura de álgebra de Lie en${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$, mientras que la tercera garantiza que, para cada${\displaystyle f\in {C^{\infty }}(M)}$, el mapa lineal${\displaystyle X_{f}:=\{f,\cdot \}:{C^{\infty }}(M)\to {C^{\infty }}(M)}$es una derivación del álgebra${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$, es decir, define un campo vectorial${\displaystyle X_{f}\in {\mathfrak {X}}(M)}$llamado el campo vectorial hamiltoniano asociado a${\displaystyle f}$.

Elegir coordenadas locales${\displaystyle (U,x^{i})}$, cualquier corchete de Poisson viene dado por$${\displaystyle \{f,g\}_{\mid U}=\sum _{i,j}\pi ^{ij}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial g}{\partial x^{j}}},}$$para${\displaystyle \pi ^{ij}=\{x^{i},x^{j}\}}$el corchete de Poisson de las funciones de coordenadas.

Un bivector de Poisson en una variedad suave${\displaystyle M}$es un campo polivectorial${\displaystyle \textstyle \pi \in {\mathfrak {X}}^{2}(M):=\Gamma \left(\bigwedge ^{2}TM\right)}$que satisface la ecuación diferencial parcial no lineal${\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}$, dónde

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{{\mathfrak {X}}^{p}}(M)\times {{\mathfrak {X}}^{q}}(M)\to {{\mathfrak {X}}^{p+q-1}}(M)}$

denota el corchete de Schouten-Nijenhuis en campos multivectoriales. Elegir coordenadas locales${\displaystyle (U,x^{i})}$, cualquier bivector de Poisson viene dado por$${\displaystyle \pi _{\mid U}=\sum _{i<j}\pi ^{ij}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}},}$$para funciones suaves antisimétricas${\displaystyle \pi ^{ij}}$en${\displaystyle U}$.

Dejar${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$Sea un corchete bilineal antisimétrico (llamado "corchete casi de Lie") que satisfaga la regla de Leibniz; entonces la función${\displaystyle \{f,g\}}$puede describirse como$${\displaystyle \{f,g\}=\pi (df\wedge dg),}$$para un campo bivector suave único${\displaystyle \pi \in {\mathfrak {X}}^{2}(M)}$. Por el contrario, dado cualquier campo bivectorial suave${\displaystyle \pi }$en${\displaystyle M}$, la misma fórmula${\displaystyle \{f,g\}=\pi (df\wedge dg)}$define un corchete de casi mentira${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$que obedece automáticamente la regla de Leibniz.

Un campo bivectorial, o el corchete de Lie casi correspondiente, se denomina estructura casi de Poisson . Una estructura casi de Poisson es de Poisson si se cumple una de las siguientes condiciones de integrabilidad equivalentes: ^{[ 15 ]}

• ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$satisface la identidad de Jacobi (por lo tanto, es un corchete de Poisson);
• ${\displaystyle \pi }$Satisface${\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}$(por lo tanto, es un bivector de Poisson);
• el mapa${\displaystyle {C^{\infty }}(M)\to {\mathfrak {X}}(M),f\mapsto X_{f}}$es un homomorfismo de álgebra de Lie, es decir, los campos vectoriales hamiltonianos satisfacen${\displaystyle [X_{f},X_{g}]=X_{\{f,g\}}}$;
• el gráfico${\displaystyle {\rm {Graph}}(\pi ):=\{\pi (\alpha ,\cdot )+\alpha \}\subset TM\oplus T^{*}M}$define una estructura de Dirac , es decir, un subhaz lagrangiano de${\displaystyle TM\oplus T^{*}M}$que se cierra bajo el corchete estándar de Courant . ^{[ 18 ]}

La definición de estructura de Poisson para variedades suaves reales también puede adaptarse al caso complejo.

