Orbifold

Al igual que una variedad, un orbifold se especifica mediante condiciones locales; sin embargo, en lugar de ser modelado localmente en subconjuntos abiertos de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, un orbifold se modela localmente en cocientes de subconjuntos abiertos de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$mediante acciones de grupos finitos. La estructura de un orbifold codifica no solo la del espacio cociente subyacente, que no tiene por qué ser una variedad, sino también la de los subgrupos de isotropía .

Un${\displaystyle n}$El orbifold de dimensión -es un espacio topológico de Hausdorff${\displaystyle X}$, llamado espacio subyacente , con una cobertura por una colección de conjuntos abiertos${\displaystyle U_{i}}$, cerrado bajo intersección finita. Para cada${\displaystyle U_{i}}$, hay

• un subconjunto abierto${\displaystyle V_{i}}$de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, invariante bajo una acción lineal fiel de un grupo finito${\displaystyle \Gamma _{i}}$;
• un mapa continuo${\displaystyle \varphi _{i}}$de${\displaystyle V_{i}}$sobre${\displaystyle U_{i}}$invariante bajo${\displaystyle \Gamma _{i}}$, llamado carta orbifold , que define un homeomorfismo entre${\displaystyle V_{i}/\Gamma _{i}}$y${\displaystyle U_{i}}$.

La colección de cartas de orbifold se denomina atlas de orbifold si se cumplen las siguientes propiedades:

• por cada inclusión${\ Displaystyle U_ {i} \ subconjunto U_ {j}}$existe un homomorfismo de grupo inyectivo${\displaystyle f_{ij}:\Gamma _{i}\rightarrow \Gamma _{j}}$.
• por cada inclusión${\ Displaystyle U_ {i} \ subconjunto U_ {j}}$hay un${\displaystyle \Gamma _{i}}$- homeomorfismo equivariante${\displaystyle \psi _{ij}}$, llamado mapa de pegado , de${\displaystyle V_{i}}$en un subconjunto abierto de${\displaystyle V_{j}}$.
• Los mapas de pegado son compatibles con los gráficos, es decir${\displaystyle \varphi _{j}\circ \psi _{ij}=\varphi _{i}}$.
• Los mapas de pegado son únicos hasta la composición con elementos de grupo, es decir, cualquier otro mapa de pegado posible de${\displaystyle V_{i}}$a${\displaystyle V_{j}}$tiene la forma${\displaystyle g\circ \psi _{ij}}$para un único${\displaystyle g\in \Gamma _ {j}}$.

En cuanto a los atlas en variedades , dos atlas de orbifold de${\displaystyle X}$Son equivalentes si pueden combinarse de forma consistente para formar un atlas de orbifold mayor. Por lo tanto, una estructura de orbifold es una clase de equivalencia de atlas de orbifold.

Nótese que la estructura del orbifold determina el subgrupo de isotropía de cualquier punto del orbifold salvo isomorfismo: se puede calcular como el estabilizador del punto en cualquier carta de orbifold. Si U _i${\displaystyle \subset }$U _j${\displaystyle \subset }$U _k , entonces existe un único elemento de transición g _ijk en Γ _k tal que

g _ijk · ψ _ik = ψ _jk · ψ _ij

Estos elementos de transición satisfacen

(Ad g _ijk )· f _ik = f _jk · f _ij

así como la relación de cociclo (que garantiza la asociatividad)

f _km ( g _ijk )· g _ikm = g _ijm · g _jkm .

De manera más general, adjuntos a una cobertura abierta de un orbifold mediante cartas de orbifold, se encuentran los datos combinatorios de un llamado complejo de grupos (véase más abajo).

Al igual que en el caso de las variedades, se pueden imponer condiciones de diferenciabilidad a los mapas de pegado para definir un orbifold diferenciable . Será un orbifold riemanniano si, además, existen métricas riemannianas invariantes en las cartas del orbifold y los mapas de pegado son isometrías .

Recordemos que un grupoide consta de un conjunto de objetos.${\displaystyle G_{0}}$, un conjunto de flechas${\displaystyle G_{1}}$y mapas estructurales que incluyen los mapas de origen y destino.${\displaystyle s,t:G_{1}\to G_{0}}$y otros mapas que permiten componer e invertir flechas. Se denomina grupoide de Lie si ambos${\displaystyle G_{0}}$y${\displaystyle G_{1}}$son variedades suaves, todos los mapas estructurales son suaves, y tanto el mapa de origen como el de destino son inmersiones. La intersección de la fibra de origen y la de destino en un punto dado${\displaystyle x\in G_{0}}$, es decir, el conjunto${\displaystyle (G_{1})_{x}:=s^{-1}(x)\cap t^{-1}(x)}$, es el grupo de Lie llamado grupo de isotropía de${\displaystyle G_{1}}$en${\displaystyle x}$. Un grupoide de Lie se llama propio si el mapa${\displaystyle (s,t):G_{1}\to G_{0}\times G_{0}}$es un mapa propio , y étale si tanto el mapa de origen como el de destino son difeomorfismos locales .

