Prueba de razón de probabilidad secuencial

La prueba de razón de probabilidad secuencial (SPRT) es una prueba de hipótesis secuencial específica , desarrollada por Abraham Wald ^{[ 1 ]} y posteriormente probada como óptima por Wald y Jacob Wolfowitz ^{[ 2 ]} . El resultado de Neyman y Pearson de 1933 inspiró a Wald a reformularla como un problema de análisis secuencial. El lema de Neyman-Pearson, por el contrario, ofrece una regla práctica para cuando se han recopilado todos los datos (y se conoce su razón de verosimilitud).

Aunque originalmente se desarrolló para su uso en estudios de control de calidad en el ámbito de la fabricación, el SPRT se ha formulado para su uso en pruebas computarizadas de examinados humanos como criterio de terminación. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

Al igual que en las pruebas de hipótesis clásicas , SPRT comienza con un par de hipótesis, por ejemplo:${\displaystyle H_{0}}$y${\displaystyle H_{1}}$para la hipótesis nula y la hipótesis alternativa respectivamente. Deben especificarse de la siguiente manera:

${\displaystyle H_{0}:p=p_{0}}$

${\displaystyle H_{1}:p=p_{1}}$

El siguiente paso es calcular la suma acumulada de la razón de verosimilitud logarítmica ,${\displaystyle \log \Lambda _ {i}}$, a medida que llegan nuevos datos: con${\displaystyle S_{0}=0}$, entonces, para${\displaystyle i}$=1,2,...,

${\displaystyle S_{i}=S_{i-1}+\log \Lambda _{i}}$

La regla de parada es un esquema de umbral simple:

• ${\displaystyle a<S_{i}<b}$: continuar el seguimiento ( desigualdad crítica )
• ${\displaystyle S_{i}\geq b}$: Aceptar${\displaystyle H_{1}}$
• ${\displaystyle S_{i}\leq a}$: Aceptar${\displaystyle H_{0}}$

dónde${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$(${\displaystyle a<0<b<\infty }$) dependen de los errores de tipo I y tipo II deseados ,${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$Pueden elegirse de la siguiente manera:

${\displaystyle a\approx \log {\frac {\beta }{1-\alpha }}}$y${\displaystyle b\approx \log {\frac {1-\beta }{\alpha }}}$

En otras palabras,${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$Es necesario decidirlo de antemano para establecer los umbrales adecuadamente. El valor numérico dependerá de la aplicación. La razón por la que se trata solo de una aproximación es que, en el caso discreto, la señal puede cruzar el umbral entre muestras. Por lo tanto, dependiendo de la penalización por cometer un error y la frecuencia de muestreo , se podrían establecer umbrales más estrictos. Los límites exactos son correctos en el caso continuo.

Un ejemplo clásico es la estimación de parámetros de una función de distribución de probabilidad . Consideremos la distribución exponencial :

${\displaystyle f_{\theta }(x)=\theta ^{-1}e^{-{\frac {x}{\theta }}},\qquad x,\theta >0}$

Las hipótesis son

${\displaystyle {\begin{cases}H_{0}:\theta =\theta _{0}\\H_{1}:\theta =\theta _{1}\end{cases}}\qquad \theta _{1}>\theta _{0}.}$

Entonces, la función de verosimilitud logarítmica (LLF) para una muestra es

${\displaystyle {\begin{aligned}\log \Lambda (x)&=\log \left({\frac {\theta _{1}^{-1}e^{-{\frac {x}{\theta _{1}}}}}{\theta _{0}^{-1}e^{-{\frac {x}{\theta _{0}}}}}}\right)\\&=\log \left({\frac {\theta _{0}}{\theta _{1}}}e^{{\frac {x}{\theta _{0}}}-{\frac {x}{\theta _{1}}}}\right)\\&=\log \left({\frac {\theta _{0}}{\theta _{1}}}\right)+\log \left(e^{{\frac {x}{\theta _{0}}}-{\frac {x}{\theta _{1}}}}\right)\\&=-\log \left({\frac {\theta _{1}}{\theta _{0}}}\right)+\left({\frac {x}{\theta _{0}}}-{\frac {x}{\theta _{1}}}\right)\\&=-\log \left({\frac {\theta _{1}}{\theta _{0}}}\right)+\left({\frac {\theta _{1}-\theta _{0}}{\theta _{0}\theta _{1}}}\right)x\end{aligned}}}$

La suma acumulativa de las LLF para todos los x es

${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}\log \Lambda (x_{i})=-n\log \left({\frac {\theta _{1}}{\theta _{0}}}\right)+\left({\frac {\theta _{1}-\theta _{0}}{\theta _{0}\theta _{1}}}\right)\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$

Por consiguiente, la regla de parada es:

${\displaystyle a<-n\log \left({\frac {\theta _{1}}{\theta _{0}}}\right)+\left({\frac {\theta _{1}-\theta _{0}}{\theta _{0}\theta _{1}}}\right)\sum _{i=1}^{n}x_{i}<b}$

Después de reorganizar finalmente encontramos

${\displaystyle a+n\log \left({\frac {\theta _{1}}{\theta _{0}}}\right)<\left({\frac {\theta _{1}-\theta _{0}}{\theta _{0}\theta _{1}}}\right)\sum _{i=1}^{n}x_{i}<b+n\log \left({\frac {\theta _{1}}{\theta _{0}}}\right)}$

Los umbrales son simplemente dos líneas paralelas con pendiente${\displaystyle \log(\theta _{1}/\theta _{0})}$El muestreo debe detenerse cuando la suma de las muestras se salga de la región de muestreo continuo .

• CUSUM
• Prueba de clasificación computarizada
• Prueba de Wald
• Prueba de razón de verosimilitud

• Ghosh, Bhaskar Kumar (1970). Pruebas secuenciales de hipótesis estadísticas . Lectura: Addison-Wesley .
• Holger Wilker: Sequential-Statistik in der Praxis , BoD, Norderstedt 2012, ISBN 978-3848232529.

• Prueba de razón de probabilidad secuencial de Wald para R por Stéphane Bottine
• Prueba de razón de probabilidad secuencial de Wald para Python por Zhenning Yu