Una variedad de Poisson holomorfa es una variedad compleja.${\displaystyle M}$cuyo haz de funciones holomorfas${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}}$es un haz de álgebras de Poisson. De forma equivalente, recordemos que un campo bivectorial holomorfo${\displaystyle \pi }$en un colector complejo${\displaystyle M}$es una sección${\displaystyle \pi \in \Gamma (\wedge ^{2}T^{1,0}M)}$de tal manera que${\displaystyle {\bar {\parcial }}\pi =0}$. Luego una estructura de Poisson holomorfa en${\displaystyle M}$es un campo bivectorial holomorfo que satisface la ecuación${\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}$. Las variedades de Poisson holomorfas también pueden caracterizarse en términos de estructuras de Poisson-Nijenhuis. ^{[ 19 ]}

Muchos resultados para estructuras de Poisson reales, por ejemplo, en lo que respecta a su integrabilidad, se extienden también a las holomorfas. ^{[ 20 ] [ 21 ]}

Las estructuras de Poisson holomorfas aparecen de forma natural en el contexto de estructuras complejas generalizadas : localmente, cualquier variedad compleja generalizada es el producto de una variedad simpléctica y una variedad de Poisson holomorfa. ^{[ 22 ]}

Recordemos que cualquier campo bivectorial puede considerarse como un homomorfismo sesgado.${\displaystyle \pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM,\alpha \mapsto \pi (\alpha ,\cdot )}$La imagen${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)\subset TM}$consta, por lo tanto, de los valores${\displaystyle {X_{f}}(x)}$de todos los campos vectoriales hamiltonianos evaluados en cada${\displaystyle x\in M}$.

El rango de${\displaystyle \pi }$en un punto${\displaystyle x\in M}$es el rango del mapeo lineal inducido${\displaystyle \pi _{x}^{\sharp }}$Un punto${\displaystyle x\in M}$Se denomina regular para una estructura de Poisson.${\displaystyle \pi }$en${\displaystyle M}$si y solo si el rango de${\displaystyle \pi }$es constante en un vecindario abierto de${\displaystyle x\in M}$; de lo contrario, se denomina punto singular . Los puntos regulares forman un subconjunto denso abierto.${\displaystyle M_{\mathrm {reg} }\subseteq M}$; cuando el mapa${\displaystyle \pi ^{\sharp }}$es de rango constante, la estructura de Poisson${\displaystyle \pi }$se denomina regular . Ejemplos de estructuras de Poisson regulares incluyen estructuras triviales y no degeneradas (véase más abajo).

Para una variedad de Poisson regular, la imagen${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)\subset TM}$es una distribución regular ; es fácil comprobar que es involutiva, por lo tanto, por el teorema de Frobenius ,${\displaystyle M}$admite una partición en hojas. Además, el bivector de Poisson se restringe elegantemente a cada hoja, las cuales se convierten así en variedades simplécticas.

Para una variedad de Poisson no regular la situación es más complicada, ya que la distribución${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)\subset TM}$es singular , es decir, los subespacios vectoriales${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T_{x}^{*}M)\subset T_{x}M}$tienen diferentes dimensiones.

Una subvariedad integral para${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)}$es una subvariedad conectada por caminos${\displaystyle S\subseteq M}$satisfactorio${\displaystyle T_{x}S={\pi ^{\sharp }}(T_{x}^{\ast }M)}$a pesar de${\displaystyle x\in S}$. Subvariedades integrales de${\displaystyle \pi }$son automáticamente variedades inmersas regularmente y subvariedades integrales máximas de${\displaystyle \pi }$se llaman las hojas de${\displaystyle \pi }$.

Además, cada hoja${\displaystyle S}$posee una forma simpléctica natural${\displaystyle \omega _{S}\in {\Omega ^{2}}(S)}$determinado por la condición${\displaystyle [{\omega _{S}}(X_{f},X_{g})](x)=-\{f,g\}(x)}$a pesar de${\displaystyle f,g\in {C^{\infty }}(M)}$y${\displaystyle x\in S}$. En consecuencia, se habla de las hojas simplécticas de${\displaystyle \pi }$. Además, tanto el espacio${\displaystyle M_{\mathrm {reg} }}$Los puntos regulares y su complemento están saturados por hojas simplécticas, por lo que las hojas simplécticas pueden ser regulares o singulares.

Para demostrar la existencia de hojas simplécticas también en el caso no regular, se puede utilizar el teorema de división de Weinstein (o teorema de Darboux-Weinstein). ^{[ 17 ]} Este establece que cualquier variedad de Poisson${\displaystyle (M^{n},\pi )}$se divide localmente alrededor de un punto${\displaystyle x_{0}\in M}$como producto de una multiplicidad simpléctica${\displaystyle (S^{2k},\omega )}$y una subvariedad de Poisson transversal${\displaystyle (T^{n-2k},\pi _{T})}$desapareciendo en${\displaystyle x_{0}}$. Más precisamente, si${\displaystyle \mathrm {rank} (\pi _{x_{0}})=2k}$, hay coordenadas locales${\displaystyle (U,p_{1},\ldots ,p_{k},q^{1},\ldots ,q^{k},x^{1},\ldots ,x^{n-2k})}$de tal manera que el bivector de Poisson${\displaystyle \pi }$se divide como la suma$${\displaystyle \pi _{\mid U}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n-2k}\phi ^{ij}(x){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}},}$$dónde${\displaystyle \phi ^{ij}(x_{0})=0}$. Observe que, cuando el rango de${\displaystyle \pi }$es máximo (por ejemplo, la estructura de Poisson no es degenerada, de modo que${\displaystyle n=2k}$), se recupera el teorema clásico de Darboux para estructuras simplécticas.