Un grupoide orbifold viene dado por una de las siguientes definiciones equivalentes:

• un grupoide étale Lie propio;
• un grupoide de Lie propio cuyas isotropías son espacios discretos .

Dado que los grupos de isotropía de los grupoides propios son automáticamente compactos , la condición de discreción implica que las isotropías deben ser grupos finitos . ^{[ 10 ]}

Los grupoides de orbifold desempeñan el mismo papel que los atlas de orbifold en la definición anterior. De hecho, una estructura de orbifold en un espacio topológico de Hausdorff${\displaystyle X}$se define como la clase de equivalencia de Morita de un grupoide de orbifold.${\displaystyle G\rightrightarrows M}$junto con un homeomorfismo${\displaystyle |M/G|\simeq X}$, dónde${\displaystyle |M/G|}$es el espacio orbital del grupoide de Lie${\displaystyle G}$(es decir, el cociente de${\displaystyle M}$por la relación equivalente cuando${\displaystyle x\sim y}$si hay un${\displaystyle g\in G}$con${\displaystyle s(g)=x}$y${\displaystyle t(g)=y}$). Esta definición muestra que los orbifolds son un tipo particular de pila diferenciable .

Los orbifolds se pueden definir en el marco general de la difeología ^{[ 12 ]} y se ha demostrado que son equivalentes ^{[ 13 ]} a la definición original de Ichirô Satake : ^{[ 1 ]}

Definición: Un orbifold es un espacio difeológico localmente difeomorfo en cada punto a algún${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/G}$, dónde${\displaystyle n}$es un número entero y${\displaystyle G}$es un grupo lineal finito que puede cambiar de un punto a otro.

Esta definición hace algunas observaciones:

• Esta definición imita la definición de una variedad en difeología, que es un espacio difeológico localmente difeomorfo en cada punto.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.
• Un orbifold se considera primero como un espacio difeológico, un conjunto dotado de una difeología. Luego, se comprueba que la difeología sea localmente difeomorfa en cada punto a un cociente.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/G}$con${\displaystyle G}$un grupo lineal finito.
• Esta definición es equivalente ^{[ 14 ]} a las orbifolds de Haefliger. ^{[ 15 ]}
• {Orbifolds} constituye una subcategoría de la categoría {Diffeology} cuyos objetos son espacios difeológicos y morfismos suaves. Un mapa suave entre orbifolds es cualquier mapa que sea suave para sus difeologías. Esto resuelve, en el contexto de la definición de Satake, su observación: ^{[ 16 ]} " La noción de${\displaystyle C^{\infty }}$-el mapa así definido es inconveniente en el punto de que una composición de dos${\displaystyle C^{\infty }}$-map definido en una elección diferente de familias de definición no siempre es un${\displaystyle C^{\infty }}$-mapa. "De hecho, existen mapas suaves entre orbifolds que no se elevan localmente como mapas equivariantes. ^{[ 17 ]}

Cabe señalar que el grupo fundamental de un orbifold como espacio difeológico no es el mismo que el grupo fundamental definido anteriormente. Este último está relacionado con el grupoide estructural ^{[ 18 ]} y sus grupos de isotropía.

Un complejo de grupos ( Y , f , g ) sobre un complejo simplicial abstracto Y viene dado por

• un grupo finito Γ _σ para cada simplex σ de Y
• un homomorfismo inyectivo f _στ  : Γ _τ${\displaystyle \rightarrow }$Γ _σ siempre que σ${\displaystyle \subset }$τ
• para cada inclusión ρ${\displaystyle \subset }$σ${\displaystyle \subset }$τ, un elemento del grupo g _ρστ en Γ _ρ tal que (Ad g _ρστ )· f _ρτ = f _ρσ · f _στ (aquí Ad denota la acción adjunta por conjugación)

Los elementos del grupo deben además satisfacer la condición de cociclo.

f _{π ρ} ( g _ρστ ) g _πρτ = g _{π στ} g _{π ρσ}

por cada cadena de símplices${\displaystyle \pi \subset \rho \subset \sigma \subset \tau .}$(Esta condición es nula si Y tiene dimensión 2 o menos).

Cualquier elección de elementos h _στ en Γ _σ produce un complejo equivalente de grupos definiendo

• f' _στ = (Ad h _στ )· f _στ
• g' _ρστ = h _ρσ · f _ρσ ( h _στ )· g _ρστ · h _ρτ ⁻¹

Un complejo de grupos se denomina simple siempre que g _ρστ = 1 en todas partes.

• Un sencillo argumento inductivo muestra que todo complejo de grupos en un simplex es equivalente a un complejo de grupos con g _ρστ = 1 en todas partes.

