Modelo autorregresivo de media móvil

La notación AR( p ) se refiere al modelo autorregresivo de orden p . El modelo AR( p ) se escribe como

${\displaystyle X_{t}=\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{ti}+\varepsilon _{t}}$

dónde${\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{p}}$son parámetros y la variable aleatoria${\displaystyle \varepsilon _ {t}}$es ruido blanco , generalmente variables aleatorias normales independientes e idénticamente distribuidas (iid) . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Para que el modelo permanezca estacionario , las raíces de su polinomio característico deben estar fuera del círculo unitario. Por ejemplo, los procesos en el modelo AR(1) con${\displaystyle |\varphi _ {1}|\geq 1}$no son estacionarios porque la raíz de${\displaystyle 1-\varphi _{1}B=0}$se encuentra dentro del círculo unitario. ^{[ 3 ]}

La prueba de Dickey-Fuller aumentada permite evaluar la estabilidad de una función de modo intrínseco y de los componentes de tendencia. Para series temporales estacionarias, se pueden utilizar los modelos ARMA, mientras que para series no estacionarias, se pueden emplear modelos de memoria a corto y largo plazo (LSTM) para derivar características abstractas. El valor final se obtiene reconstruyendo los resultados previstos de cada serie temporal.

La notación MA( q ) se refiere al modelo de media móvil de orden q :

${\displaystyle X_{t}=\mu +\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{ti}\,}$

donde el${\displaystyle \theta _{1},...,\theta _{q}}$son los parámetros del modelo,${\displaystyle \mu }$es la expectativa de${\displaystyle X_{t}}$(a menudo se supone que es igual a 0), y${\displaystyle \varepsilon _{1}}$, ...,${\displaystyle \varepsilon _ {t}}$son términos de error de ruido blanco i.i.d. que comúnmente son variables aleatorias normales. ^{[ 4 ]}

La notación ARMA( p , q ) se refiere al modelo con p términos autorregresivos y q términos de media móvil. Este modelo contiene los modelos AR( p ) y MA( q ), ^{[ 5 ]}

${\displaystyle X_{t}=\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{ti}+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{ti}.\,}$

En algunos textos, los modelos se especifican utilizando el operador de retardo L. En estos términos, el modelo AR( p ) viene dado por

${\displaystyle \varepsilon _{t}=\left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}=\varphi (L)X_{t}\,}$

dónde${\displaystyle \varphi }$representa el polinomio

${\displaystyle \varphi (L)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}.\,}$

El modelo MA( q ) viene dado por

${\displaystyle X_{t}-\mu =\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}=\theta (L)\varepsilon _{t},\,}$

dónde${\displaystyle \theta }$representa el polinomio

${\displaystyle \theta (L)=1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}.\,}$

Finalmente, el modelo ARMA( p , q ) combinado viene dado por

${\displaystyle \left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}\,,}$

o más concisamente,

${\displaystyle \varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}\,}$

o

${\displaystyle {\frac {\varphi (L)}{\theta (L)}}X_{t}=\varepsilon _{t}\,.}$

Este es el formulario utilizado en Box , Jenkins y Reinsel. ^{[ 6 ]}

Además, comenzando con sumas desde ${\displaystyle i=0}$y configuración${\displaystyle \phi _{0}=-1}$y${\displaystyle \theta _{0}=1}$, entonces obtenemos una formulación aún más elegante:${\displaystyle -\sum _{i=0}^{p}\phi _{i}L^{i}\;X_{t}=\sum _{i=0}^{q}\theta _{i}L^{i}\;\varepsilon _{t}\,.}$

Un valor apropiado de p en el modelo ARMA( p , q ) se puede encontrar graficando las funciones de autocorrelación parcial . De manera similar, q se puede estimar usando las funciones de autocorrelación . Tanto p como q se pueden determinar simultáneamente usando funciones de autocorrelación extendidas (EACF). ^{[ 9 ]} Se puede obtener información adicional considerando las mismas funciones para los residuos de un modelo ajustado con una selección inicial de p y q .

Brockwell y Davis recomiendan utilizar el criterio de información de Akaike (AIC) para encontrar p y q . ^{[ 10 ]} Otra opción es el criterio de información bayesiano (BIC).

