CUSUM

En el control estadístico de calidad , el CUSUM (o gráfico de control de suma acumulativa ) es una técnica de análisis secuencial desarrollada por ES Page de la Universidad de Cambridge . Se utiliza típicamente para la detección de cambios . ^{[ 1 ]} El CUSUM se anunció en Biometrika en 1954, pocos años después de la publicación de la prueba de razón de probabilidad secuencial (SPRT) de Wald . ^{[ 2 ]}

Page se refería a un "número de calidad".${\displaystyle \theta }$Con esto se refería a un parámetro de la distribución de probabilidad ; por ejemplo, la media . Ideó CUSUM como un método para determinar cambios en ella y propuso un criterio para decidir cuándo tomar medidas correctivas. Cuando el método CUSUM se aplica a cambios en la media, puede utilizarse para la detección de cambios bruscos en una serie temporal .

Unos años más tarde, George Alfred Barnard desarrolló un método de visualización, el gráfico de máscara en V, para detectar tanto aumentos como disminuciones en${\displaystyle \theta }$. ^{[ 3 ]}

Como su nombre lo indica, CUSUM implica el cálculo de una suma acumulativa (que es lo que lo hace "secuencial"). Muestras de un proceso${\displaystyle x_{n}}$se les asignan pesos${\displaystyle \omega _{n}}$y resumido de la siguiente manera:

${\displaystyle S_{0}=0}$

${\displaystyle S_{n+1}=\max(0,S_{n}+x_{n+1}-\omega _{n})}$

Cuando el valor de S supera un umbral determinado, se detecta un cambio. La fórmula anterior solo detecta cambios positivos. Si también se necesitan detectar cambios negativos, se debe usar la operación de mínimo en lugar de la de máximo, y en este caso se detecta un cambio cuando el valor de S es inferior al umbral (negativo).

Page no dijo explícitamente que${\displaystyle \omega }$representa la función de verosimilitud , pero este es un uso común.

Esto difiere de SPRT al usar siempre la función cero como la "barrera de retención" inferior en lugar de una "barrera de retención" inferior real. ^{[ 1 ]} Además, CUSUM no requiere el uso de la función de verosimilitud.

Como medio para evaluar el rendimiento de CUSUM, Page definió la métrica de longitud media de ejecución (ARL) ; "el número esperado de artículos muestreados antes de que se tome una medida". Además escribió: ^{[ 2 ]}

Cuando la calidad de la producción es satisfactoria, el ARL es una medida del gasto incurrido por el sistema cuando genera falsas alarmas, es decir, errores de tipo I ( Neyman y Pearson , 1936 ^{[ 4 ]} ). Por otro lado, para una calidad deficiente constante, el ARL mide el retraso y, por lo tanto, la cantidad de desperdicio producido antes de que se tomen las medidas correctivas, es decir, errores de tipo II .

El siguiente ejemplo muestra 20 observaciones.${\displaystyle X}$de un proceso con una media de 0 y una desviación estándar de 0,5.

Desde${\displaystyle Z}$columna, se puede ver que${\displaystyle X}$nunca se desvía por 3 desviaciones estándar (${\displaystyle 3\sigma }$), por lo que simplemente alertar sobre una desviación alta no detectará una falla, mientras que CUSUM muestra que la${\displaystyle S_{H}}$El valor supera 4 en la observación número 17.

dónde${\displaystyle \omega }$es un parámetro de nivel crítico (ajustable, igual que el umbral T) que se utiliza para ajustar la sensibilidad de la detección de cambios: mayor${\displaystyle \omega }$hace que CUSUM sea menos sensible al cambio y viceversa.

Los gráficos acumulativos observados menos esperados ^{[ 1 ]} son ​​un método relacionado.

• Michèle Basseville e Igor V. Nikiforov (abril de 1993). Detección de cambios abruptos: teoría y aplicación . Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. ISBN 0-13-126780-9.
• Mishra, S., Vanli, OA y Park, C. (2015). "Un método de suma acumulativa multivariante para el monitoreo continuo de daños con sensores de ondas de Lamb" , International Journal of Prognostics and Health Management , ISSN 2153-2648 . 

• "Manual de estadística para ingeniería - Gráficos de control Cusum"