Coherencia (procesamiento de señales)

En el procesamiento de señales , la coherencia es una estadística que permite examinar la relación entre dos señales o conjuntos de datos . Se utiliza comúnmente para estimar la transferencia de potencia entre la entrada y la salida de un sistema lineal . Si las señales son ergódicas y la función del sistema es lineal , puede emplearse para estimar la causalidad entre la entrada y la salida.

La coherencia (a veces llamada coherencia de magnitud al cuadrado ) entre dos señales x(t) e y(t) es una función de valor real que se define como: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle C_{xy}(f)={\frac {|G_{xy}(f)|^{2}}{G_{xx}(f)G_{yy}(f)}}}$

donde G _xy (f) es la densidad espectral cruzada entre x e y, y G _xx (f) y G _yy (f) son las autodensidades espectrales de x e y, respectivamente. La magnitud de la densidad espectral se denota como |G|. Dadas las restricciones mencionadas anteriormente (ergodicidad, linealidad), la función de coherencia estima hasta qué punto y(t) puede predecirse a partir de x(t) mediante una función óptima de mínimos cuadrados lineales .

Los valores de coherencia siempre satisfarán${\displaystyle 0\leq C_{xy}(f)\leq 1}$Para un sistema lineal ideal de parámetros constantes con una sola entrada x(t) y una sola salida y(t), la coherencia será igual a uno. Para comprobarlo, consideremos un sistema lineal con una respuesta impulsional h(t) definida como:${\displaystyle y(t)=h(t)*x(t)}$, dónde${\displaystyle *}$denota convolución . En el dominio de Fourier esta ecuación se convierte en${\displaystyle Y(f)=H(f)X(f)}$donde Y(f) es la transformada de Fourier de y(t) y H(f) es la función de transferencia del sistema lineal . Dado que, para un sistema lineal ideal:${\displaystyle G_{yy}=|H(f)|^{2}G_{xx}(f)}$y${\displaystyle G_{xy}=H(f)G_{xx}(f)}$y desde entonces${\displaystyle G_{xx}(f)}$es real, se cumple la siguiente identidad,

${\displaystyle C_{xy}(f)={\frac {|H(f)G_{xx}(f)|^{2}}{G_{xx}(f)G_{yy}(f)}}={\frac {|H(f)G_{xx}(f)|^{2}}{G_{xx}^{2}(f)|H(f)|^{2}}}={\frac {|G_{xx}(f)|^{2}}{G_{xx}^{2}(f)}}=1}$.

Sin embargo, en el mundo físico rara vez se realiza un sistema lineal ideal, el ruido es un componente inherente de la medición del sistema, y ​​es probable que un sistema lineal de una sola entrada y una sola salida sea insuficiente para capturar la dinámica completa del sistema. En los casos en que las suposiciones del sistema lineal ideal son insuficientes, la desigualdad de Cauchy-Schwarz garantiza un valor de${\displaystyle C_{xy}\leq 1}$.

Si C _xy es menor que uno pero mayor que cero, indica que: hay ruido en las mediciones, la función supuesta que relaciona x(t) e y(t) no es lineal, o y(t) produce una salida debido a la entrada x(t) y a otras entradas. Si la coherencia es igual a cero, indica que x(t) e y(t) no tienen ninguna relación, dadas las restricciones mencionadas anteriormente.

La coherencia de un sistema lineal representa, por lo tanto, la parte fraccionaria de la potencia de la señal de salida que es producida por la entrada a esa frecuencia. También podemos ver la cantidad${\displaystyle 1-C_{xy}}$como una estimación de la potencia fraccional de la salida que no es aportada por la entrada en una frecuencia particular. Esto lleva naturalmente a la definición del espectro de salida no coherente:

${\displaystyle G_{vv}=\left(1-C_{xy}\right)G_{yy}}$

${\displaystyle G_{vv}}$Proporciona una cuantificación espectral de la potencia de salida que no está correlacionada con el ruido externo ni con otras entradas conocidas. Esta magnitud puede utilizarse como una estimación del ruido inherente (de proceso) de un sistema, que puede ser lineal o no lineal.

Aquí ilustramos el cálculo de la coherencia (denotada como${\displaystyle \gamma ^{2}}$) como se muestra en la figura 1. Consideremos las dos señales que se muestran en la parte inferior de la figura 2. Parece existir una estrecha relación entre los niveles de agua superficial del océano y los niveles de agua subterránea. También es evidente que la presión barométrica influye tanto en los niveles de agua del océano como en los niveles de agua subterránea.

La figura 3 muestra la densidad autoespectral del nivel del agua del océano durante un largo período de tiempo.

Como era de esperar, la mayor parte de la energía se concentra en las conocidas frecuencias de marea . Asimismo, la densidad autoespectral de los niveles de los pozos de agua subterránea se muestra en la figura 4.

Es evidente que la variación de los niveles freáticos tiene una influencia significativa en las frecuencias de las mareas oceánicas. Para estimar el grado de influencia de los niveles superficiales del océano sobre los niveles freáticos, calculamos la coherencia entre ellos. Supongamos que existe una relación lineal entre la altura de la superficie del océano y los niveles freáticos. Además, suponemos que la altura de la superficie del océano controla los niveles freáticos, por lo que tomamos la altura de la superficie del océano como variable de entrada y la altura del pozo de agua subterránea como variable de salida.

La coherencia calculada (figura 1) indica que, en la mayoría de las frecuencias de mareas oceánicas principales, la variación del nivel freático en este sitio en particular supera el 90 % debido a la influencia de las mareas. Sin embargo, es necesario tener precaución al atribuir causalidad. Si la relación ( función de transferencia ) entre la entrada y la salida no es lineal , los valores de coherencia pueden ser erróneos. Otro error común es asumir una relación causal entrada/salida entre las variables observadas, cuando en realidad el mecanismo causal no está incluido en el modelo del sistema. Por ejemplo, es evidente que la presión barométrica atmosférica induce una variación tanto en los niveles de agua del océano como en los niveles freáticos, pero la presión barométrica no se incluye en el modelo del sistema como variable de entrada. También hemos asumido que los niveles de agua del océano impulsan o controlan los niveles freáticos. En realidad, es una combinación de la influencia hidrológica de los niveles de agua del océano y el potencial de marea lo que impulsa tanto las señales de entrada como de salida observadas. Además, el ruido introducido durante el proceso de medición o por el procesamiento de la señal espectral puede contribuir a la coherencia o corromperla.

Si las señales no son estacionarias (y, por lo tanto, no son ergódicas ), las formulaciones anteriores podrían no ser apropiadas. Para este tipo de señales, el concepto de coherencia se ha ampliado utilizando el concepto de distribuciones tiempo-frecuencia para representar las variaciones espectrales dependientes del tiempo de las señales no estacionarias, en lugar de los espectros tradicionales. Para más detalles, véase ^{[ 3 ].}

La coherencia se ha utilizado para medir la conectividad funcional dinámica en redes cerebrales. Los estudios muestran que la coherencia entre diferentes regiones cerebrales puede cambiar durante diferentes estados mentales o perceptivos. ^{[ 4 ]} La coherencia cerebral durante el estado de reposo puede verse afectada por trastornos y enfermedades. ^{[ 5 ]}

• bicoherencia
• Correlación escalada
• correlación cruzada normalizada