Cada colector${\displaystyle M}$lleva la estructura de Poisson trivial$${\displaystyle \{f,g\}=0\quad \forall f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M),}$$descrito de forma equivalente por el bivector${\displaystyle \pi =0}$Cada punto de${\displaystyle M}$es, por lo tanto, una hoja simpléctica de dimensión cero.

Un campo bivectorial${\displaystyle \pi }$se denomina no degenerado si${\displaystyle \pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM}$es un isomorfismo de fibrados vectoriales. Los campos bivectoriales de Poisson no degenerados son en realidad lo mismo que las variedades simplécticas.${\displaystyle (M,\omega )}$.

En efecto, existe una correspondencia biyectiva entre campos bivectoriales no degenerados.${\displaystyle \pi }$y 2-formas no degeneradas${\displaystyle \omega }$, dado por$${\displaystyle \pi ^{\sharp }=(\omega ^{\flat })^{-1},}$$dónde${\displaystyle \omega }$está codificado por el isomorfismo musical${\displaystyle \omega ^{\flat }:TM\to T^{*}M,v\mapsto \omega (v,\cdot )}$. Además,${\displaystyle \pi }$es de Poisson precisamente si y solo si${\displaystyle \omega }$está cerrado; en tal caso, el corchete se convierte en el corchete de Poisson canónico de la mecánica hamiltoniana:$${\displaystyle \{f,g\}:=\omega (X_{g},X_{f}).}$$Las estructuras de Poisson no degeneradas en variedades conexas tienen solo una hoja simpléctica, a saber:${\displaystyle M}$sí mismo.

Considere el espacio${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$con coordenadas${\displaystyle (x,y,p_{i},q^{i})}$. Entonces el campo bivectorial$${\displaystyle \pi$$ :=y{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}+\sum _{i=1}^{n-1}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}} es una estructura de Poisson en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$que es "casi en todas partes no degenerada". De hecho, la subvariedad abierta${\displaystyle \{y\neq 0\}\subseteq M}$es una hoja simpléctica de dimensión${\displaystyle 2n}$, junto con la forma simpléctica$${\displaystyle \omega ={\frac {1}{y}}dx\wedge dy+\sum _{i=1}^{n-1}dq^{i}\wedge dp_{i},}$$mientras que el${\displaystyle (2n-1)}$subvariedad de dimensión${\displaystyle Z:=\{y=0\}\subseteq M}$contiene el otro${\displaystyle (2n-2)}$hojas -dimensionales, que son las intersecciones de${\displaystyle Z}$con los conjuntos de nivel de${\displaystyle x}$.

En realidad, se trata de un caso particular de una clase especial de variedades de Poisson.${\displaystyle (M,\pi )}$, denominadas log-simplécticas o b-simplécticas, que tienen una "singularidad logarítmica " concentrada a lo largo de una subvariedad.${\displaystyle Z\subseteq M}$de codimensión 1 (también llamado el lugar singular de${\displaystyle \pi }$), pero no son degenerados fuera de${\displaystyle Z}$. ^{[ 23 ]}

Una estructura de Poisson${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$en un espacio vectorial${\displaystyle V}$Se dice que es lineal cuando el paréntesis de dos funciones lineales sigue siendo lineal.