A menudo resulta más conveniente y conceptualmente atractivo pasar a la subdivisión baricéntrica de Y. Los vértices de esta subdivisión corresponden a los símplices de Y , de modo que cada vértice tiene un grupo asociado. Las aristas de la subdivisión baricéntrica están orientadas naturalmente (correspondientes a inclusiones de símplices) y cada arista dirigida proporciona una inclusión de grupos. Cada triángulo tiene un elemento de transición asociado que pertenece al grupo de un solo vértice; y los tetraedros, si los hay, proporcionan relaciones de cociclo para los elementos de transición. Así, un complejo de grupos involucra solo el 3-esqueleto de la subdivisión baricéntrica; y solo el 2-esqueleto si es simple.

Si X es un orbifold (o orbiespacio), elija un recubrimiento por subconjuntos abiertos de entre las cartas de orbifold f _i : V _i${\displaystyle \rightarrow }$U _i . Sea Y el complejo simplicial abstracto dado por el nervio del recubrimiento : sus vértices son los conjuntos del recubrimiento y sus n- símplices corresponden a intersecciones no vacías U _α = U _{i 1}${\displaystyle \cap }$···${\displaystyle \cap }$U _{i n} . Para cada simplex de este tipo hay un grupo asociado Γ _α y los homomorfismos f _ij se convierten en los homomorfismos f _στ . Para cada triple ρ${\displaystyle \subset }$σ ${\displaystyle \subset }$τ correspondiente a las intersecciones

${\displaystyle U_{i}\supset U_{i}\cap U_{j}\supset U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}}$

Hay gráficos φ _i  : V _i${\displaystyle \rightarrow }$U _i , φ _ij  : V _ij${\displaystyle \rightarrow }$U _i${\displaystyle \cap }$U _j y φ _ijk  : V _ijk${\displaystyle \rightarrow }$U _i${\displaystyle \cap }$U _j${\displaystyle \cap }$U _k y pegando mapas ψ  : V _ij${\displaystyle \rightarrow }$V _i , ψ'  : V _ijk${\displaystyle \rightarrow }$V _ij y ψ"  : V _ijk${\displaystyle \rightarrow }$V _i .

Hay un único elemento de transición g _ρστ en Γ _i tal que g _ρστ · ψ " = ψ · ψ ′ . Las relaciones satisfechas por los elementos de transición de un orbifold implican las requeridas para un complejo de grupos. De esta manera, un complejo de grupos puede asociarse canónicamente al nervio de un recubrimiento abierto mediante cartas de orbifold (o orbispace). En el lenguaje de la teoría de haces no conmutativos y gerbes , el complejo de grupos en este caso surge como un haz de grupos asociado al recubrimiento U _i ; el dato g _{ρστ es un 2-cociclo en} la cohomología de haces no conmutativos y el dato h _στ da una perturbación de 2-coborde.

El grupo de caminos de aristas de un complejo de grupos se puede definir como una generalización natural del grupo de caminos de aristas de un complejo simplicial. En la subdivisión baricéntrica de Y , tomemos generadores e _ij correspondientes a aristas de i a j donde i${\displaystyle \rightarrow }$j , de modo que hay una inyección ψ _ij  : Γ _i${\displaystyle \rightarrow }$Γ _j . Sea Γ el grupo generado por los e _ij y Γ _k con relaciones

mi _ij ⁻¹ · gramo · mi _ij = ψ _ij ( gramo )

para g en Γ _i y

e _ik = e _jk · e _ij · g _ijk

si yo${\displaystyle \rightarrow }$j${\displaystyle \rightarrow }$k .

Para un vértice fijo i ₀ , el grupo de caminos de aristas Γ( i ₀ ) se define como el subgrupo de Γ generado por todos los productos

g ₀ · e _{i 0 i 1} · g ₁ · e _{i 1 i 2} · ··· · g _n · e _{i n i 0}

donde i ₀ , i ₁ , ..., i _n , i ₀ es un camino de arista, g _k está en Γ _{i k} y e _ji = e _ij ⁻¹ si i${\displaystyle \rightarrow }$j .

Se dice que una acción propia simplicial de un grupo discreto Γ sobre un complejo simplicial X con cociente finito es regular si satisface una de las siguientes condiciones equivalentes: ^{[ 9 ]}

• X admite un subcomplejo finito como dominio fundamental ;
• El cociente Y = X /Γ tiene una estructura simplicial natural;
• La estructura simplicial cociente en los representantes orbitales de los vértices es consistente;
• Si ( v ₀ , ..., v _k ) y ( g ₀ · v ₀ , ..., g _k · v _k ) son símplices, entonces g · v _i = g _i · v _i para algún g en Γ.

En este caso , el dominio fundamental y el cociente Y = X / Γ pueden identificarse naturalmente como complejos simpliciales, dados por los estabilizadores de los símplices en el dominio fundamental. Se dice que un complejo de grupos Y es desarrollable si surge de esta manera.

