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Estructura de Dirac

En matemáticas, una estructura de Dirac es una estructura geométrica que generaliza tanto las estructuras simplécticas como las de Poisson , y que tiene diversas aplicaciones en...

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En matemáticas, una estructura de Dirac es una estructura geométrica que generaliza tanto las estructuras simplécticas como las de Poisson , y que tiene diversas aplicaciones en mecánica. Se basa en la noción de la restricción del corchete de Dirac , introducida por Paul Dirac y presentada inicialmente por Ted Courant y Alan Weinstein .

Estructuras de Dirac lineales

DejarV{\displaystyle V}sea ​​un espacio vectorial real yV∗{\displaystyle V^{*}}su dual . Una estructura de Dirac (lineal) enV{\displaystyle V}es un subespacio linealD{\displaystyle D}deV×V∗{\displaystyle V\times V^{*}}satisfactorio

  • a pesar de(v,α)∈D{\displaystyle (v,\alpha )\in D}uno tiene⟨α,v⟩=0{\displaystyle \left\langle \alpha ,\,v\right\rangle =0},
  • D{\displaystyle D}es máximo con respecto a esta propiedad.

En particular, siV{\displaystyle V}es de dimensión finita, entonces se satisface el segundo criterio sioscuro⁡D=oscuro⁡V{\displaystyle \dim D=\dim V}Se pueden establecer definiciones similares para espacios vectoriales sobre otros campos.

Una definición alternativa (equivalente) que se usa con frecuencia es queD{\displaystyle D}SatisfaceD=D⊥{\displaystyle D=D^{\perp }}, donde la ortogonalidad es con respecto a la forma bilineal simétrica enV×V∗{\displaystyle V\times V^{*}}dado por⟨(v,α),(tú,β)⟩=⟨α,tú⟩+⟨β,v⟩{\displaystyle {\bigl \langle }(v,\alpha ),\,(u,\beta ){\bigr \rangle }=\left\langle \alpha ,u\right\rangle +\left\langle \beta ,v\right\rangle }.

Ejemplos

  1. SiU⊂V{\displaystyle U\subset V}es un subespacio vectorial, entoncesD=U×U∘{\displaystyle D=U\times U^{\circ }}es una estructura de Dirac enV{\displaystyle V}, dóndeU∘{\displaystyle U^{\circ }}es el aniquilador deU{\displaystyle U}; eso es,U∘={α∈V∗∣α|U=0}{\displaystyle U^{\circ }=\left\{\alpha \in V^{*}\mid \alpha _{\vert U}=0\right\}}.
  2. Dejarω:V→V∗{\displaystyle \omega :V\a V^{*}}Sea una aplicación lineal antisimétrica, entonces la gráfica deω{\displaystyle \omega }es una estructura de Dirac.
  3. De manera similar, siΠ:V∗→V{\displaystyle \Pi :V^{*}\a V}Si se trata de una aplicación lineal antisimétrica, entonces su gráfica es una estructura de Dirac.

Estructuras de Dirac en variedades

Una estructura de DiracD{\displaystyle {\mathfrak {D}}}en un colector lisoMETRO{\displaystyle M}es una asignación de una estructura de Dirac (lineal) en el espacio tangente aMETRO{\displaystyle M}enmetro{\displaystyle m}, para cadametro∈METRO{\displaystyle m\in M}. Eso es,

  • para cadametro∈METRO{\displaystyle m\in M}, un subespacio de DiracDmetro{\displaystyle D_{m}}del espacioTmetroMETRO×Tmetro∗METRO{\displaystyle T_{m}M\times T_{m}^{*}M}.

Muchos autores, en particular en geometría más que en aplicaciones de mecánica, requieren que una estructura de Dirac satisfaga una condición de integrabilidad adicional como la siguiente:

  • suponer(incógnitai,αi){\displaystyle (X_{i},\alpha _{i})}son secciones del paquete de DiracD→METRO{\displaystyle {\mathfrak {D}}\to M}(i=1,2,3{\displaystyle i=1,2,3}) entonces⟨Lincógnita1(α2),incógnita3⟩+⟨Lincógnita2(α3),incógnita1⟩+⟨Lincógnita3(α1),incógnita2⟩=0.{\displaystyle \left\langle L_{X_{1}}(\alpha _{2}),\,X_{3}\right\rangle +\left\langle L_{X_{2}}(\alpha _{3}),\,X_{1}\right\rangle +\left\langle L_{X_{3}}(\alpha _{1}),\,X_{2}\right\rangle =0.}

En la literatura sobre mecánica, esto se denominaría una estructura de Dirac cerrada o integrable .