La clase de espacios vectoriales con estructuras de Poisson lineales coincide en realidad con la de (el dual de) álgebras de Lie . De hecho, el dual${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$de cualquier álgebra de Lie de dimensión finita${\displaystyle ({\mathfrak {g}},[\cdot ,\cdot ])}$lleva un corchete de Poisson lineal, conocido en la literatura con los nombres de Lie-Poisson, Kirillov-Poisson o estructura KKS ( Kostant - Kirillov - Souriau ):$${\displaystyle \{f,g\}(\xi ):=\xi ([d_{\xi }f,d_{\xi }g]_{\mathfrak {g}}),}$$dónde${\displaystyle f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }({\mathfrak {g}}^{*}),\xi \in {\mathfrak {g}}^{*}}$y los derivados${\displaystyle d_{\xi }f,d_{\xi }g:T_{\xi }{\mathfrak {g}}^{*}\to \mathbb {R} }$se interpretan como elementos del bidual${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{**}\cong {\mathfrak {g}}}$. De forma equivalente, el bivector de Poisson puede expresarse localmente como$${\displaystyle \pi =\sum _{i,j,k}c_{k}^{ij}x^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}},}$$dónde${\displaystyle x^{i}}$son coordenadas en${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$y${\displaystyle c_{k}^{ij}}$son las constantes de estructura asociadas de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Por el contrario, cualquier estructura de Poisson lineal${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$en${\displaystyle V}$debe ser de esta forma, es decir, existe una estructura de álgebra de Lie natural inducida en${\displaystyle {\mathfrak {g}}:=V^{*}}$cuyo corchete de Lie-Poisson se recupera${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$.

Las hojas simplécticas de la estructura de Lie-Poisson en${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$son las órbitas de la acción coadjunta de${\displaystyle G}$en${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$. Por ejemplo, para${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {so}}(3,\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} ^{3}}$con la base estándar, la estructura de Lie-Poisson en${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$se identifica con$${\displaystyle \pi =x{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial z}}+y{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial x}}+z{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}\in {\mathfrak {X}}^{2}(\mathbb {R} ^{3})}$$y su foliación simpléctica se identifica con la foliación por esferas concéntricas en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$(la única hoja singular es el origen). Por otro lado, para${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} ^{3}}$con la base estándar, la estructura de Lie-Poisson en${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$se identifica con$${\displaystyle \pi =x{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial z}}-y{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial x}}+z{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}\in {\mathfrak {X}}^{2}(\mathbb {R} ^{3})}$$y su foliación simpléctica se identifica con la foliación por hiperboloides concéntricos y superficie cónica en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$(la única hoja singular es, de nuevo, el origen).

El ejemplo anterior se puede generalizar de la siguiente manera: una estructura de Poisson en el espacio total de un fibrado vectorial.${\displaystyle E\to M}$Se denomina lineal por fibras cuando el paréntesis de dos funciones suaves${\displaystyle E\to \mathbb {R} }$, cuyas restricciones a las fibras son lineales, sigue siendo lineal cuando se restringe a las fibras. De forma equivalente, el campo bivectorial de Poisson${\displaystyle \pi }$se le pide que satisfaga${\displaystyle (m_{t})^{*}\pi =t\pi }$para cualquier${\displaystyle t>0}$, dónde${\displaystyle m_{t}:E\to E}$es la multiplicación escalar${\displaystyle v\mapsto tv}$.

La clase de haces vectoriales con estructuras de Poisson lineales coincide en realidad con la de (dual de) algebroides de Lie . De hecho, el dual${\displaystyle A^{*}}$de cualquier álgebroide de Lie${\displaystyle (A,\rho ,[\cdot ,\cdot ])}$lleva un corchete de Poisson lineal por fibras, ^{[ 24 ]} definido de forma única por$${\displaystyle \{\mathrm {ev} _{\alpha },\mathrm {ev} _{\beta }\}:=ev_{[\alpha ,\beta ]}\quad \quad \forall \alpha ,\beta \in \Gamma (A),}$$dónde${\displaystyle \mathrm {ev} _{\alpha }:A^{*}\to \mathbb {R} ,\phi \mapsto \phi (\alpha )}$es la evaluación por${\displaystyle \alpha }$. De forma equivalente, el bivector de Poisson puede expresarse localmente como$${\displaystyle \pi =\sum _{i,a}B_{a}^{i}(x){\frac {\partial }{\partial y_{a}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\sum _{a<b,c}C_{ab}^{c}(x)y_{c}{\frac {\partial }{\partial y_{a}}}{\frac {\partial }{\partial y_{b}}},}$$dónde${\displaystyle x^{i}}$son coordenadas alrededor de un punto${\displaystyle x\in M}$,${\displaystyle y_{a}}$son coordenadas de fibra en${\displaystyle A^{*}}$, dual a un marco local${\displaystyle e_{a}}$de${\displaystyle A}$, y${\displaystyle B_{a}^{i}}$y${\displaystyle C_{ab}^{c}}$son la función de estructura de${\displaystyle A}$, es decir, las funciones suaves únicas que satisfacen$${\displaystyle \rho (e_{a})=\sum _{i}B_{a}^{i}(x){\frac {\partial }{\partial x^{i}}},\quad \quad [e_{a},e_{b}]=\sum _{c}C_{ab}^{c}(x)e_{c}.}$$Por el contrario, cualquier estructura de Poisson lineal por fibras${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$en${\displaystyle E}$debe ser de esta forma, es decir, existe una estructura de álgebra de Lie natural inducida en${\displaystyle A:=E^{*}}$cuyo backet de Lie-Poisson se recupera${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$. ^{[ 25 ]}