• Un complejo de grupos es desarrollable si y solo si los homomorfismos de Γ _σ en el grupo de caminos de aristas son inyectivos.
• Un complejo de grupos es desarrollable si y solo si para cada simplex σ hay un homomorfismo inyectivo θ _σ de Γ _σ en un grupo discreto fijo Γ tal que θ _τ · f _στ = θ _σ . En este caso, el complejo simplicial X se define canónicamente: tiene k -símplices (σ, xΓ _σ ) donde σ es un k -símplice de Y y x recorre Γ / Γ _σ . La consistencia se puede comprobar usando el hecho de que la restricción del complejo de grupos a un simplex es equivalente a uno con cociclo trivial g _ρστ .

La acción de Γ sobre la subdivisión baricéntrica X ' de X siempre satisface la siguiente condición, más débil que la regularidad:

• Siempre que σ y g ·σ sean subsímplices de algún símplice τ, son iguales, es decir, σ = g ·σ

En efecto, los símplices en X ' corresponden a cadenas de símplices en X , de modo que un subsímplice, dado por subcadenas de símplices, está determinado unívocamente por los tamaños de los símplices en la subcadena. Cuando una acción satisface esta condición, entonces g necesariamente fija todos los vértices de σ. Un argumento inductivo directo muestra que dicha acción se vuelve regular en la subdivisión baricéntrica; en particular

• La acción sobre la segunda subdivisión baricéntrica X " es regular;
• Γ es naturalmente isomorfo al grupo de caminos de aristas definido usando caminos de aristas y estabilizadores de vértices para la subdivisión baricéntrica del dominio fundamental en X ".

De hecho, no hay necesidad de pasar a una tercera subdivisión baricéntrica: como observa Haefliger utilizando el lenguaje de la teoría de categorías , en este caso el 3-esqueleto del dominio fundamental de X " ya contiene todos los datos necesarios, incluidos los elementos de transición para triángulos, para definir un grupo de caminos de aristas isomorfo a Γ.

En dos dimensiones esto es particularmente sencillo de describir. El dominio fundamental de X " tiene la misma estructura que la subdivisión baricéntrica Y ' de un complejo de grupos Y , a saber:

• un complejo simplicial bidimensional finito Z ;
• una orientación para todos los bordes i${\displaystyle \rightarrow }$j ;
• si yo${\displaystyle \rightarrow }$j y j${\displaystyle \rightarrow }$k son aristas, entonces i${\displaystyle \rightarrow }$k es una arista y ( i , j , k ) es un triángulo;
• grupos finitos unidos a vértices, inclusiones a aristas y elementos de transición, que describen compatibilidad, a triángulos.

A continuación , se puede definir un grupo de caminos de aristas. La subdivisión baricéntrica Z ' hereda una estructura similar y su grupo de caminos de aristas es isomorfo al de Z.

Sea X un complejo simplicial finito con subdivisión baricéntrica X '. Una estructura de orbiedro consta de:

• para cada vértice i de X ', un complejo simplicial L _i ' dotado de una acción simplicial rígida de un grupo finito Γ _i .
• un mapeo simplicial φ _i de L _i ' sobre el enlace L _i de i en X ', identificando el cociente L _i ' / Γ _i con L _i .

Esta acción de Γ _i sobre L _i ' se extiende a una acción simplicial sobre el cono simplicial C _i sobre L _i ' (la unión simplicial de i y L _i '), fijando el centro i del cono. El mapa φ _i se extiende a un mapa simplicial de C _i sobre la estrella St( i ) de i , llevando el centro a i ; así φ _i identifica C _i / Γ _i , el cociente de la estrella de i en C _i , con St( i ) y da un mapa orbiédrico en i .

• para cada arista dirigida i${\displaystyle \rightarrow }$j de X ', un homomorfismo inyectivo f _ij de Γ _i en Γ _j .
• para cada arista dirigida i${\displaystyle \rightarrow }$j , un mapa de pegado simplicial equivariante Γ _i ψ _ij de C _i en C _j .
• Los mapas de pegado son compatibles con los gráficos, es decir, φ _j ·ψ _ij = φ _i .
• Los mapas de pegado son únicos salvo composición con elementos de grupo, es decir, cualquier otro posible mapa de pegado de V _i a V _j tiene la forma g ·ψ _ij para un único g en Γ _j .

Si yo${\displaystyle \rightarrow }$j${\displaystyle \rightarrow }$k , entonces existe un único elemento de transición g _ijk en Γ _k tal que

g _ijk ·ψ _ik = ψ _jk ·ψ _ij

Estos elementos de transición satisfacen

(Ad g _ijk )· f _ik = f _jk · f _ij

así como la relación del cociclo

ψ _km ( g _ijk ) · g _ikm = g _ijm · g _jkm .