Tras seleccionar p y q, los modelos ARMA pueden ajustarse mediante regresión por mínimos cuadrados para hallar los valores de los parámetros que minimizan el término de error. Es recomendable encontrar los valores mínimos de p y q que proporcionen un ajuste aceptable a los datos. Para un modelo AR puro, se pueden utilizar las ecuaciones de Yule-Walker para obtener un ajuste.

Los resultados de ARMA se utilizan principalmente para pronosticar (predecir), y no para inferir causalidad como en otras áreas de la econometría y métodos de regresión como MCO y MCO en dos etapas.

• En R , el paquete estándar statstiene la función arima, documentada en ARIMA Modelling of Time Series . El paquete astsatiene un script mejorado llamado sarimapara ajustar modelos ARMA (estacionales y no estacionales) y sarima.simpara simular datos a partir de estos modelos. Los paquetes de extensión contienen funcionalidad relacionada y extendida: el paquete tseriesincluye la función arma(), documentada en "Fit ARMA Models to Time Series" ; el paquete fracdiffcontiene fracdiff()para procesos ARMA integrados fraccionalmente; y el paquete forecastincluye auto.arimapara seleccionar un conjunto parsimonioso de p, q . La vista de tareas de CRAN sobre series temporales contiene enlaces a la mayoría de estos.
• Mathematica cuenta con una biblioteca completa de funciones de series temporales, incluyendo ARMA. ^{[ 11 ]}
• MATLAB incluye funciones como armay para estimar modelos autorregresivos, autorregresivos exógenos y ARMAX. Consulte arSystem Identification Toolbox y Econometrics Toolbox para obtener más detalles.arx
• Julia cuenta con paquetes impulsados ​​por la comunidad que implementan el ajuste con un modelo ARMA como arma.jl.
• Python cuenta con el paquete statsmodelsS , que incluye numerosos modelos y funciones para el análisis de series temporales, entre ellos ARMA. Anteriormente formaba parte de la biblioteca scikit-learn , pero ahora es independiente y se integra perfectamente con Pandas .
• PyFlux cuenta con una implementación en Python de los modelos ARIMAX, incluidos los modelos ARIMAX bayesianos.
• Las bibliotecas numéricas de IMSL son bibliotecas de funcionalidades de análisis numérico que incluyen procedimientos ARMA y ARIMA implementados en lenguajes de programación estándar como C, Java, C# .NET y Fortran.
• gretl puede estimar modelos ARMA, como se menciona aquí.
• El paquete adicional de GNU Octaveoctave-forge admite modelos de realidad aumentada.
• Stata incluye la función arima. para modelos ARMA y ARIMA .
• SuanShu es una biblioteca Java de métodos numéricos que implementa modelos ARMA, ARIMA, ARMAX, etc., univariados/multivariados, documentados en "SuanShu, una biblioteca numérica y estadística Java" .
• SAS cuenta con un paquete econométrico, ETS, que estima modelos ARIMA. Ver detalles .

La notación ARMAX( p , q , b ) se refiere a un modelo con p términos autorregresivos, q términos de media móvil y b términos de entradas exógenas. El último término es una combinación lineal de los últimos b términos de una serie temporal conocida y externa.${\displaystyle d_{t}}$Se da mediante:

${\displaystyle X_{t}=\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{t-i}+\sum _{i=1}^{b}\eta _{i}d_{t-i}.\,}$

dónde${\displaystyle \eta _{1},\ldots ,\eta _{b}}$son los parámetros de la entrada exógena${\displaystyle d_{t}}$.

Se han definido algunas variantes no lineales de modelos con variables exógenas: véase, por ejemplo, el modelo autorregresivo exógeno no lineal .

Los paquetes estadísticos implementan el modelo ARMAX mediante el uso de variables "exógenas" (es decir, independientes). Se debe tener cuidado al interpretar la salida de esos paquetes, porque los parámetros estimados generalmente (por ejemplo, en R ^{[ 15 ]} y gretl ) se refieren a la regresión:

${\displaystyle X_{t}-m_{t}=\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}(X_{t-i}-m_{t-i})+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{t-i}.\,}$

dónde${\displaystyle m_{t}}$incorpora todas las variables exógenas (o independientes):

${\displaystyle m_{t}=c+\sum _{i=0}^{b}\eta _{i}d_{t-i}.\,}$