Si${\displaystyle A}$es integrable a un grupoide de Lie${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightrightarrows M}$, las hojas simplécticas de${\displaystyle A^{*}}$son los componentes conectados de las órbitas del grupoide cotangente${\displaystyle T^{*}{\mathcal {G}}\rightrightarrows A^{*}}$En general, dada cualquier órbita algebroide${\displaystyle {\mathcal {O}}\subseteq M}$, la imagen de su fibrado cotangente a través del dual${\displaystyle \rho ^{*}:T^{*}M\to A^{*}}$del mapa de anclaje es una hoja simpléctica.

Para${\displaystyle M=\{*\}}$uno recupera estructuras de Poisson lineales, mientras que para${\displaystyle A=TM}$La estructura de Poisson lineal por fibras es la no degenerada dada por la estructura simpléctica canónica del fibrado cotangente.${\displaystyle T^{*}M}$. De manera más general, cualquier estructura de Poisson lineal por fibras en${\displaystyle TM\to M}$que no es degenerado es isomorfo a la forma simpléctica canónica en${\displaystyle T^{*}M}$.

• Cualquier campo bivectorial constante en un espacio vectorial es automáticamente una estructura de Poisson; de hecho, los tres términos del jacobiano son cero, siendo el corchete una función constante.
• Cualquier campo bivectorial en una variedad bidimensional es automáticamente una estructura de Poisson; de hecho,${\displaystyle [\pi ,\pi ]}$es un campo vectorial de dimensión 3, que siempre es cero en dimensión 2.
• Dado cualquier campo bivectorial de Poisson${\displaystyle \pi }$en una variedad tridimensional${\displaystyle M}$, el campo bivectorial${\displaystyle f\pi }$, para cualquier${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$, es automáticamente Poisson.
• El producto cartesiano${\displaystyle (M_{0}\times M_{1},\pi _{0}\times \pi _{1})}$de dos variedades de Poisson${\displaystyle (M_{0},\pi _{0})}$y${\displaystyle (M_{1},\pi _{1})}$es de nuevo una variedad de Poisson.
• Dejar${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ser una foliación (regular) de dimensión${\displaystyle 2k}$en${\displaystyle M}$y${\displaystyle \omega \in {\Omega ^{2}}({\mathcal {F}})}$una forma foliada cerrada de dos formas para la cual el poder${\displaystyle \omega ^{k}}$no desaparece en ninguna parte. Esto determina de manera única una estructura de Poisson regular en${\displaystyle M}$al requerir las hojas simplécticas de${\displaystyle \pi }$ser las hojas${\displaystyle S}$de${\displaystyle {\mathcal {F}}}$equipado con la forma simpléctica inducida${\displaystyle \omega |_{S}}$.
• Dejar${\displaystyle G}$ser un grupo de Lie que actúa sobre una variedad de Poisson${\displaystyle (M,\pi )}$y tal que el corchete de Poisson de${\displaystyle G}$-funciones invariantes en${\displaystyle M}$es${\displaystyle G}$-invariante. Si la acción es libre y propia , la variedad cociente${\displaystyle M/G}$hereda una estructura de Poisson${\displaystyle \pi _{M/G}}$de${\displaystyle \pi }$(es decir, es el único de tal modo que la inmersión${\displaystyle (M,\pi )\to (M/G,\pi _{M/G})}$es un mapa de Poisson).