• Los datos teóricos de grupos de un orbiedro dan un complejo de grupos en X , porque los vértices i de la subdivisión baricéntrica X ' corresponden a los símplices en X.
• Cada complejo de grupos en X está asociado con una estructura de orbiedro esencialmente única en X. Este hecho clave se deduce al observar que la estrella y el enlace de un vértice i de X ', correspondientes a un simplex σ de X , tienen descomposiciones naturales: la estrella es isomorfa al complejo simplicial abstracto dado por la unión de σ y la subdivisión baricéntrica σ' de σ; y el enlace es isomorfo a la unión del enlace de σ en X y el enlace del baricentro de σ en σ'. Restringiendo el complejo de grupos al enlace de σ en X , todos los grupos Γ _τ vienen con homomorfismos inyectivos en Γ _σ . Dado que el enlace de i en X ' está cubierto canónicamente por un complejo simplicial sobre el cual actúa Γ _σ , esto define una estructura de orbiedro en X.
• El grupo fundamental del orbiedro es (tautológicamente) simplemente el grupo de caminos de aristas del complejo de grupos asociado.
• Todo orbiedro es también, naturalmente, un espacio orbital: de hecho, en la realización geométrica del complejo simplicial, los mapas de espacios orbitales pueden definirse utilizando los interiores de las estrellas.
• El grupo fundamental del orbiedro se puede identificar naturalmente con el grupo fundamental del orbiespacio asociado. Esto se deduce al aplicar el teorema de aproximación simplicial a segmentos de un camino de orbiespacio que se encuentran en una carta de orbiespacio: es una variante directa de la demostración clásica de que el grupo fundamental de un poliedro se puede identificar con su grupo de caminos de aristas .
• El espacio orbital asociado a un orbiedro posee una estructura métrica canónica , derivada localmente de la métrica de longitud en la realización geométrica estándar en el espacio euclidiano, con vértices mapeados a una base ortonormal. También se utilizan otras estructuras métricas, que involucran métricas de longitud obtenidas al realizar los símplices en el espacio hiperbólico , con símplices identificados isométricamente a lo largo de límites comunes.
• El espacio orbital asociado a un orbiedro es de curvatura no positiva si y solo si el enlace en cada carta orbital tiene una circunferencia mayor o igual a 6, es decir, cualquier circuito cerrado en el enlace tiene una longitud de al menos 6. Esta condición, bien conocida en la teoría de los espacios de Hadamard , depende únicamente del complejo de grupos subyacente.
• Cuando el orbiedro de recubrimiento universal no tiene curvatura positiva, el grupo fundamental es infinito y se genera mediante copias isomorfas de los grupos de isotropía. Esto se deduce del resultado correspondiente para los orbiespacios.

Sea α =${\displaystyle {\sqrt {-7}}}$sea ​​dada por la expansión binomial de (1  −  8) ^1/2 en Q ₂ y establezca K = Q ( α )${\displaystyle \subset }$P ₂ . Sea

ζ = exp 2 π i /7

λ = ( α − 1)/2 = ζ + ζ ² + ζ ⁴

μ = λ / λ *.

Sea E = Q ( ζ ), un espacio vectorial tridimensional sobre K con base 1, ζ , y ζ ² . Definamos los operadores lineales K en E de la siguiente manera:

• σ es el generador del grupo de Galois de E sobre K , un elemento de orden 3 dado por σ(ζ) = ζ ²
• τ es el operador de multiplicación por ζ en E , un elemento de orden 7.
• ρ es el operador dado por ρ ( ζ ) = 1, ρ ( ζ ² ) = ζ y ρ (1) = μ · ζ ² , de modo que ρ ³ es la multiplicación escalar por μ . 

Los elementos ρ , σ y τ generan un subgrupo discreto de GL ₃ ( K ) que actúa propiamente sobre el edificio afín de Bruhat-Tits correspondiente a SL ₃ ( Q ₂ ). Este grupo actúa transitivamente sobre todos los vértices, aristas y triángulos del edificio. Sea

σ ₁ = σ , σ ₂ = ρσρ ⁻¹ , σ ₃ = ρ ² σρ ⁻² .

Entonces

• σ ₁ , σ ₂ y σ ₃ generan un subgrupo Γ de SL ₃ ( K ).
• Γ es el subgrupo más pequeño generado por σ y τ , invariante bajo conjugación por ρ .
• Γ actúa simplemente de forma transitiva sobre los triángulos del edificio.
• Existe un triángulo Δ tal que el estabilizador de sus aristas son los subgrupos de orden 3 generados por los σ _i .
• El estabilizador de un vértice de Δ es el grupo de Frobenius de orden 21 generado por los dos elementos de orden 3 que estabilizan las aristas que se encuentran en el vértice.
• El estabilizador de Δ es trivial.

