Anillo de formas modulares

En matemáticas, el anillo de formas modulares asociado a un subgrupo Γ del grupo lineal especial SL(2, Z ) es el anillo graduado generado por las formas modulares de Γ . El estudio de los anillos de formas modulares describe la estructura algebraica del espacio de formas modulares.

Sea Γ un subgrupo de SL(2, Z ) que es de índice finito y sea M _k (Γ) el espacio vectorial de formas modulares de peso k . El anillo de formas modulares de Γ es el anillo graduado . ^[1]${\textstyle M(\Gamma )=\bigoplus _ {k\geq 0}M_{k}(\Gamma )}$

El anillo de formas modulares del grupo modular completo SL(2, Z ) se genera libremente mediante las series de Eisenstein E ₄ y E ₆ . En otras palabras, M _k (Γ) es isomorfo como un -álgebra a , que es el anillo polinomial de dos variables sobre los números complejos . ^[1]${\displaystyle \mathbb {C}}$${\displaystyle \mathbb {C}[E_{4},E_{6}]}$

El anillo de formas modulares es un álgebra de Lie graduada ya que el corchete de Lie de las formas modulares f y g de pesos respectivos k y ℓ es una forma modular de peso k + ℓ + 2 . ^[1] Se puede definir un corchete para la derivada n -ésima de las formas modulares y dicho corchete se denomina corchete de Rankin-Cohen . ^[1]${\displaystyle [f,g]=kfg'-\ell f'g}$

En 1973, Pierre Deligne y Michael Rapoport demostraron que el anillo de formas modulares M(Γ) se genera finitamente cuando Γ es un subgrupo de congruencia de SL(2, Z ) . ^[2]

En 2003, Lev Borisov y Paul Gunnells demostraron que el anillo de formas modulares M(Γ) se genera en peso como máximo 3 cuando es el subgrupo de congruencia del nivel primo N en SL(2, Z ) utilizando la teoría de formas modulares tóricas . ^[3] En 2014, Nadim Rustom extendió el resultado de Borisov y Gunnells para a todos los niveles N y también demostró que el anillo de formas modulares para el subgrupo de congruencia se genera en peso como máximo 6 para algunos niveles N . ^[4]${\estilo de visualización \Gamma}$${\displaystyle \Gamma _{1}(N)}$${\displaystyle \Gamma _{1}(N)}$${\displaystyle \Gamma _{0}(N)}$

En 2015, John Voight y David Zureick-Brown generalizaron estos resultados: demostraron que el anillo graduado de formas modulares de peso par para cualquier subgrupo de congruencia Γ de SL(2, Z ) se genera en peso como máximo 6 con relaciones generadas en peso como máximo 12. ^[5] Sobre la base de este trabajo, en 2016, Aaron Landesman, Peter Ruhm y Robin Zhang demostraron que los mismos límites se cumplen para el anillo completo (todos los pesos), con los límites mejorados de 5 y 10 cuando Γ tiene alguna forma modular de peso impar distinto de cero. ^[6]

Un grupo fuchsiano Γ corresponde al orbifold obtenido a partir del cociente del semiplano superior . Por una generalización apilada del teorema de existencia de Riemann , existe una correspondencia entre el anillo de formas modulares de Γ y un anillo de sección particular estrechamente relacionado con el anillo canónico de una curva apilada . ^[5]${\displaystyle \Gamma \barra invertida \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {H}}$

Existe una fórmula general para los pesos de los generadores y las relaciones de los anillos de formas modulares debido al trabajo de Voight y Zureick-Brown y al trabajo de Landesman, Ruhm y Zhang. Sean los órdenes estabilizadores de los puntos apilados de la curva apilada (equivalentemente, las cúspides del orbifold ) asociados a Γ . Si Γ no tiene formas modulares de peso impar distinto de cero, entonces el anillo de formas modulares se genera en peso como máximo y tiene relaciones generadas en peso como máximo . ^[5] Si Γ tiene una forma modular de peso impar distinto de cero, entonces el anillo de formas modulares se genera en peso como máximo y tiene relaciones generadas en peso como máximo . ^[6]$Estilo de visualización e_i$${\displaystyle \Gamma \barra invertida \mathbb {H} }$${\displaystyle 6\max(1,e_{1},e_{2},\ldots ,e_{r})}$${\displaystyle 12\max(1,e_{1},e_{2},\ldots ,e_{r})}$${\displaystyle \max(5,e_{1},e_{2},\ldots ,e_{r})}$${\displaystyle 2\max(5,e_{1},e_{2},\ldots ,e_{r})}$

En la teoría de cuerdas y la teoría de gauge supersimétrica , la estructura algebraica del anillo de formas modulares se puede utilizar para estudiar la estructura de los vacíos de Higgs de las teorías de gauge de cuatro dimensiones con supersimetría N = 1. ^[7] Los estabilizadores de superpotenciales en la teoría de Yang-Mills supersimétrica N = 4 son anillos de formas modulares del subgrupo de congruencia Γ(2) de SL(2, Z ) . ^{[7] [8]}