La clase modular de una variedad de Poisson es una clase en el primer grupo de cohomología de Poisson: para variedades orientables, es la obstrucción a la existencia de una forma de volumen invariante bajo los flujos hamiltonianos. ^{[ 26 ]} Fue introducida por Koszul ^{[ 27 ]} y Weinstein. ^{[ 28 ]}

Recordemos que la divergencia de un campo vectorial${\displaystyle X\in {\mathfrak {X}}(M)}$con respecto a una forma de volumen dada${\displaystyle \lambda }$es la función${\displaystyle {\rm {div}}_{\lambda }(X)\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$definido por${\displaystyle \textstyle {\rm {div}}_{\lambda }(X)={\frac {{\mathcal {L}}_{X}\lambda }{\lambda }}}$El campo vectorial modular de una variedad de Poisson orientable , con respecto a una forma de volumen.${\displaystyle \lambda }$es el campo vectorial${\displaystyle X_{\lambda }}$definido por la divergencia de los campos vectoriales hamiltonianos:${\displaystyle X_{\lambda }:f\mapsto {\rm {div}}_{\lambda }(X_{f})}$.

El campo vectorial modular es un 1-cociclo de Poisson, es decir, satisface${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{\lambda }}\pi =0}$Además, dadas dos formas de volumen${\displaystyle \lambda _{1}}$y${\displaystyle \lambda _{2}}$, la diferencia${\displaystyle X_{\lambda _{1}}-X_{\lambda _{2}}}$es un campo vectorial hamiltoniano. En consecuencia, la clase de cohomología de Poisson${\displaystyle [X_{\lambda }]_{\pi }\in H^{1}(M,\pi )}$no depende de la elección original del formato del volumen${\displaystyle \lambda }$y se la denomina la clase modular de la variedad de Poisson.

Una variedad de Poisson orientable se denomina unimodular si su clase modular se anula. Nótese que esto ocurre si y solo si existe una forma de volumen.${\displaystyle \lambda }$de tal manera que el campo vectorial modular${\displaystyle X_{\lambda }}$desaparece, es decir${\displaystyle {\rm {div}}_{\lambda }(X_{f})=0}$por cada${\displaystyle f}$; en otras palabras,${\displaystyle \lambda }$es invariante bajo el flujo de cualquier campo vectorial hamiltoniano. Por ejemplo:

• Las estructuras simplécticas son siempre unimodulares, ya que la forma de Liouville es invariante bajo todos los campos vectoriales hamiltonianos.
• Para estructuras de Poisson lineales, la clase modular es el carácter modular infinitesimal de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, ya que el campo vectorial modular asociado a la medida de Lebesgue estándar en${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$es el campo vectorial constante en${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$. Entonces${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$es unimodular como variedad de Poisson si y solo si es unimodular como álgebra de Lie. ^{[ 29 ]}
• Para estructuras de Poisson regulares, la clase modular está relacionada con la clase de Reeb de la foliación simpléctica subyacente (un elemento del primer grupo de cohomología de hojas, que impide la existencia de una forma normal de volumen invariante por campos vectoriales tangentes a la foliación). ^{[ 30 ]}

La construcción de la clase modular se puede extender fácilmente a variedades no orientables reemplazando las formas de volumen por densidades . ^{[ 28 ]}

La cohomología de Poisson fue introducida en 1977 por el propio Lichnerowicz; ^{[ 1 ]} una década después, Brylinski introdujo una teoría de homología para variedades de Poisson, utilizando el operador${\displaystyle \partial _{\pi }=[d,\iota _{\pi }]}$. ^{[ 31 ]}

Se han demostrado varios resultados que relacionan la homología de Poisson y la cohomología. ^{[ 32 ]} Por ejemplo, para variedades de Poisson unimodulares orientables , la homología de Poisson resulta ser isomorfa a la cohomología de Poisson: esto fue demostrado independientemente por Xu ^{[ 33 ]} y Evans-Lu-Weinstein. ^{[ 29 ]}

• Dado un colector de Poisson de producto${\displaystyle (M_{0}\times M_{1},\pi _{0}\times \pi _{1})}$, las proyecciones canónicas${\displaystyle \mathrm {pr} _{i}:M_{0}\times M_{1}\to M_{i}}$, para${\displaystyle i\in \{0,1\}}$son mapas de Poisson.
• Dada una variedad de Poisson${\displaystyle (M,\pi )}$, la inclusión en${\displaystyle M}$De una hoja simpléctica, o de un subconjunto abierto, se obtiene un mapa de Poisson.
• Dadas dos álgebras de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$y${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, el dual de cualquier homomorfismo de álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$induce un mapa de Poisson${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}\to {\mathfrak {g}}^{*}}$entre sus estructuras de Poisson lineales.
• Dados dos algebroides de Lie${\displaystyle A\to M}$y${\displaystyle B\to M}$, el dual de cualquier morfismo de álgebra de Lie${\displaystyle A\to B}$sobre la identidad induce un mapa de Poisson${\displaystyle B^{*}\to A^{*}}$entre sus estructuras de Poisson lineales a lo largo de las fibras.