Los elementos σ y τ generan el estabilizador de un vértice. El enlace de este vértice se puede identificar con la construcción esférica de SL ₃ ( F ₂ ) y el estabilizador se puede identificar con el grupo de colineación del plano de Fano generado por una simetría triple σ fijando un punto y una permutación cíclica τ de los 7 puntos, que satisface στ = τ ² σ . Identificando F ₈ * con el plano de Fano, σ puede tomarse como la restricción del automorfismo de Frobenius σ ( x ) = x ²² de F ₈ y τ a ser la multiplicación por cualquier elemento que no esté en el cuerpo primo F ₂ , es decir, un generador de orden 7 del grupo multiplicativo cíclico de F ₈ . Este grupo de Frobenius actúa simplemente de forma transitiva sobre las 21 banderas en el plano de Fano, es decir, líneas con puntos marcados. Las fórmulas para σ y τ en E , por lo tanto, "eleva" las fórmulas en F ₈ .

Mumford también obtiene una acción simplemente transitiva sobre los vértices del edificio al pasar a un subgrupo de Γ ₁ = < ρ , σ , τ , − I >. El grupo Γ ₁ conserva la forma hermitiana con valores en Q ( α ).

f ( x , y ) = xy * + σ ( xy *) + σ ² ( xy *)

en Q (ζ) y puede identificarse con U ₃ (f)${\displaystyle \cap }$GL ₃ ( S ) donde S = Z [ α , ⁠ 1 / 2 ⁠ ]. Dado que S /( α ) = F ₇ , hay un homomorfismo del grupo Γ ₁ en GL ₃ ( F ₇ ). Esta acción deja invariante un subespacio 2-dimensional en F ₇ ³ y por lo tanto da lugar a un homomorfismo Ψ de Γ ₁ en SL ₂ ( F ₇ ), un grupo de orden 16·3·7. Por otro lado, el estabilizador de un vértice es un subgrupo de orden 21 y Ψ es inyectivo en este subgrupo. Por lo tanto, si el subgrupo de congruencia Γ ₀ se define como la imagen inversa bajo Ψ del subgrupo 2-Sylow de SL ₂ ( F ₇ ), la acción de Γ ₀ sobre los vértices debe ser simplemente transitiva.

Otros ejemplos de triángulos o complejos de grupos bidimensionales pueden construirse mediante variaciones del ejemplo anterior.

Cartwright et al. consideran acciones sobre edificios que son simplemente transitivas en vértices . Cada una de estas acciones produce una biyección (o dualidad modificada) entre los puntos x y las líneas x * en el complejo de banderas de un plano proyectivo finito y una colección de triángulos orientados de puntos ( x , y , z ), invariantes bajo permutación cíclica, tales que x está en z *, y está en x * y z está en y *, y cualesquiera dos puntos determinan unívocamente el tercero. Los grupos producidos tienen generadores x , etiquetados por puntos, y relaciones xyz = 1 para cada triángulo. Genéricamente, esta construcción no corresponderá a una acción sobre un edificio afín clásico.

De forma más general, como demostraron Ballmann y Brin, datos algebraicos similares codifican todas las acciones que son simplemente transitivas en los vértices de un complejo simplicial bidimensional de curvatura no positiva, siempre que el enlace de cada vértice tenga una circunferencia de al menos 6. Estos datos consisten en:

• un conjunto generador S que contiene inversos, pero no la identidad;
• un conjunto de relaciones g h k = 1, invariante bajo permutación cíclica.

Los elementos g en S etiquetan los vértices g · v en el enlace de un vértice fijo v ; y las relaciones corresponden a las aristas ( g ⁻¹ · v , h · v ) en ese enlace. El grafo con vértices S y aristas ( g , h ), para g ⁻¹ h en S , debe tener una circunferencia de al menos 6. El complejo simplicial original puede reconstruirse utilizando complejos de grupos y la segunda subdivisión baricéntrica.

Swiatkowski construyó otros ejemplos de complejos de grupos bidimensionales con curvatura no positiva basados ​​en acciones simplemente transitivas sobre aristas orientadas e induciendo una simetría triple en cada triángulo; en este caso también el complejo de grupos se obtiene a partir de la acción regular sobre la segunda subdivisión baricéntrica. El ejemplo más simple, descubierto anteriormente con Ballmann, parte de un grupo finito H con un conjunto simétrico de generadores S , que no contiene la identidad, de modo que el grafo de Cayley correspondiente tiene circunferencia de al menos 6. El grupo asociado está generado por H y una involución τ sujeta a (τg) ³ = 1 para cada g en S.

De hecho, si Γ actúa de esta manera, fijando una arista ( v , w ), hay una involución τ que intercambia v y w . El enlace de v está formado por vértices g · w para g en un subconjunto simétrico S de H = Γ _v , generando H si el enlace está conectado. La suposición sobre triángulos implica que

τ·( g · w ) = g ⁻¹ · w

para g en S. Por lo tanto, si σ = τ g y u = g ⁻¹ · w , entonces

σ( v ) = w , σ( w ) = tu , σ( u ) = w .

Por simple transitividad en el triángulo ( v , w , u ), se deduce que σ ³ = 1.

