operador de retardo

En el análisis de series temporales , el operador de retardo (L) o el operador de desplazamiento hacia atrás (B) opera sobre un elemento de una serie temporal para producir el elemento anterior. Por ejemplo, dada una serie temporal

${\displaystyle X=\{X_{1},X_{2},\dots \}}$

entonces

${\displaystyle LX_{t}=X_{t-1}}$a pesar de${\displaystyle t>1}$

o de forma similar en términos del operador de retroceso B :${\displaystyle BX_{t}=X_{t-1}}$a pesar de${\displaystyle t>1}$. De forma equivalente, esta definición puede representarse como

${\displaystyle X_{t}=LX_{t+1}}$a pesar de${\displaystyle t\geq 1}$

El operador de retardo (así como el operador de retroceso) se puede elevar a potencias enteras arbitrarias de modo que

${\displaystyle L^{-1}X_{t}=X_{t+1}}$

y

${\displaystyle L^{k}X_{t}=X_{tk}.}$

Se pueden utilizar polinomios del operador de retardo, y esta es una notación común para los modelos ARMA (media móvil autorregresiva). Por ejemplo,

${\displaystyle \varepsilon _{t}=X_{t}-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{ti}=\left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}}$

especifica un modelo AR( p ).

Un polinomio de operadores de retardo se llama polinomio de retardo, de modo que, por ejemplo, el modelo ARMA se puede especificar de forma concisa como

${\displaystyle \varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}}$

dónde${\displaystyle \varphi (L)}$y${\displaystyle \theta (L)}$respectivamente representan los polinomios de retardo

${\displaystyle \varphi (L)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}}$

y

${\displaystyle \theta (L)=1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}.\,}$

Los polinomios de operadores de retardo siguen reglas de multiplicación y división similares a las de los números y polinomios de variables. Por ejemplo,

${\displaystyle X_{t}={\frac {\theta (L)}{\varphi (L)}}\varepsilon _{t},}$

significa lo mismo que

${\displaystyle \varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}.}$

Al igual que con los polinomios de variables, un polinomio en el operador de retardo se puede dividir entre otro mediante la división larga de polinomios . En general, al dividir un polinomio de este tipo entre otro, cuando cada uno tiene un orden finito (exponente máximo), se obtiene un polinomio de orden infinito.

Un operador aniquilador , denotado${\displaystyle [\ ]_{+}}$, elimina las entradas del polinomio con potencia negativa (valores futuros).

Tenga en cuenta que${\displaystyle \varphi \left(1\right)}$ denota la suma de los coeficientes:

${\displaystyle \varphi \left(1\right)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}}$

En el análisis de series temporales, el operador de primera diferencia  :${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta X_{t}&=X_{t}-X_{t-1}\\\Delta X_{t}&=(1-L)X_{t}~.\end{aligned}}}$

De forma similar, el segundo operador de diferencia funciona de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (\Delta X_{t})&=\Delta X_{t}-\Delta X_{t-1}\\\Delta ^{2}X_{t}&=(1-L)\Delta X_{t}\\\Delta ^{2}X_{t}&=(1-L)(1-L)X_{t}\\\Delta ^{2}X_{t}&=(1-L)^{2}X_{t}~.\end{aligned}}}$

El enfoque anterior se generaliza al operador de diferencia i -ésimo.${\displaystyle \Delta ^{i}X_{t}=(1-L)^{i}X_{t}\ .}$

En los procesos estocásticos es común preocuparse por el valor esperado de una variable dado un conjunto de información previo.${\displaystyle \Omega _{t}}$Sea toda la información que es de conocimiento común en el tiempo t (esto a menudo se subíndice debajo del operador de expectativa); entonces el valor esperado de la realización de X , j pasos de tiempo en el futuro, se puede escribir de manera equivalente como:

${\displaystyle E[X_{t+j}|\Omega _{t}]=E_{t}[X_{t+j}].}$

Con estas expectativas condicionales dependientes del tiempo, es necesario distinguir entre el operador de retroceso ( B ) que solo ajusta la fecha de la variable pronosticada y el operador de retardo ( L ) que ajusta por igual la fecha de la variable pronosticada y el conjunto de información:

${\displaystyle L^{n}E_{t}[X_{t+j}]=E_{tn}[X_{t+jn}],}$

${\displaystyle B^{n}E_{t}[X_{t+j}]=E_{t}[X_{t+j-n}].}$

• Modelo autorregresivo
• Modelo autorregresivo de media móvil
• modelo de media móvil
• Operador de turno
• Transformación Z

• Hamilton, James Douglas (1994). Análisis de series temporales . Princeton University Press. ISBN 0-691-04289-6.
• Verbeek, Marno (2008). Guía de econometría moderna . John Wiley and Sons. ISBN 0-470-51769-7.
• Weisstein, Eric. "Wolfram MathWorld" . WolframMathworld: Operador de diferencia . Wolfram Research . Consultado el 10 de noviembre de 2017 .
• Box, George EP; Jenkins, Gwilym M.; Reinsel, Gregory C.; Ljung, Greta M. (2016). Análisis de series temporales: pronóstico y control (5.ª  ed.). Nueva Jersey: Wiley. ISBN 978-1-118-67502-1.