Retraso distribuido

En estadística y econometría , un modelo de rezago distribuido es un modelo para datos de series temporales en el que se utiliza una ecuación de regresión para predecir los valores actuales de una variable dependiente basándose tanto en los valores actuales de una variable explicativa como en los valores rezagados (del período anterior) de esta variable explicativa. ^{[1] [2]}

El punto de partida de un modelo de rezago distribuido es una estructura asumida de la forma

${\displaystyle y_{t}=a+w_{0}x_{t}+w_{1}x_{t-1}+w_{2}x_{t-2}+...+{\text{error term}}}$

o la forma

${\displaystyle y_{t}=a+w_{0}x_{t}+w_{1}x_{t-1}+w_{2}x_{t-2}+...+w_{n}x_{t-n}+{\text{error term}},}$

donde y _t es el valor en el periodo de tiempo t de la variable dependiente y , a es el término de intersección que se va a estimar, y w _i se llama el peso de rezago (también a estimar) colocado en el valor i periodos anteriores de la variable explicativa x . En la primera ecuación, se supone que la variable dependiente se ve afectada por valores de la variable independiente arbitrariamente lejanos en el pasado, por lo que el número de pesos de rezago es infinito y el modelo se llama modelo de rezago distribuido infinito . En la segunda ecuación alternativa, solo hay un número finito de pesos de rezago, lo que indica un supuesto de que hay un rezago máximo más allá del cual los valores de la variable independiente no afectan a la variable dependiente; un modelo basado en este supuesto se llama modelo de rezago distribuido finito .

En un modelo de rezago distribuido infinito, es necesario estimar un número infinito de ponderaciones de rezago; claramente, esto sólo se puede hacer si se supone alguna estructura para la relación entre las diversas ponderaciones de rezago, con toda la infinitud de ellas expresable en términos de un número finito de parámetros subyacentes supuestos. En un modelo de rezago distribuido finito, los parámetros podrían estimarse directamente mediante mínimos cuadrados ordinarios (suponiendo que el número de puntos de datos excede suficientemente el número de ponderaciones de rezago); sin embargo, dicha estimación puede arrojar resultados muy imprecisos debido a la multicolinealidad extrema entre los diversos valores rezagados de la variable independiente, por lo que nuevamente puede ser necesario suponer alguna estructura para la relación entre las diversas ponderaciones de rezago.

El concepto de modelos de rezago distribuido se generaliza fácilmente al contexto de más de una variable explicativa del lado derecho.

La forma más sencilla de estimar los parámetros asociados a los rezagos distribuidos es mediante el método de mínimos cuadrados ordinarios , suponiendo un rezago máximo fijo , suponiendo que los errores se distribuyen de forma independiente e idéntica y sin imponer ninguna estructura a la relación de los coeficientes de los explicadores rezagados entre sí. Sin embargo, a menudo surge multicolinealidad entre los explicadores rezagados, lo que conduce a una alta varianza de las estimaciones de los coeficientes. ${\displaystyle p}$

Los modelos de rezagos distribuidos estructurados son de dos tipos: finitos e infinitos. Los rezagos distribuidos infinitos permiten que el valor de la variable independiente en un momento determinado influya en la variable dependiente infinitamente en el futuro, o, dicho de otro modo, permiten que el valor actual de la variable dependiente se vea influido por los valores de la variable independiente que se produjeron hace un tiempo infinito; pero más allá de una cierta longitud de rezago, los efectos se reducen gradualmente hasta llegar a cero. Los rezagos distribuidos finitos permiten que la variable independiente en un momento determinado influya en la variable dependiente solo durante un número finito de períodos.

El modelo de rezago distribuido finito estructurado más importante es el modelo de rezago de Almon . ^[3] Este modelo permite que los datos determinen la forma de la estructura de rezago, pero el investigador debe especificar la longitud máxima de rezago; una longitud máxima de rezago especificada incorrectamente puede distorsionar la forma de la estructura de rezago estimada, así como el efecto acumulativo de la variable independiente. El rezago de Almon supone que k + 1 pesos de rezago están relacionados con n + 1 parámetros subyacentes estimables linealmente ( n < k ) a _j de acuerdo con

${\displaystyle w_{i}=\sum _{j=0}^{n}a_{j}i^{j}}$

para${\displaystyle i=0,\dots ,k.}$

El tipo más común de modelo de rezago distribuido infinito estructurado es el rezago geométrico , también conocido como rezago de Koyck . En esta estructura de rezago, los pesos (magnitudes de influencia) de los valores de la variable independiente rezagados disminuyen exponencialmente con la longitud del rezago; mientras que la forma de la estructura de rezago está totalmente impuesta por la elección de esta técnica, la tasa de disminución, así como la magnitud general del efecto, están determinadas por los datos. La especificación de la ecuación de regresión es muy sencilla: se incluyen como explicadores (variables del lado derecho en la regresión) el valor rezagado de un período de la variable dependiente y el valor actual de la variable independiente:

${\displaystyle y_{t}=a+\lambda y_{t-1}+bx_{t}+{\text{error term}},}$

donde . En este modelo, el efecto de corto plazo (mismo período) de un cambio de unidad en la variable independiente es el valor de b , mientras que se puede demostrar que el efecto de largo plazo (acumulativo) de un cambio de unidad sostenido en la variable independiente es ${\displaystyle 0\leq \lambda <1}$

${\displaystyle b+\lambda b+\lambda ^{2}b+...=b/(1-\lambda ).}$

Se han propuesto otros modelos de retardo distribuido infinito para permitir que los datos determinen la forma de la estructura del retardo. El retardo inverso polinomial ^{[4] [5]} supone que los pesos del retardo están relacionados con parámetros subyacentes, estimables linealmente, a _j de acuerdo con

${\displaystyle w_{i}=\sum _{j=2}^{n}{\frac {a_{j}}{(i+1)^{j}}},}$

para${\displaystyle i=0,\dots ,\infty .}$

El rezago de combinación geométrica ^[6] supone que los pesos de los rezagos están relacionados con parámetros subyacentes estimables linealmente a _j de acuerdo con cualquiera de los dos

${\displaystyle w_{i}=\sum _{j=2}^{n}a_{j}(1/j)^{i},}$

para o ${\displaystyle i=0,\dots ,\infty }$

${\displaystyle w_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}[j/(n+1)]^{i},}$

para${\displaystyle i=0,\dots ,\infty .}$

El rezago gamma ^[7] y el rezago racional ^[8] son ​​otras estructuras de rezago distribuidas infinitas.

Los modelos de retardo distribuido fueron introducidos en los estudios relacionados con la salud en 2002 por Zanobetti y Schwartz. ^[9] La versión bayesiana del modelo fue sugerida por Welty en 2007. ^[10] Gasparrini introdujo modelos estadísticos más flexibles en 2010 ^[11] que son capaces de describir dimensiones temporales adicionales de la relación exposición-respuesta, y desarrolló una familia de modelos no lineales de retardo distribuido (DLNM), un marco de modelado que puede representar simultáneamente dependencias no lineales de exposición-respuesta y efectos retardados. ^[12]

El concepto de modelo de retardo distribuido fue aplicado por primera vez a la investigación de cohorte longitudinal por Hsu en 2015, ^[13] estudiando la relación entre PM2.5 y asma infantil , y un método de retardo distribuido más complicado destinado a acomodar el análisis de investigación de cohorte longitudinal como el Modelo de Interacción de Retardo Distribuido Bayesiano ^[14] de Wilson se han desarrollado posteriormente para responder preguntas de investigación similares.

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