La segunda subdivisión baricéntrica da un complejo de grupos que consisten en singletons o pares de triángulos subdivididos baricéntricamente unidos por sus lados mayores: estos pares están indexados por el espacio cociente S /~ obtenido al identificar inversos en S . Los triángulos simples o "acoplados" están a su vez unidos por una "espina" común. Todos los estabilizadores de los símplices son triviales excepto para los dos vértices en los extremos de la espina, con estabilizadores H y <τ>, y los vértices restantes de los triángulos mayores, con estabilizador generado por un σ apropiado. Tres de los triángulos más pequeños en cada triángulo mayor contienen elementos de transición.

Cuando todos los elementos de S son involuciones, ninguno de los triángulos necesita ser duplicado. Si H se toma como el grupo diedral D ₇ de orden 14, generado por una involución a y un elemento b de orden 7 tal que

ab = b ⁻¹ a ,

Entonces H se genera mediante las 3 involuciones a , ab y ab ^5. El enlace de cada vértice viene dado por el grafo de Cayley correspondiente, por lo que es simplemente el grafo de Heawood bipartito , es decir, exactamente el mismo que en el edificio afín para SL ₃ ( Q ₂ ). Esta estructura de enlace implica que el complejo simplicial correspondiente es necesariamente un edificio euclidiano . Sin embargo, en la actualidad parece ser desconocido si alguno de estos tipos de acción puede realizarse de hecho en un edificio afín clásico: el grupo de Mumford Γ ₁ (módulo escalares) es solo simplemente transitivo en aristas, no en aristas orientadas.

En la teoría de cuerdas , el término "orbifold" tiene un significado ligeramente diferente. Para los matemáticos, un orbifold es una generalización de la noción de variedad que permite la presencia de puntos cuyo entorno es difeomorfo a un cociente de R ⁿ por un grupo finito, es decir, R ⁿ / Γ . En física, la noción de orbifold suele describir un objeto que puede escribirse globalmente como un espacio de órbitas M / G, donde M es una variedad (o una teoría) y G es un grupo de sus isometrías (o simetrías), no necesariamente todas. En la teoría de cuerdas, estas simetrías no tienen por qué tener una interpretación geométrica.

Una teoría cuántica de campos definida en un orbifold se vuelve singular cerca de los puntos fijos de G. Sin embargo, la teoría de cuerdas requiere que añadamos nuevas partes al espacio de Hilbert de cuerdas cerradas , concretamente los sectores retorcidos, donde los campos definidos en las cuerdas cerradas son periódicos salvo una acción de G. Por lo tanto, el orbifolding es un procedimiento general de la teoría de cuerdas para derivar una nueva teoría de cuerdas a partir de una teoría de cuerdas antigua en la que los elementos de G se han identificado con la identidad. Este procedimiento reduce el número de estados porque estos deben ser invariantes bajo G , pero también lo aumenta debido a los sectores retorcidos adicionales. El resultado suele ser una nueva teoría de cuerdas perfectamente lisa.

Las D-branas que se propagan en los orbifolds se describen, a bajas energías, mediante teorías de gauge definidas por los diagramas de carcaj . Las cuerdas abiertas unidas a estas D-branas no tienen sector retorcido, por lo que el número de estados de cuerda abierta se reduce mediante el procedimiento de orbifolding.

Más específicamente, cuando el grupo de orbifold G es un subgrupo discreto de isometrías del espaciotiempo, entonces si no tiene un punto fijo, el resultado suele ser un espacio liso compacto; el sector retorcido consiste en cuerdas cerradas enrolladas alrededor de la dimensión compacta, que se denominan estados de enrollamiento .

Cuando el grupo orbifold G es un subgrupo discreto de isometrías espaciotemporales y posee puntos fijos, estos suelen tener singularidades cónicas , ya que R ⁿ / Z _k tiene dicha singularidad en el punto fijo de Z _k . En la teoría de cuerdas, las singularidades gravitacionales suelen ser un signo de grados de libertad adicionales ubicados en un punto del espaciotiempo. En el caso del orbifold, estos grados de libertad son los estados retorcidos, que son cuerdas "atascadas" en los puntos fijos. Cuando los campos relacionados con estos estados retorcidos adquieren un valor esperado de vacío distinto de cero , la singularidad se deforma, es decir, la métrica cambia y se vuelve regular en este punto y a su alrededor. Un ejemplo de la geometría resultante es el espaciotiempo de Eguchi-Hanson .

Desde el punto de vista de las D-branas en la vecindad de los puntos fijos, la teoría efectiva de las cuerdas abiertas unidas a estas D-branas es una teoría de campos supersimétrica, cuyo espacio de vacíos tiene un punto singular, donde existen grados de libertad adicionales sin masa. Los campos relacionados con el sector retorcido de cuerdas cerradas se acoplan a las cuerdas abiertas de tal manera que añaden un término de Fayet-Iliopoulos al lagrangiano de la teoría de campos supersimétrica, de modo que cuando dicho campo adquiere un valor esperado de vacío distinto de cero , el término de Fayet-Iliopoulos es distinto de cero y, por lo tanto, deforma la teoría (es decir, la cambia) de manera que la singularidad ya no existe.,.