Cabe señalar que la noción de mapa de Poisson es fundamentalmente diferente de la de mapa simpléctico . Por ejemplo, con sus estructuras simplécticas estándar, no existen mapas de Poisson.${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{4}}$, mientras que abundan los mapas simplécticos. De manera más general, dadas dos variedades simplécticas${\displaystyle (M_{1},\omega _{1})}$y${\displaystyle (M_{2},\omega _{2})}$y un mapa suave${\displaystyle f:M_{1}\to M_{2}}$, si${\displaystyle f}$es un mapa de Poisson, debe ser una inmersión, mientras que si${\displaystyle f}$es un mapa simpléctico, debe ser una inmersión.

AEl grupoide simpléctico es ungrupoide de Lie.${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightrightarrows M}$junto con una forma simpléctica${\displaystyle \omega \in \Omega ^{2}({\mathcal {G}})}$que también es multiplicativa, es decir, satisface la siguiente compatibilidad algebraica con la multiplicación de grupoides:${\displaystyle m^{*}\omega ={\rm {pr}}_{1}^{*}\omega +{\rm {pr}}_{2}^{*}\omega }$. De forma equivalente, la gráfica de${\displaystyle m}$se pide que sea una subvariedad lagrangiana de${\displaystyle ({\mathcal {G}}\times {\mathcal {G}}\times {\mathcal {G}},\omega \oplus \omega \oplus -\omega )}$Entre las diversas consecuencias, la dimensión de${\displaystyle {\mathcal {G}}}$es automáticamente el doble de la dimensión de${\displaystyle M}$. La noción de grupoide simpléctico fue introducida a finales de la década de 1980 de forma independiente por varios autores. ^{[ 34 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 24 ]}

Un teorema fundamental establece que el espacio base de cualquier grupoide simpléctico admite una estructura de Poisson única.${\displaystyle \pi }$de tal manera que el mapa de origen${\displaystyle s:({\mathcal {G}},\omega )\to (M,\pi )}$y el mapa objetivo${\displaystyle t:({\mathcal {G}},\omega )\to (M,\pi )}$son, respectivamente, un mapa de Poisson y un mapa anti-Poisson. Además, el algebroide de Lie${\displaystyle {\rm {Lie}}({\mathcal {G}})}$es isomorfo al algebroide cotangente${\displaystyle T^{*}M}$asociado a la variedad de Poisson${\displaystyle (M,\pi )}$. ^{[ 39 ]} Por el contrario, si el haz cotangente${\displaystyle T^{*}M}$Si una variedad de Poisson es integrable (como un álgebroide de Lie), entonces su${\displaystyle s}$- Integración sencillamente conectada${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightrightarrows M}$es automáticamente un grupoide simpléctico. ^{[ 40 ]}

En consecuencia, el problema de integrabilidad para una variedad de Poisson consiste en encontrar un grupoide de Lie (simpléctico) que integre su algebroide cotangente; cuando esto sucede, la estructura de Poisson se denomina integrable .

Si bien cualquier variedad de Poisson admite una integración local (es decir, un grupoide simpléctico donde la multiplicación se define solo localmente), ^{[ 39 ]} existen obstrucciones topológicas generales a su integrabilidad, derivadas de la teoría de integrabilidad para álgebroides de Lie. ^{[ 41 ]} El candidato${\displaystyle \Pi (M,\pi )}$para el grupoide simpléctico que integra cualquier variedad de Poisson dada${\displaystyle (M,\pi )}$se denomina grupoide de homotopía de Poisson y es simplemente el grupoide de Ševera-Weinstein ^{[ 42 ] [ 41 ]} del algebroide cotangente${\displaystyle T^{*}M\to M}$, que consiste en el cociente del espacio de Banach de una clase especial de caminos en${\displaystyle T^{*}M}$mediante una relación equivalente adecuada. De forma equivalente,${\displaystyle \Pi (M,\pi )}$puede describirse como un cociente simpléctico de dimensión infinita . ^{[ 35 ]}

