Superpotencial

En física teórica , el superpotencial es una función de la mecánica cuántica supersimétrica . Dado un superpotencial, se derivan dos "potenciales asociados" que pueden funcionar como potenciales en la ecuación de Schrödinger . Estos potenciales asociados tienen el mismo espectro , salvo un posible autovalor cero, lo que significa que los sistemas físicos representados por ambos potenciales tienen las mismas energías características, excepto por un posible estado fundamental de energía cero.

Consideremos una partícula unidimensional no relativista con un grado de libertad interno de dos estados llamado " espín ". (Esta no es la noción habitual de espín que se encuentra en la mecánica cuántica no relativista, porque el espín "real" se aplica solo a partículas en el espacio tridimensional ). Sean b y su adjunto hermitiano b ^† operadores que transforman una partícula de "espín hacia arriba" en una partícula de "espín hacia abajo" y viceversa, respectivamente. Además, tomemos b y b ^† normalizados de tal manera que el anticonmutador { b , b ^† } sea igual a 1, y tomemos que b ² sea igual a 0. Sea p el momento de la partícula y x su posición con [ x , p ]=i, donde usamos unidades naturales de modo que${\displaystyle \hbar =1}$. Sea W (el superpotencial) una función diferenciable arbitraria de x y definamos los operadores supersimétricos Q ₁ y Q ₂ como

${\displaystyle Q_{1}={\frac {1}{2}}\left[(p-iW)b+(p+iW)b^{\dagger }\right]}$

${\displaystyle Q_{2}={\frac {i}{2}}\left[(p-iW)b-(p+iW)b^{\dagger }\right]}$

Los operadores Q ₁ y Q ₂ son autoadjuntos. Sea el hamiltoniano

${\displaystyle H=\{Q_{1},Q_{1}\}=\{Q_{2},Q_{2}\}={\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {W^{2}}{2}}+{\frac {W'}{2}}(bb^{\dagger }-b^{\dagger }b)}$

donde W' denota la derivada de W. También observe que { Q ₁ , Q ₂ }=0. En estas circunstancias, el sistema anterior es un modelo de juguete de supersimetría N =2. Los estados de espín hacia abajo y hacia arriba se denominan a menudo estados " bosónicos " y " fermiónicos ", respectivamente, en analogía con la teoría cuántica de campos . Con estas definiciones, Q ₁ y Q ₂ mapean estados "bosónicos" en estados "fermiónicos" y viceversa. Restringirse a los sectores bosónicos o fermiónicos da dos potenciales asociados determinados por

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {W^{2}}{2}}\pm {\frac {W'}{2}}}$

En las teorías cuánticas de campos supersimétricas con cuatro dimensiones espaciotemporales , que podrían tener alguna conexión con la naturaleza, resulta que los campos escalares surgen como el componente más bajo de un supercampo quiral , que tiende automáticamente a ser de valor complejo. Podemos identificar el conjugado complejo de un supercampo quiral como un supercampo antiquiral. Hay dos maneras posibles de obtener una acción a partir de un conjunto de supercampos:

• Integrar un supercampo en todo el superespacio abarcado por${\displaystyle x_{0,1,2,3}}$y${\displaystyle \theta ,{\bar {\theta }}}$,

o

• Integrar un supercampo quiral en la mitad quiral de un superespacio, abarcado por${\displaystyle x_{0,1,2,3}}$y${\displaystyle \theta }$, no en${\displaystyle {\bar {\theta }}}$.

La segunda opción nos dice que una función holomorfa arbitraria de un conjunto de supercampos quirales puede aparecer como un término en un lagrangiano que es invariante bajo supersimetría. En este contexto, holomorfa significa que la función solo puede depender de los supercampos quirales, no de sus conjugados complejos. Podemos llamar a dicha función W , el superpotencial. El hecho de que W sea holomorfa en los supercampos quirales ayuda a explicar por qué las teorías supersimétricas son relativamente manejables, ya que permite usar potentes herramientas matemáticas del análisis complejo . De hecho, se sabe que W no recibe correcciones perturbativas, un resultado conocido como el teorema de no renormalización perturbativa . Nótese que los procesos no perturbativos pueden corregir esto, por ejemplo, a través de contribuciones a las funciones beta debidas a instantones .

• superpotencial de Komar

• Stephen P. Martin, Una introducción a la supersimetría . arXiv : hep-ph/9709356 .
• B. Mielnik y O. Rosas-Ortiz, "Factorización: ¿algoritmo pequeño o grande?", J. Phys. A: Math. Gen. 37: 10007-10035, 2004
• Cooper, Fred; Khare, Avinash; Sukhatme, Uday (1995). "Mecánica cuántica supersimétrica". Physics Reports . 251 (5): 267– 385. arXiv : hep-th/9405029 . Bibcode : 1995PhR...251..267C . doi : 10.1016/0370-1573(94)00080-M .