Gráfico de grupos

En la teoría geométrica de grupos , un grafo de grupos es un objeto que consiste en una colección de grupos indexados por los vértices y las aristas de un grafo , junto con una familia de monomorfismos de los grupos de aristas en los grupos de vértices. Existe un único grupo, llamado grupo fundamental , asociado canónicamente a cada grafo de grupos finito y conexo . Este grupo admite una acción que preserva la orientación sobre un árbol : el grafo original de grupos puede recuperarse a partir del grafo cociente y los subgrupos estabilizadores . Esta teoría, comúnmente conocida como teoría de Bass-Serre , se debe al trabajo de Hyman Bass y Jean-Pierre Serre .

Un grafo de grupos sobre un grafo Y es una asignación a cada vértice x de Y de un grupo G _x y a cada arista y de Y de un grupo G _y, así como monomorfismos φ _{y ,0} y φ _{y ,1} que mapean G _y en los grupos asignados a los vértices en sus extremos.

Sea T un árbol generador para Y y definamos el grupo fundamental Γ como el grupo generado por los grupos de vértices G _x y los elementos y para cada arista de Y con las siguientes relaciones:

• y = y ⁻¹ si y es la aristaycon la orientación inversa.
• y φ _{y ,0} ( x ) y ⁻¹ = φ _{y ,1} ( x ) para todo x en G _y .
• y = 1 si y esuna arista en T.

Esta definición es independiente de la elección de T.

La ventaja de definir el grupoide fundamental de un grafo de grupos, como lo demuestra Higgins (1976) , radica en que se define independientemente del punto base o del árbol. Además, allí se demuestra una forma normal elegante para los elementos del grupoide fundamental. Esto incluye teoremas de forma normal para un producto libre con amalgamación y para una extensión HNN ( Bass 1993 ) .

Sea Γ el grupo fundamental correspondiente al árbol generador T. Para cada vértice x y arista y , G _x y G _y pueden identificarse con sus imágenes en Γ . Es posible definir un grafo con vértices y aristas que sean la unión disjunta de todos los espacios de clases laterales Γ/ G _x y Γ/ G _y, respectivamente. Este grafo es un árbol, llamado árbol de recubrimiento universal , sobre el cual actúa Γ . Admite el grafo Y como dominio fundamental . El grafo de grupos dado por los subgrupos estabilizadores en el dominio fundamental corresponde al grafo de grupos original.

• Un grafo de grupos en un grafo con una arista y dos vértices corresponde a un producto libre con amalgamación .
• Un grafo de grupos en un único vértice con un bucle corresponde a una extensión HNN .

La generalización más simple posible de un grafo de grupos es un complejo de grupos bidimensional . Estos se modelan sobre orbifolds que surgen de acciones propiamente discontinuas cocompactas de grupos discretos sobre complejos simpliciales bidimensionales que tienen la estructura de espacios CAT(0) . El cociente del complejo simplicial tiene grupos estabilizadores finitos asociados a vértices, aristas y triángulos, junto con monomorfismos para cada inclusión de símplices. Se dice que un complejo de grupos es desarrollable si surge como el cociente de un complejo simplicial CAT(0). La desarrollabilidad es una condición de curvatura no positiva en el complejo de grupos: se puede verificar localmente comprobando que todos los circuitos que aparecen en los enlaces de los vértices tienen una longitud de al menos seis. Estos complejos de grupos surgieron originalmente en la teoría de los edificios de Bruhat-Tits bidimensionales ; su definición general y su estudio continuo se han inspirado en las ideas de Gromov .

• Teoría de Bass-Serre
• Grupo Artin en ángulo recto

• Bass, Hyman (1993), "Teoría de recubrimiento para grafos de grupos", Journal of Pure and Applied Algebra , 89 ( 1–2 ): 3–47 , doi : 10.1016/0022-4049(93)90085-8 , MR 1239551 .
• Bridson, Martín R .; Haefliger, André (1999), Espacios métricos de curvatura no positiva , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], vol.  319, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-64324-9, MR 1744486 .
• Dicks, Warren; Dunwoody, MJ (1989), Groups Acting on Graphs , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol.  17, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-23033-0, MR 1001965 .
• Haefliger, André (1990), "Orbi-espaces [Orbispaces]", Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov (Berna, 1988) , Progress in Mathematics (en francés), vol.  83, Boston, MA: Birkhäuser, págs. 203–213 , ISBN  0-8176-3508-4, MR 1086659 
• Higgins, PJ (1976), "El grupoide fundamental de un grafo de grupos", Journal of the London Mathematical Society , 2.ª serie, 13 (1): 145–149 , doi : 10.1112/jlms/s2-13.1.145 , MR 0401927 
• Scott, Peter ; Wall, Terry (1979), "Métodos topológicos en teoría de grupos", Teoría homológica de grupos , London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol.  36, Cambridge: Cambridge University Press, pp. 137–203 , ISBN  0-521-22729-1, MR 0564422 .
• Serre, Jean-Pierre (2003), Árboles , Monografías de Springer en Matemáticas, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-44237-5, SR 1954121 Traducido por John Stillwell de "arbres, amalgames, SL ₂ ", escrito con la colaboración de Hyman Bass , 3.ª edición, astérisque 46 (1983). Véase el capítulo I.5.