Grupo Mathieu M 12

En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo de Mathieu M ₁₂ es un grupo simple esporádico de orden

   95.040 = 12 · 11 · 10 · 9 · 8 = 2 ⁶ · 3 ³ · 5 · 11.       

M ₁₂ es uno de los 26 grupos esporádicos y fue introducido por Mathieu ( 1861 , 1873 ) . Es un grupo de permutaciones 5-transitivo estricto sobre 12 objetos. Burgoyne y Fong (1968) demostraron que el multiplicador de Schur de M ₁₂ tiene orden 2 (corrigiendo un error en ( Burgoyne y Fong 1966 ) donde afirmaron erróneamente que tenía orden 1). 

La doble cubierta había sido hallada implícitamente con anterioridad por Coxeter (1958) , quien demostró que M ₁₂ es un subgrupo del grupo lineal proyectivo de dimensión 6 sobre el cuerpo finito con 3 elementos.

El grupo de automorfismos externos tiene orden 2, y el grupo de automorfismos completo M ₁₂ .2 está contenido en M ₂₄ como estabilizador de un par de dodecadas complementarias de 24 puntos, con automorfismos externos de M ₁₂ intercambiando las dos dodecadas.

Frobenius (1904) calculó la tabla de caracteres complejos de M ₁₂ .

M ₁₂ tiene una representación de permutación estrictamente 5-transitiva en 12 puntos, cuyo estabilizador de punto es el grupo de Mathieu M ₁₁ . Al identificar los 12 puntos con la línea proyectiva sobre el cuerpo de 11 elementos, M ₁₂ se genera mediante las permutaciones de PSL ₂ (11) junto con la permutación (2,10)(3,4)(5,9)(6,7). Esta representación de permutación conserva un sistema de Steiner S(5,6,12) de 132 hexadas especiales, de modo que cada pentada está contenida en exactamente 1 hexada especial, y las hexadas son los soportes de las palabras clave de peso 6 del código ternario de Golay extendido . De hecho, M ₁₂ tiene dos acciones no equivalentes en 12 puntos, intercambiadas por un automorfismo externo; estas son análogas a las dos acciones no equivalentes del grupo simétrico S ₆ en 6 puntos.

El recubrimiento doble 2.M ₁₂ es el grupo de automorfismos del código de Golay ternario extendido , un código de dimensión 6 y longitud 12 sobre el campo de orden 3 de peso mínimo 6. En particular, el recubrimiento doble tiene una representación irreducible de 6 dimensiones sobre el campo de 3 elementos.

El recubrimiento doble 2.M ₁₂ es el grupo de automorfismos de cualquier matriz de Hadamard de 12×12 .

M ₁₂ centraliza un elemento de orden 11 en el grupo monstruo , como resultado de lo cual actúa naturalmente sobre un álgebra de vértices sobre el cuerpo con 11 elementos, dada como la cohomología de Tate del álgebra de vértices monstruo .

Hay 11 clases de conjugación de subgrupos máximos de M ₁₂ , 6 que aparecen en pares automorfos, como sigue:

La forma cíclica de un elemento y su conjugado bajo un automorfismo externo se relacionan de la siguiente manera: la unión de las dos formas cíclicas está equilibrada, en otras palabras, es invariante al cambiar cada n - ciclo a un ciclo N / n para algún entero N.

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• MathWorld: Grupos de Mathieu
• Atlas de Representaciones de Grupos Finitos: M ₁₂