Dependencia a largo plazo

La dependencia de largo alcance ( LRD ), también llamada memoria larga o persistencia de largo alcance , es un fenómeno que puede surgir en el análisis de datos de series espaciales o temporales . Se relaciona con la tasa de decaimiento de la dependencia estadística de dos puntos con el aumento del intervalo de tiempo o la distancia espacial entre ellos. Un fenómeno se considera generalmente con dependencia de largo alcance si esta decae más lentamente que un decaimiento exponencial , típicamente un decaimiento de tipo potencial. La LRD suele estar relacionada con procesos o campos autosimilares . Se ha utilizado en diversos campos como el modelado del tráfico de internet, la econometría , la hidrología , la lingüística y las ciencias de la tierra. Se utilizan diferentes definiciones matemáticas de LRD para distintos contextos y propósitos. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

Una forma de caracterizar los procesos estacionarios dependientes de largo y corto alcance es mediante sus funciones de autocovarianza . Para un proceso dependiente de corto alcance, el acoplamiento entre los valores en diferentes momentos disminuye rápidamente a medida que aumenta la diferencia de tiempo. La autocovarianza puede llegar a cero después de un cierto retardo temporal o, eventualmente, presentar una disminución exponencial . En el caso de la dependencia de largo alcance, el acoplamiento es mucho más fuerte. La disminución de la función de autocovarianza es de tipo potencial y, por lo tanto, más lenta que la exponencial.

Una segunda forma de caracterizar la dependencia de largo y corto alcance es mediante la varianza de la suma parcial de valores consecutivos. Para la dependencia de corto alcance, la varianza crece típicamente de forma proporcional al número de términos. En cuanto a la dependencia de largo alcance, la varianza de la suma parcial aumenta más rápidamente, siendo a menudo una función potencial con un exponente mayor que 1. Una forma de examinar este comportamiento es mediante el rango reescalado . Este aspecto de la dependencia de largo alcance es importante en el diseño de presas en ríos para la gestión de recursos hídricos , donde las sumas corresponden al caudal total de entrada a la presa durante un período prolongado. ^{[ 7 ]}

Las dos formas anteriores están relacionadas matemáticamente entre sí, pero no son las únicas maneras de definir LRD. En el caso de que no exista la autocovarianza del proceso ( colas pesadas ), hay que encontrar otras formas de definir qué significa LRD, y esto a menudo se hace con la ayuda de procesos autosimilares .

El parámetro de Hurst H es una medida del grado de dependencia de largo alcance en una serie temporal (aunque tiene otro significado en el contexto de procesos autosimilares ). H toma valores de 0 a 1. Un valor de 0,5 indica la ausencia de dependencia de largo alcance. ^{[ 8 ]} Cuanto más cerca esté H de 1, mayor será el grado de persistencia o dependencia de largo alcance. Un valor de H menor que 0,5 corresponde a la antipersistencia, que, como opuesto a la dependencia de largo alcance, indica una fuerte correlación negativa, de modo que el proceso fluctúa violentamente.

Las varianzas de decaimiento lento, la LRD y una densidad espectral que obedece a una ley de potencias son diferentes manifestaciones de la propiedad de la covarianza subyacente de un proceso estacionario. Por lo tanto, es posible abordar el problema de estimar el parámetro de Hurst desde tres ángulos diferentes:

• Gráfico de varianza-tiempo: basado en el análisis de las varianzas de los procesos agregados.
• Estadísticas R/S: basadas en el análisis del dominio del tiempo del rango ajustado reescalado.
• Periodograma: basado en un análisis en el dominio de la frecuencia

Dada una secuencia LRD estacionaria, la suma parcial, si se considera como un proceso indexado por el número de términos tras un escalado adecuado, es un proceso autosimilar con incrementos estacionarios asintóticamente, siendo el movimiento browniano fraccional el más típico . Recíprocamente, dado un proceso autosimilar con incrementos estacionarios con índice de Hurst H  >  0,5, sus incrementos (diferencias consecutivas del proceso) constituyen una secuencia LRD estacionaria.

Esto también es cierto si la secuencia depende a corto alcance, pero en este caso el proceso autosimilar resultante de la suma parcial solo puede ser movimiento browniano ( H  =  0,5).

Entre los modelos estocásticos que se utilizan para la dependencia de largo alcance, algunos de los más populares son los modelos autorregresivos de media móvil integrada fraccionalmente , que se definen para procesos de tiempo discreto, mientras que los modelos de tiempo continuo pueden partir del movimiento browniano fraccional .

• tráfico de cola larga
• Modelo de generación de tráfico
• Análisis de fluctuación sin tendencia : método para detectar la escala de ley de potencias en series temporales. 
• Distribuciones de Tweedie : Familia de distribuciones de probabilidad. Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redireccionamiento. 
• Dimensión fractal : número de dimensiones espaciales de valor real. 
• Exponente de Hurst : medida de la dependencia a largo plazo de una serie temporal. 
• Hipótesis de Hilberg : crecimiento de la entropía del lenguaje según una ley de potencias o un proceso estocástico. 

• Bariviera, AF (2011). "La influencia de la liquidez en la eficiencia informativa: El caso del mercado de valores tailandés". Physica A: Mecánica estadística y sus aplicaciones . 390 (23): 4426– 4432. Bibcode : 2011PhyA..390.4426B . doi : 10.1016/j.physa.2011.07.032 . S2CID 120377241 . 
• Bariviera, AF; Guercio, MB; Martínez, LB (2012). "Análisis comparativo de la eficiencia informativa del mercado de renta fija en siete países europeos". Economics Letters . 116 (3): 426– 428. doi : 10.1016/j.econlet.2012.04.047 . hdl : 11336/66311 . S2CID 153323583 . 
• Brockwell, AE (2006). "Análisis basado en la verosimilitud de una clase de modelos generalizados de series temporales de memoria larga". Journal of Time Series Analysis . 28 (3): 386– 407. doi : 10.1111/j.1467-9892.2006.00515.x . S2CID 122206112 . 
• Granger, CWJ ; Joyeux, R. (1980). "Una introducción a los modelos de series temporales de memoria larga y la diferenciación fraccionaria". Journal of Time Series Analysis . 1 : 15–30 . doi : 10.1111/j.1467-9892.1980.tb00297.x .
• Schennach, SM (2018). "Long Memory via Networking" . Econometrica . 86 (6): 2221– 2248. doi : 10.3982/ECTA11930 . hdl : 10419/189779 .
• Witt, A.; Malamud, BD (2013). "Cuantificación de la persistencia a largo plazo en series temporales geofísicas: técnicas de mejora convencionales y basadas en puntos de referencia" . Surveys in Geophysics . 34 (5): 541– 651. Bibcode : 2013SGeo...34..541W . doi : 10.1007/s10712-012-9217-8 .
• Cohn, TA ; Lins, HF (2005). "El estilo de la naturaleza: naturalmente a la moda" . Geophysical Research Letters . 32 (23). doi : 10.1029/2005GL024476 .