grupoide de Mathieu

En matemáticas, el grupoide de Mathieu M ₁₃ es un grupoide que actúa sobre 13 puntos de tal manera que el estabilizador de cada punto es el grupo de Mathieu M _12. Fue introducido por Conway ( 1987 , 1997 ) y estudiado en detalle por Conway, Elkies y Martin (2006) . 

El plano proyectivo de orden 3 tiene 13 puntos y 13 líneas, cada una con 4 puntos. El grupoide de Mathieu se puede visualizar como un rompecabezas de bloques deslizantes colocando 12 fichas en 12 de los 13 puntos del plano proyectivo. Un movimiento consiste en desplazar una ficha desde cualquier punto x hasta el punto vacío y , y luego intercambiar las otras 2 fichas en la línea que contiene x e y . El grupoide de Mathieu está formado por las permutaciones que se pueden obtener componiendo varios movimientos.

Esto no es un grupo porque dos operaciones A y B solo pueden componerse si el punto vacío después de realizar A es el punto vacío al inicio de B. De hecho, es un grupoide (una categoría tal que todo morfismo es invertible) cuyos 13 objetos son los 13 puntos, y cuyos morfismos de x a y son las operaciones que llevan el punto vacío de x a y . Los morfismos que fijan el punto vacío forman un grupo isomorfo al grupo de Mathieu M ₁₂ con 12×11×10×9×8 elementos.

• Conway, John Horton ( 1987), "Grafos y grupos y M13", Graph Theory Notes of New York , XIV : 18–29
• Conway, John Horton (1997), "M₁₃", Surveys in combinatorics, 1997 (Londres) , London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol.  241, Cambridge University Press , pp. 1–11 , doi : 10.1017/CBO9780511662119.002 , ISBN  9780511662119, MR 1477742 
• Conway, John Horton ; Elkies, Noam D .; Martin, Jeremy L. (2006), "El grupo de Mathieu M12 y su extensión de pseudogrupo M13" , Experimental Mathematics , 15 (2): 223–236 , arXiv : math/0508630 , doi : 10.1080/10586458.2006.10128958 , hdl : 1808/6365 , ISSN 1058-6458 , MR 2253008  
• Nakashima, Yasuhiro (2008), "La transitividad de M₁₃ de Conway", Matemáticas Discretas , 308 (11): 2273– 2276, doi : 10.1016/j.disc.2007.04.053 , ISSN 0012-365X , MR 2404553  
• Gill, Nick; Gillespie, Neil; Nixon, Anthony; Semeraro, Jason (2014). "Grupos de rompecabezas". arXiv : 1405.1701v2 [ math.GR ].

• El grupoide de Mathieu