Análisis de fluctuación sin tendencia

Dado: una serie temporal${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{N}}$.

Calcula su valor promedio.${\displaystyle \langle x\rangle ={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}x_{t}}$.

Resumirlo en un proceso${\displaystyle X_{t}=\sum _{i=1}^{t}(x_{i}-\langle x\rangle )}$. Esta es la suma acumulativa , o perfil , de la serie temporal original. Por ejemplo, el perfil de un ruido blanco i.i.d. es un paseo aleatorio estándar .

Seleccione un conjunto${\displaystyle T=\{n_{1},...,n_{k}\}}$de enteros, de tal manera que${\displaystyle n_{1}<n_{2}<\cdots <n_{k}}$, el más pequeño${\displaystyle n_{1}\approx 4}$, el más grande${\displaystyle n_{k}\approx N/4<ref></ref>}$y la secuencia se distribuye aproximadamente de manera uniforme en escala logarítmica:${\displaystyle \log(n_{2})-\log(n_{1})\approx \log(n_{3})-\log(n_{2})\approx \cdots }$En otras palabras, es aproximadamente una progresión geométrica . ^{[ 10 ]}

Para cada${\displaystyle n\in T}$, divide la secuencia${\displaystyle X_{t}}$en segmentos consecutivos de longitud${\displaystyle n}$Dentro de cada segmento, calcule el ajuste de línea recta por mínimos cuadrados (la tendencia local ). Sea${\displaystyle Y_{1,n},Y_{2,n},...,Y_{N,n}}$sea ​​el ajuste lineal por partes resultante.

Calcular la desviación cuadrática media respecto a la tendencia local ( fluctuación local ):$${\displaystyle F(n,i)={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{t=in+1}^{in+n}\left(X_{t}-Y_{t,n}\right)^{2}}}.}$$Y su raíz cuadrática media es la fluctuación total:

${\displaystyle F(n)={\sqrt {{\frac {1}{N/n}}\sum _{i=1}^{N/n}F(n,i)^{2}}}.}$

(Si${\displaystyle N}$no es divisible por${\displaystyle n}$, entonces se puede descartar el resto de la secuencia, o repetir el procedimiento en la secuencia invertida y luego tomar su raíz cuadrática media. ^{[ 11 ]} )

Realizar la gráfica logarítmica doble${\displaystyle \log n-\log F(n)}$. ^{[ 12 ] [ 13 ]}

Una línea recta de pendiente${\displaystyle \alpha }$en el gráfico log-log indica una autoafinidad estadística de forma${\displaystyle F(n)\propto n^{\alpha }}$. Desde${\displaystyle F(n)}$aumenta monótonamente con${\displaystyle n}$, siempre lo hemos hecho${\displaystyle \alpha >0}$.

El exponente de escala${\displaystyle \alpha }$es una generalización del exponente de Hurst , cuyo valor preciso proporciona información sobre las autocorrelaciones de la serie:

• ${\displaystyle \alpha <1/2}$: anticorrelacionado
• ${\displaystyle \alpha \simeq 1/2}$: ruido blanco no correlacionado
• ${\displaystyle \alpha >1/2}$: correlacionado
• ${\displaystyle \alpha \simeq 1}$: 1/f-ruido, ruido rosa
• ${\displaystyle \alpha >1}$: no estacionario, ilimitado
• ${\displaystyle \alpha \simeq 3/2}$: ruido browniano

Porque el desplazamiento esperado en una caminata aleatoria no correlacionada de longitud N crece como${\displaystyle {\sqrt {N}}}$, un exponente de${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$correspondería a ruido blanco no correlacionado. Cuando el exponente está entre 0 y 1, el resultado es ruido gaussiano fraccional .

Aunque el algoritmo DFA siempre produce un número positivo${\displaystyle \alpha }$Para cualquier serie temporal, esto no implica necesariamente que la serie temporal sea autosimilar. La autosimilitud requiere que el gráfico log-log sea suficientemente lineal en un amplio rango de${\displaystyle n}$Además, se ha demostrado que una combinación de técnicas que incluyen la estimación de máxima verosimilitud (EMV), en lugar de mínimos cuadrados, se aproxima mejor al exponente de escala o ley de potencias. ^{[ 14 ]}

Además, existen muchas cantidades similares a exponentes de escala que se pueden medir para una serie temporal autosimilar, incluyendo la dimensión divisoria y el exponente de Hurst . Por lo tanto, el exponente de escala DFA${\displaystyle \alpha }$No es una dimensión fractal y no posee ciertas propiedades deseables que tiene la dimensión de Hausdorff , aunque en ciertos casos especiales está relacionada con la dimensión de conteo de cajas para el gráfico de una serie temporal.