Ejemplos

  1. DejarΔ{\displaystyle \Delta }sea ​​una distribución suave de rango constante en una variedadMETRO{\displaystyle M}y para cada unometro∈METRO{\displaystyle m\in M}dejarDmetro={(tú,α)∈TmetroMETRO×Tmetro∗METRO∣tú∈Δ(metro),α∈Δ(metro)∘}{\displaystyle D_{m}=\{(u,\alpha )\in T_{m}M\times T_{m}^{*}M\mid u\in \Delta (m),\,\alpha \in \Delta (m)^{\circ }\}}, entonces la unión de estos subespacios sobremetro{\displaystyle m}forma una estructura de Dirac enMETRO{\displaystyle M}.
  2. Dejarω{\displaystyle \omega }ser una forma simpléctica en una multiplicidadMETRO{\displaystyle M}Si la 2-forma no es cerrada, entonces su gráfica es una estructura de Dirac (cerrada). En términos más generales, esto es cierto para cualquier 2-forma cerrada. Si la 2-forma no es cerrada, entonces la estructura de Dirac resultante no es cerrada.
  3. DejarΠ{\displaystyle \Pi }ser una estructura de Poisson en una variedadMETRO{\displaystyle M}, entonces su gráfica es una estructura de Dirac (cerrada).
  4. Cualquier subvariedad de una variedad de Poisson induce una estructura de Dirac. [ 1 ]

Aplicaciones

Sistemas de Port-Hamilton

restricciones no holonómicas

Termodinámica

Referencias

  1. ↑ Bursztyn, Henrique (2013), "Una breve introducción a las variedades de Dirac" , en Cardona, Alexander; Reyes-Lega, Andrés F.; Contreras, Iván (eds.), Métodos geométricos y topológicos para la teoría cuántica de campos: Actas de la Escuela de Verano de Villa de Leyva de 2009 , Cambridge: Cambridge University Press, pp. 4–38 , ISBN  978-1-107-02683-4
  • Bursztyn, Henrique (2013), «Una breve introducción a las variedades de Dirac» , en Cardona, Alexander; Reyes-Lega, Andrés F.; Contreras, Iván (eds.), Métodos geométricos y topológicos para la teoría cuántica de campos: Actas de la Escuela de Verano de Villa de Leyva de 2009 , Cambridge: Cambridge University Press, pp. 4–38 , ISBN  978-1-107-02683-4
  • Bursztyn, Henrique; Crainic, Marius (2005). «Estructuras de Dirac, mapas de momento y variedades cuasi-Poisson». La amplitud de la geometría simpléctica y de Poisson . Progress in Mathematics. Vol.  232. Birkhauser-Verlag. pp. 1–40 . 
  • Courant, Theodore (1990). "Variedades de Dirac" . Transactions of the American Mathematical Society . 319 (2): 631– 661. doi : 10.1090/S0002-9947-1990-0998124-1 .
  • Courant, Teodoro ; Weinstein, Alan (1988). "Más allá de las estructuras de Poisson". Séminaire sud-rhodanien de géométrie VIII . Trabajos en curso. vol.  27. París: Hermann.
  • Dorfman, Irène (1993). Estructuras de Dirac e integrabilidad de ecuaciones de evolución no lineales . Wiley.
  • Gay-Balmaz, François; Yoshimura, Hiroaki (2020). "Estructuras de Dirac en termodinámica de no equilibrio para sistemas abiertos simples". Journal of Mathematical Physics . 61 (9): 092701 (45 pp). arXiv : 1907.13211 . Bibcode : 2020JMP....61i2701G . doi : 10.1063/1.5120390 . S2CID 199001204 . 
  • van der Schaft, Arjan ; Maschke, Bernhard M. (2002). "Formulación hamiltoniana de sistemas de parámetros distribuidos con flujo de energía en la frontera" (PDF) . Journal of Geometry and Physics . 42 ( 1–2 ): 166–194 . Bibcode : 2002JGP....42..166V . doi : 10.1016/S0393-0440(01)00083-3 .
  • Yoshimura, Hiroaki; Marsden, Jerrold E. (2006). "Estructuras de Dirac en mecánica lagrangiana. I. Sistemas lagrangianos implícitos". Journal of Geometry and Physics . 57 : 133–156 . doi : 10.1016/j.geomphys.2006.02.009 .
  • Yoshimura, Hiroaki; Marsden, Jerrold E. (2006). "Estructuras de Dirac en mecánica lagrangiana. II. Estructuras variacionales". Journal of Geometry and Physics . 57 : 209–250 . CiteSeerX 10.1.1.570.4792 . doi : 10.1016/j.geomphys.2006.02.012 .