Corchete del Courant

En geometría diferencial , un campo de las matemáticas , el corchete de Courant es una generalización del corchete de Lie de una operación sobre el fibrado tangente a una operación sobre la suma directa del fibrado tangente y el fibrado vectorial de p -formas .

El caso${\displaystyle p=1}$Fue presentado por Theodore James Courant en su tesis doctoral de 1990 como una estructura que une la geometría de Poisson y la geometría presimpléctica , basándose en el trabajo realizado con su director de tesis, Alan Weinstein . La versión retorcida del corchete de Courant fue presentada en 2001 por Pavol Severa y estudiada en colaboración con Weinstein.

Hoy en día una versión compleja de la${\displaystyle p=1}$El corchete de Courant juega un papel central en el campo de la geometría compleja generalizada , introducido por Nigel Hitchin en 2002. El cierre bajo el corchete de Courant es la condición de integrabilidad de una estructura casi compleja generalizada .

Dejar${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$ser campos vectoriales en un${\displaystyle N}$variedad real de -dimensiones${\displaystyle M}$y dejar${\displaystyle \xi }$y${\displaystyle \eta }$ser${\displaystyle p}$-formas. Entonces${\displaystyle X+\xi }$y${\displaystyle Y+\eta }$son secciones de la suma directa${\displaystyle TM\oplus \wedge ^{p}T^{*}M}$del fibrado tangente y el fibrado de${\displaystyle p}$-formularios. El corchete del Courant de${\displaystyle X+\xi }$y${\displaystyle Y+\eta }$se define como

${\displaystyle [X+\xi ,Y+\eta ]=[X,Y]+{\mathcal {L}}_{X}\eta -{\mathcal {L}}_{Y}\xi -{\frac {1}{2}}d(i(X)\eta -i(Y)\xi )}$

dónde${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$es la derivada de Lie a lo largo del campo vectorial${\displaystyle X}$,${\displaystyle d}$es la derivada exterior y${\displaystyle \iota }$es el producto interior .

El corchete de Courant es antisimétrico pero no satisface la identidad de Jacobi para${\displaystyle p}$mayor que cero.

El haz cotangente ,${\displaystyle {\mathbf {T} }^{*}}$de${\displaystyle M}$es el haz de formas diferenciales de orden uno. En el caso${\displaystyle p=1}$El esquema de corchetes del Courant muestra dos secciones de${\displaystyle {\mathbf {T} }\oplus {\mathbf {T} }^{*}}$, la suma directa de los haces tangente y cotangente, a otra sección de${\displaystyle {\mathbf {T} }\oplus {\mathbf {T} }^{*}}$. Las fibras de${\displaystyle {\mathbf {T} }\oplus {\mathbf {T} }^{*}}$Admita productos internos con firma${\displaystyle (N,N)}$dado por

${\displaystyle \langle X+\xi ,Y+\eta \rangle ={\frac {1}{2}}(\xi (Y)+\eta (X)).}$

Un subespacio lineal de${\displaystyle {\mathbf {T} }\oplus {\mathbf {T} }^{*}}$Se dice que un subespacio isotrópico es aquel en el que todos los pares de vectores tienen producto interno cero . Las fibras de${\displaystyle {\mathbf {T} }\oplus {\mathbf {T} }^{*}}$son${\displaystyle 2N}$-dimensional y la dimensión máxima de un subespacio isotrópico es${\displaystyle N}$. Un${\displaystyle N}$Un subespacio isotrópico de dimensión se denomina subespacio isotrópico maximal.

Una estructura de Dirac es un subhaz de máxima isotropía${\displaystyle {\mathbf {T} }\oplus {\mathbf {T} }^{*}}$cuyas secciones están cerradas bajo el corchete de Courant. Las estructuras de Dirac incluyen como casos especiales las estructuras simplécticas , las estructuras de Poisson y las geometrías foliadas .

Una estructura compleja generalizada se define de forma idéntica, pero uno de los tensores${\displaystyle {\mathbf {T} }\oplus {\mathbf {T} }^{*}}$mediante los números complejos y utiliza la dimensión compleja en las definiciones anteriores y se impone que la suma directa del subconjunto y su conjugado complejo sea todo el conjunto original.${\displaystyle ({\mathbf {T} }\oplus {\mathbf {T} }^{*})\otimes \mathbf {C} }$. Los casos especiales de estructuras complejas generalizadas incluyen la estructura compleja y una versión de la estructura de Kähler que incluye el campo B.

En 1987, Irene Dorfman introdujo el soporte Dorfman.${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{D}}$, que al igual que el corchete de Courant proporciona una condición de integrabilidad para las estructuras de Dirac. Se define por

${\displaystyle [A,B]_{D}=[A,B]+d\langle A,B\rangle }$.

El corchete de Dorfman no es antisimétrico, pero a menudo es más fácil de calcular que el corchete de Courant porque satisface una regla de Leibniz que se asemeja a la identidad de Jacobi.

${\displaystyle [A,[B,C]_{D}]_{D}=[[A,B]_{D},C]_{D}+[B,[A,C]_{D}]_{D}.}$

El corchete de Courant no satisface la identidad de Jacobi y, por lo tanto, no define un álgebroide de Lie ; además, no satisface la condición de álgebroide de Lie en el mapa de anclaje . En cambio, define una estructura más general introducida por Zhang-Ju Liu , Alan Weinstein y Ping Xu, conocida como álgebroide de Courant .

• Courant, Theodore (1990). "Dirac manifolds". Trans. Amer. Math. Soc. 319: 631–661.
• Gualtieri, Marco (2004). Generalized complex geometry (PhD Thesis). arXiv:math.DG/0401221.