• La estructura de Poisson trivial${\displaystyle (M,0)}$siempre es integrable, siendo un grupoide simpléctico el haz de grupos abelianos (aditivos).${\displaystyle T^{*}M\rightrightarrows M}$con la estructura simpléctica canónica .
• Una estructura de Poisson no degenerada en${\displaystyle M}$siempre es integrable, siendo un grupoide simpléctico el grupoide de pares.${\displaystyle M\times M\rightrightarrows M}$junto con la forma simpléctica${\displaystyle s^{*}\omega -t^{*}\omega }$(para${\displaystyle \pi ^{\sharp }=(\omega ^{\flat })^{-1}}$).
• Una estructura de Lie-Poisson en${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$siempre es integrable, siendo un grupoide simpléctico el grupoide de acción ( coadjunto ).${\displaystyle G\times {\mathfrak {g}}^{*}\rightrightarrows {\mathfrak {g}}^{*}}$, para${\displaystyle G}$un grupo de mentiras que integra${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, junto con la forma simpléctica canónica de${\displaystyle T^{*}G\cong G\times {\mathfrak {g}}^{*}}$.
• Una estructura de Lie-Poisson en${\displaystyle A^{*}}$es integrable si y solo si el algebroide de Lie${\displaystyle A\to M}$es integrable a un grupoide de Lie${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightrightarrows M}$, siendo un grupoide simpléctico el grupoide cotangente${\displaystyle T^{*}{\mathcal {G}}\rightrightarrows A^{*}}$con la forma simpléctica canónica.

Una realización simpléctica (completa) en una variedad de Poisson M consiste en una variedad simpléctica.${\displaystyle (P,\omega )}$junto con un mapa de Poisson${\displaystyle \phi$ :(P,\omega )\to (M,\pi )} que es una inmersión sobreyectiva. En términos generales, el papel de una realización simpléctica es "desingularizar" una variedad de Poisson complicada (degenerada) pasando a una más grande, pero más sencilla (no degenerada).

Una realización simpléctica${\displaystyle \phi }$Se denomina completo si, para cualquier campo vectorial hamiltoniano completo${\displaystyle X_{H}}$, el campo vectorial${\displaystyle X_{H\circ \phi }}$es completo también. Si bien las realizaciones simplécticas siempre existen para toda variedad de Poisson (y hay varias demostraciones diferentes disponibles), ^{[ 17 ] [ 38 ] [ 43 ]} las completas no existen, y su existencia juega un papel fundamental en el problema de integrabilidad para variedades de Poisson. De hecho, utilizando las obstrucciones topológicas a la integrabilidad de los algebroides de Lie, se puede demostrar que una variedad de Poisson es integrable si y solo si admite una realización simpléctica completa. ^{[ 36 ]} Este hecho también se puede demostrar de forma más directa, sin utilizar obstrucciones de Crainic-Fernandes. ^{[ 44 ]}

• Dada cualquier variedad de Poisson${\displaystyle (M,\pi )}$, sus hojas simplécticas${\displaystyle S\subseteq M}$son subvariedades de Poisson.
• Dada cualquier variedad de Poisson${\displaystyle (M,\pi )}$y una función de Casimir${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$, sus conjuntos de nivel${\displaystyle f^{-1}(\lambda )}$, con${\displaystyle \lambda }$cualquier valor regular de${\displaystyle f}$, son subvariedades de Poisson (en realidad son uniones de hojas simplécticas).
• Consideremos un álgebra de Lie.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$y la estructura de Lie-Poisson en${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$. Si${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es compacto , su forma de matar define un${\displaystyle \mathrm {ad} }$-producto interno invariante en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, por lo tanto un${\displaystyle \mathrm {ad} ^{*}}$-producto interno invariante${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{{\mathfrak {g}}^{*}}}$en${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$. Entonces la esfera${\displaystyle \mathbb {S} _{\lambda }=\{\xi \in {\mathfrak {g}}^{*}|\langle \xi ,\xi \rangle _{{\mathfrak {g}}^{*}}=\lambda ^{2}\}\subseteq {\mathfrak {g}}^{*}}$es una subvariedad de Poisson para cada${\displaystyle \lambda >0}$, siendo una unión de órbitas coadjuntas (que son las hojas simplécticas de la estructura de Lie-Poisson). Esto se puede comprobar de forma equivalente después de observar que${\displaystyle \mathbb {S} _{\lambda }=f^{-1}(\lambda ^{2})}$para la función Casimir${\displaystyle f(\xi )=\langle \xi ,\xi \rangle _{{\mathfrak {g}}^{*}}}$.