Más allá de sus múltiples y diversas aplicaciones en matemáticas y física, los orbifolds se han aplicado a la teoría musical al menos desde 1985 en el trabajo de Guerino Mazzola ^{[ 26 ] [ 27 ]} y posteriormente por Dmitri Tymoczko y colaboradores. ^{[ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ]} Uno de los artículos de Tymoczko fue el primer artículo de teoría musical publicado por la revista Science . ^{[ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]} Mazzola y Tymoczko han participado en debates sobre sus teorías, documentados en una serie de comentarios disponibles en sus respectivos sitios web. ^{[ 35 ] [ 36 ]}

Tymoczko modela los acordes musicales compuestos por n notas, que no son necesariamente distintas, como puntos en el orbifold.${\displaystyle T^{n}/S_{n}}$– el espacio de n puntos no ordenados (no necesariamente distintos) en el círculo, realizado como el cociente del n - toro${\displaystyle T^{n}}$(el espacio de n puntos ordenados en el círculo) por el grupo simétrico${\displaystyle S_{n}}$(correspondiente al paso de un conjunto ordenado a un conjunto no ordenado).

Musicalmente, esto se explica de la siguiente manera:

• Los tonos musicales dependen de la frecuencia (tono) de su fundamental y, por lo tanto, están parametrizados por los números reales positivos, R ⁺ .
• Los tonos musicales que difieren en una octava (una duplicación de la frecuencia) se consideran el mismo tono; esto corresponde a tomar el logaritmo en base 2 de las frecuencias (dando como resultado los números reales, como${\displaystyle \mathbf {R} =\log _{2}\mathbf {R} ^{+}}$), luego cociente por los enteros (que corresponden a diferir en algún número de octavas), lo que produce un círculo (como${\displaystyle S^{1}=\mathbf {R} /\mathbf {Z} }$).
• Los acordes corresponden a múltiples tonos sin respetar el orden; por lo tanto, las notas t (con orden) corresponden a t puntos ordenados en el círculo, o equivalentemente a un solo punto en el toroide t.${\displaystyle T^{t}:=S^{1}\times \cdots \times S^{1},}$y omitir el orden corresponde a tomar el cociente por${\displaystyle S_{t},}$generando un orbifold.

Para díadas (dos tonos), esto produce la cinta de Möbius cerrada ; para tríadas (tres tonos), esto produce un orbifold que puede describirse como un prisma triangular con las caras triangulares superior e inferior identificadas con una torsión de 120° (una torsión de 1/3 ) – equivalentemente, como un toro sólido en 3 dimensiones con una sección transversal de un triángulo equilátero y dicha torsión.

El orbifold resultante está estratificado naturalmente por tonos repetidos (propiamente, por particiones enteras de t ) – el conjunto abierto consta de tonos distintos (la partición${\displaystyle t=1+1+\cdots +1}$), mientras que hay un conjunto singular unidimensional que consiste en todos los tonos iguales (la partición${\displaystyle t=t}$), que topológicamente es un círculo, y varias particiones intermedias. También hay un círculo notable que pasa por el centro del conjunto abierto formado por puntos igualmente espaciados. En el caso de las tríadas, las tres caras laterales del prisma corresponden a dos tonos iguales y el tercero diferente (la partición${\displaystyle 3=2+1}$), mientras que las tres aristas del prisma corresponden al conjunto singular unidimensional. Las caras superior e inferior forman parte del conjunto abierto y solo aparecen porque el orbifold ha sido cortado; si se considera como un toro triangular con una torsión, estos artefactos desaparecen.

Tymoczko argumenta que los acordes cercanos al centro (con tonos espaciados de forma igual o casi igual) forman la base de gran parte de la armonía occidental tradicional, y que visualizarlos de esta manera ayuda en el análisis. Hay 4 acordes en el centro (espaciados de forma igual bajo el temperamento igual : espaciado de 4/4/4 entre tonos), que corresponden a las tríadas aumentadas (pensadas como conjuntos musicales ) C♯FA, DF♯A♯, D♯GB y EG♯C (luego se repiten: FAC♯ = C♯FA), con los 12 acordes mayores y los 12 acordes menores como puntos adyacentes pero no en el centro: espaciados de forma casi uniforme pero no del todo. Los acordes mayores corresponden a un espaciado de 4/3/5 (o equivalentemente, 5/4/3), mientras que los acordes menores corresponden a un espaciado de 3/4/5. Los cambios clave corresponden entonces al movimiento entre estos puntos en el orbifold, mientras que los cambios más suaves se producen por el movimiento entre puntos cercanos.