El algoritmo DFA estándar descrito anteriormente elimina una tendencia lineal en cada segmento. Si eliminamos una tendencia polinómica de grado n en cada segmento, se denomina DFAn o DFA de orden superior. ^{[ 15 ]}

Desde${\displaystyle X_{t}}$es una suma acumulativa de${\displaystyle x_{t}-\langle x\rangle }$, una tendencia lineal en${\displaystyle X_{t}}$es una tendencia constante en${\displaystyle x_{t}-\langle x\rangle }$, que es una tendencia constante en${\displaystyle x_{t}}$(visibles como secciones cortas de "mesetas planas"). En este sentido, DFA1 elimina la media de segmentos de la serie temporal.${\displaystyle x_{t}}$antes de cuantificar la fluctuación.

De manera similar, una tendencia de grado n en${\displaystyle X_{t}}$es una tendencia de grado (n-1) en${\displaystyle x_{t}}$Por ejemplo, DFA1 elimina las tendencias lineales de segmentos de la serie temporal.${\displaystyle x_{t}}$Antes de cuantificar la fluctuación, DFA1 elimina las tendencias parabólicas de${\displaystyle x_{t}}$, etcétera.

El análisis Hurst R/S elimina las tendencias constantes en la secuencia original y, por lo tanto, en su eliminación de tendencias es equivalente a DFA1.

El DFA se puede generalizar mediante computación.$${\displaystyle F_{q}(n)=\left({\frac {1}{N/n}}\sum _{i=1}^{N/n}F(n,i)^{q}\right)^{1/q}}$$luego haciendo el gráfico log-log de${\displaystyle \log n-\log F_{q}(n)}$, Si existe una fuerte linealidad en la gráfica de${\displaystyle \log n-\log F_{q}(n)}$, entonces esa pendiente es${\displaystyle \alpha (q)}$. ^{[ 16 ]} DFA es el caso especial donde${\displaystyle q=2}$.

Los sistemas multifractales escalan como una función${\displaystyle F_{q}(n)\propto n^{\alpha (q)}}$En esencia, los exponentes de escala no tienen por qué ser independientes de la escala del sistema. En particular, el DFA mide el comportamiento de escala de las fluctuaciones del segundo momento.

Kantelhardt et al. concibieron este exponente de escala como una generalización del exponente clásico de Hurst. El exponente clásico de Hurst corresponde a${\displaystyle H=\alpha (2)}$para casos estacionarios, y${\displaystyle H=\alpha (2)-1}$para casos no estacionarios. ^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}

En el caso de autocorrelaciones que decaen según una ley de potencias, la función de correlación decae con un exponente${\displaystyle \gamma }$: ${\displaystyle C(L)\sim L^{-\gamma }\!\ }$Además, el espectro de potencia decae como${\displaystyle P(f)\sim f^{-\beta }\!\ }$. Los tres exponentes están relacionados por: ^{[ 19 ]}

• ${\displaystyle \gamma =2-2\alpha }$
• ${\displaystyle \beta =2\alpha -1}$y
• ${\displaystyle \gamma =1-\beta }$.

Las relaciones se pueden derivar utilizando el teorema de Wiener-Khinchin . La relación de DFA con el método del espectro de potencia ha sido bien estudiada. ^{[ 35 ]}

De este modo,${\displaystyle \alpha }$está ligado a la pendiente del espectro de potencia${\displaystyle \beta }$y se utiliza para describir el color del ruido mediante esta relación:${\displaystyle \alpha =(\beta +1)/2}$.

Para el ruido gaussiano fraccional (FGN), tenemos${\displaystyle \beta \in [-1,1]}$y por lo tanto${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$, y${\displaystyle \beta =2H-1}$, dónde${\displaystyle H}$es el exponente de Hurst .${\displaystyle \alpha }$para FGN es igual a${\displaystyle H}$. ^{[ 36 ]}

Para el movimiento browniano fraccional (FBM), tenemos${\displaystyle \beta \in [1,3]}$y por lo tanto${\displaystyle \alpha \in [1,2]}$, y${\displaystyle \beta =2H+1}$, dónde${\displaystyle H}$es el exponente de Hurst .${\displaystyle \alpha }$para FBM es igual a${\displaystyle H+1}$. ^{[ 17 ]} En este contexto, FBM es la suma acumulativa o la integral de FGN, por lo tanto, los exponentes de sus espectros de potencia difieren en 2.