Media móvil fraccionalmente integrada autorregresiva

En estadística , los modelos autorregresivos de media móvil integrada fraccionaria son modelos de series temporales que generalizan los modelos ARIMA ( modelos autorregresivos de media móvil integrada ) al permitir valores no enteros del parámetro de diferenciación . Estos modelos son útiles para modelar series temporales con memoria larga , es decir, en las que las desviaciones de la media a largo plazo disminuyen más lentamente que una disminución exponencial . A menudo se utilizan los acrónimos "ARFIMA" o "FARIMA", aunque también es convencional extender la notación "ARIMA( p , d , q )" para los modelos, permitiendo simplemente que el orden de diferenciación, d , tome valores fraccionarios. La diferenciación fraccionaria y el modelo ARFIMA fueron introducidos a principios de la década de 1980 por Clive Granger , Roselyne Joyeux y Jonathan Hosking. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

En un modelo ARIMA , la parte integrada del modelo incluye el operador de diferenciación (1 − B ) (donde B es el operador de retroceso ) elevado a una potencia entera. Por ejemplo,

${\displaystyle (1-B)^{2}=1-2B+B^{2}\,,}$

dónde

${\displaystyle B^{2}X_{t}=X_{t-2}\,,}$

de modo que

${\displaystyle (1-B)^{2}X_{t}=X_{t}-2X_{t-1}+X_{t-2}.}$

En un modelo fraccional , se permite que la potencia sea fraccional, y el significado del término se identifica mediante la siguiente expansión formal en serie binomial.

${\displaystyle {\begin{aligned}(1-B)^{d}&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{d \choose k}\;(-B)^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{\frac {\prod _{a=0}^{k-1}(da)\ (-B)^{k}}{k!}}\\&=1-dB+{\frac {d(d-1)}{2!}}B^{2}-\cdots \,.\end{aligned}}}$

El modelo autorregresivo fraccionalmente integrado más simple, ARFIMA(0, d , 0), es, en notación estándar,

${\displaystyle (1-B)^{d}X_{t}=\varepsilon _{t},}$

donde esto tiene la interpretación

${\displaystyle X_{t}-dX_{t-1}+{\frac {d(d-1)}{2!}}X_{t-2}-\cdots =\varepsilon _{t}.}$

ARFIMA(0, d , 0) es similar al ruido gaussiano fraccional (fGn): con d = H − 1 ⁄ 2 , sus covarianzas tienen la misma ley de decaimiento de potencia. La ventaja de fGn sobre ARFIMA(0, d ,0) es que muchas relaciones asintóticas se cumplen para muestras finitas. ^{[ 4 ]} La ventaja de ARFIMA(0, d ,0) sobre fGn es que tiene una densidad espectral especialmente simple . $${\displaystyle f(\lambda )={\frac {1}{2\pi }}\left(2\sin \left({\frac {\lambda }{2}}\right)\right)^{-2d}}$$

—y es un caso particular de ARFIMA( p , d , q ), que es una familia versátil de modelos. ^{[ 4 ]}

Un modelo ARFIMA comparte la misma forma de representación que el proceso ARIMA ( p , d , q ), específicamente:

${\displaystyle \left(1-\sum _{i=1}^{p}\phi _{i}B^{i}\right)\left(1-B\right)^{d}X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}B^{i}\right)\varepsilon _{t}\,.}$

A diferencia del proceso ARIMA ordinario, el "parámetro de diferencia", d , puede tomar valores no enteros.

La mejora a los modelos ARMA ordinarios es la siguiente:

1. Toma la serie de datos original y aplícale un filtro de paso alto con diferenciación fraccionaria suficiente para que el resultado sea estacionario. Recuerda el orden d de esta diferencia fraccionaria, que suele estar entre 0 y 1, e incluso puede llegar a 2 o más en casos más extremos. La diferencia fraccionaria de 2 es la segunda derivada o segunda diferencia.
   • Nota: aplicar la diferencia fraccionaria cambia las unidades del problema. Si comenzamos con precios y luego aplicamos la diferencia fraccionaria, ya no estaremos en unidades de precio.
   • Determinar el orden de diferenciación para que una serie temporal sea estacionaria puede ser un proceso iterativo y exploratorio.
2. Calcule los términos ARMA simples mediante los métodos habituales para ajustarlos a este conjunto de datos temporales estacionarios que está en unidades sustitutas.
3. Realice pronósticos basándose en datos existentes (pronóstico estático) o "adelante" (pronóstico dinámico, hacia el futuro) con estos términos ARMA.
4. Aplique la operación de filtro inverso ( integración fraccionaria al mismo nivel d que en el paso 1) a la serie pronosticada, para devolver el pronóstico a las unidades del problema original (por ejemplo, convierta las unidades sustitutas de nuevo en Precio).
   • La diferenciación fraccionaria y la integración fraccionaria son la misma operación con valores opuestos de d: por ejemplo, la diferencia fraccionaria de una serie temporal a d = 0,5 se puede invertir (integrar) aplicando la misma operación de diferenciación fraccionaria (de nuevo) pero con la fracción d = -0,5. Véase la función fracdiff de GRETL .

El objetivo del prefiltrado es reducir las bajas frecuencias en el conjunto de datos, que pueden causar no estacionariedades en los datos, las cuales los modelos ARMA no pueden manejar bien (o en absoluto)... pero solo lo suficiente para que las reducciones puedan recuperarse después de que se construya el modelo.

La diferenciación fraccionaria y la operación inversa, la integración fraccionaria (ambas direcciones se utilizan en el proceso de modelado y pronóstico ARFIMA), pueden considerarse operaciones de filtrado y "desfiltrado" digital. Por lo tanto, es útil estudiar la respuesta en frecuencia de dichos filtros para saber qué frecuencias se conservan y cuáles se atenúan o descartan. ^{[ 5 ]}

Tenga en cuenta que cualquier filtrado que sustituya a la diferenciación fraccionaria y la integración en este modelo AR(FI)MA debe ser igualmente invertible que la diferenciación y la integración (suma) para evitar la pérdida de información. Por ejemplo, un filtro de paso alto que descarta por completo muchas frecuencias bajas (a diferencia del filtro de paso alto de diferenciación fraccionaria que solo descarta por completo la frecuencia 0 [comportamiento constante en la señal de entrada] y simplemente atenúa otras frecuencias bajas, véase el PDF anterior) puede no funcionar tan bien, porque después de ajustar los términos ARMA a la serie filtrada, la operación inversa para devolver la previsión ARMA a sus unidades originales no podría volver a potenciar esas frecuencias bajas atenuadas, ya que las frecuencias bajas se redujeron a cero.

Estos estudios de respuesta en frecuencia pueden sugerir otras familias similares de filtros (reversibles) que podrían ser reemplazos útiles para la parte "FI" del flujo de modelado ARFIMA, como el conocido filtro Butterworth de paso alto, fácil de implementar y de mínima distorsión, o similares. ^{[ 6 ]}

Los modelos ARFIMA se han aplicado en econometría financiera , particularmente para pronosticar la volatilidad realizada , donde se ha demostrado su capacidad para capturar propiedades de memoria larga de las series temporales de volatilidad. ^{[ 7 ]}

• Cálculo fraccionario — Derivación fraccionaria
• Differintegral — integración fraccionaria y diferenciación
• Movimiento browniano fraccional : un proceso estocástico de tiempo continuo con una base similar.
• Dependencia a largo plazo