Proceso ergódico

En física , estadística , econometría y procesamiento de señales , se dice que un proceso estocástico está en régimen ergódico si el promedio de conjunto de una observable es igual al promedio temporal. ^{[ 1 ]} En este régimen, cualquier conjunto de muestras aleatorias de un proceso debe representar las propiedades estadísticas promedio de todo el régimen. ^{[ 2 ]} Un régimen implica una ventana temporal de un proceso en la que se aplica la medida de ergodicidad.

Un proceso estacionario en sentido amplio${\displaystyle X(t)}$tiene media constante

${\displaystyle \mu _{X}=E[X(t)],}$

y autocovarianza

${\displaystyle r_{X}(\tau )=E[(X(t)-\mu _{X})(X(t+\tau )-\mu _{X})],}$

Eso depende únicamente del retardo. ${\displaystyle \tau }$y no a tiempo${\displaystyle t}$Las propiedades${\displaystyle \mu _{X}}$y${\displaystyle r_{X}(\tau )}$ son promedios de conjunto (calculados sobre todas las funciones de muestra posibles)${\displaystyle X}$), no promedios de tiempo .

El proceso${\displaystyle X(t)}$Se dice que es ergódico en media ^{[ 3 ]} o ergódico en media cuadrática en el primer momento ^{[ 4 ]} si la estimación promedio del tiempo

${\displaystyle {\hat {\mu }}_{X}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}X(t)\,dt}$

converge en media cuadrática al promedio del conjunto${\displaystyle \mu _{X}}$ como${\displaystyle T\rightarrow \infty }$.

Asimismo, se dice que el proceso es autocovariante-ergódico o d momento ^{[ 4 ]} si la estimación promedio del tiempo

${\displaystyle {\hat {r}}_{X}(\tau )={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}[X(t+\tau )-\mu _{X}][X(t)-\mu _{X}]\,dt}$

converge en media cuadrática al promedio del conjunto${\displaystyle r_{X}(\tau )}$, como${\displaystyle T\rightarrow \infty }$. Un proceso que es ergódico en la media y la autocovarianza a veces se denomina ergódico en sentido amplio .

La noción de ergodicidad también se aplica a los procesos aleatorios de tiempo discreto. ${\displaystyle X[n]}$para entero${\displaystyle n}$.

Un proceso aleatorio de tiempo discreto${\displaystyle X[n]}$es ergódico en media si

${\displaystyle {\hat {\mu }}_{X}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}X[n]}$

converge en media cuadrática al promedio del conjunto${\displaystyle E[X]}$, como${\displaystyle N\rightarrow \infty }$.

La ergodicidad implica que el promedio del conjunto es igual al promedio temporal. A continuación se presentan ejemplos para ilustrar este principio.

• Un paseo aleatorio insesgado no es ergódico. Su valor esperado es cero en todo momento, mientras que su promedio temporal es una variable aleatoria con varianza divergente.

• Supongamos que tenemos dos monedas: una es justa y la otra tiene dos caras. Elegimos (aleatoriamente) una de las monedas primero y luego realizamos una secuencia de lanzamientos independientes de la moneda seleccionada. Sea X [ n ] el resultado del n -ésimo lanzamiento, con 1 para cara y 0 para cruz. Entonces , el promedio del conjunto es 1/2(1/2 + 1) = 3/4; sin embargo, el promedio a largo plazo es 1/2 para la moneda justa y 1 para la moneda de dos caras . Por lo tanto , el promedio temporal a largo plazo es 1/2 o 1. En consecuencia, este proceso aleatorio no es ergódico en media.

• Hipótesis ergódica
• Ergodicidad
• Teoría ergódica , una rama de las matemáticas que se ocupa de una formulación más general de la ergodicidad.
• La paradoja de Loschmidt
• Teorema de recurrencia de Poincaré

• Porat, B. (1994). Procesamiento digital de señales aleatorias: teoría y métodos . Prentice Hall. pág.  14. ISBN 0-13-063751-3.
• Papoulis, Athanasios (1991). Probabilidad, variables aleatorias y procesos estocásticos . Nueva York: McGraw-Hill. págs. 427–442 . ISBN  0-07-048477-5.