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Articulo de referencia

exponente de Hurst

El exponente de Hurst se utiliza como medida de la memoria a largo plazo de las series temporales . Se relaciona con las autocorrelaciones de las series temporales y la tasa a l...

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El exponente de Hurst se utiliza como medida de la memoria a largo plazo de las series temporales . Se relaciona con las autocorrelaciones de las series temporales y la tasa a la que estas disminuyen a medida que aumenta el desfase entre pares de valores. Los estudios que involucran el exponente de Hurst se desarrollaron originalmente en hidrología para la cuestión práctica de determinar el dimensionamiento óptimo de las presas para las condiciones volátiles de lluvia y sequía del río Nilo que se habían observado durante un largo período de tiempo. [ 1 ] [ 2 ] El nombre "exponente de Hurst" o "coeficiente de Hurst" deriva de Harold Edwin Hurst (1880-1978), quien fue el investigador principal en estos estudios; el uso de la notación estándar H para el coeficiente también se relaciona con su nombre.

En geometría fractal , el exponente generalizado de Hurst ha sido denotado por H o ​​H q en honor a Harold Edwin Hurst y Ludwig Otto Hölder (1859–1937) por Benoît Mandelbrot (1924–2010). [ 3 ] H está directamente relacionado con la dimensión fractal , D , y es una medida de la aleatoriedad "leve" o "salvaje" de una serie de datos. [ 4 ]

El exponente de Hurst se denomina "índice de dependencia" o "índice de dependencia de largo alcance". Cuantifica la tendencia relativa de una serie temporal a regresar fuertemente a la media o a agruparse en una dirección. [ 5 ] Un valor H en el rango 0,5–1 indica una serie temporal con autocorrelación positiva a largo plazo, lo que significa que la disminución de la autocorrelación es más lenta que exponencial, siguiendo una ley de potencias ; para la serie significa que un valor alto tiende a ser seguido por otro valor alto y que se producen excursiones futuras a valores más altos. Un valor en el rango 0–0,5 indica una serie temporal con conmutación a largo plazo entre valores altos y bajos en pares adyacentes, lo que significa que un único valor alto probablemente será seguido por un valor bajo y que el valor posterior tenderá a ser alto, con esta tendencia a la conmutación entre valores altos y bajos que dura mucho tiempo en el futuro, siguiendo también una ley de potencias. Un valor de H = 0,5 indica memoria corta , con autocorrelaciones (absolutas) que decaen exponencialmente rápido a cero.

Definición

El exponente de Hurst, H , se define en términos del comportamiento asintótico del rango reescalado en función del intervalo de tiempo de una serie temporal de la siguiente manera; [ 6 ] [ 7 ]

mi[R(norte)S(norte)]=donorteH como norte→∞,{\displaystyle \mathbb {E} \left[{\frac {R(n)}{S(n)}}\right]=Cn^{H}{\text{ cuando }}n\to \infty \,,} dónde

  • R(norte){\displaystyle R(n)}es el rango del primeronorte{\displaystyle n}desviaciones acumuladas de la media
  • S(norte){\displaystyle S(n)}es la serie (suma) de las primeras n desviaciones estándar
  • mi[incógnita]{\displaystyle \mathbb {E} \left[x\right]\,}es el valor esperado
  • norte{\displaystyle n}es el intervalo de tiempo de la observación (número de puntos de datos en una serie temporal)
  • do{\displaystyle C}es una constante.

Relación con la dimensión fractal

Para series temporales autosimilares, H está directamente relacionada con la dimensión fractal , D , donde 1 < D < 2, de modo que D = 2 - H. Los valores del exponente de Hurst varían entre 0 y 1, y los valores más altos indican una tendencia más suave, menor volatilidad y menor rugosidad. [ 8 ]

Para series temporales más generales o procesos multidimensionales, el exponente de Hurst y la dimensión fractal pueden elegirse de forma independiente, ya que el exponente de Hurst representa la estructura en periodos asintóticamente más largos, mientras que la dimensión fractal representa la estructura en periodos asintóticamente más cortos. [ 9 ]

Estimación del exponente

En la literatura se han propuesto varios estimadores de dependencia de largo alcance. El más antiguo y conocido es el llamado análisis de rango reescalado (R/S), popularizado por Mandelbrot y Wallis [ 3 ] [ 10 ] y basado en hallazgos hidrológicos previos de Hurst. [ 1 ] Las alternativas incluyen DFA , regresión de periodograma , [ 11 ] varianzas agregadas, [ 12 ] estimador local de Whittle, [ 13 ] análisis de ondículas, [ 14 ] [ 15 ] tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia .

Análisis de rango reescalado (R/S)

Para estimar el exponente de Hurst, primero se debe estimar la dependencia del rango reescalado con respecto al intervalo de tiempo n de observación. [ 7 ] Una serie temporal de longitud completa N se divide en varias series temporales más cortas no superpuestas de longitud n , donde n toma valores N , N /2, N /4, ... (en el caso conveniente de que N sea una potencia de 2). Luego se calcula el rango reescalado promedio para cada valor de n .

Para cada una de esas series temporales de longitudnorte{\displaystyle n},incógnita=incógnita1,incógnita2,…,incógnitanorte{\displaystyle X=X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\,}, el rango reescalado se calcula de la siguiente manera: [ 6 ] [ 7 ]

  1. Calcular la media ;metro=1norte∑i=1norteincógnitai.{\displaystyle m={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\,.}
  2. Cree una serie ajustada a la media;Yt=incógnitat−metro para t=1,2,…,norte.{\displaystyle Y_{t}=X_{t}-m\quad {\text{ para }}t=1,2,\dots ,n\,.}
  3. Calcular la serie de desviación acumuladaZ{\displaystyle Z};Zt=∑i=1tYi para t=1,2,…,norte.{\displaystyle Z_{t}=\sum _{i=1}^{t}Y_{i}\quad {\text{ para }}t=1,2,\dots ,n\,.}
  4. Calcula el rangoR{\displaystyle R};R(norte)=máximo⁡(Z1,Z2,…,Znorte)−min⁡(Z1,Z2,…,Znorte).{\displaystyle R(n)=\operatorname {max} \left(Z_{1},Z_{2},\dots ,Z_{n}\right)-\operatorname {min} \left(Z_{1},Z_{2},\dots ,Z_{n}\right).}
  5. Calcular la desviación estándarS{\displaystyle S};S(norte)=1norte∑i=1norte(incógnitai−metro)2.{\displaystyle S(n)={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-m\right)^{2}}}.}
  6. Calcular el rango reescaladoR(norte)/S(norte){\displaystyle R(n)/S(n)}y promediar sobre todas las series temporales parciales de longitudnorte.{\displaystyle n.}

El exponente de Hurst se estima ajustando la ley de potencias.mi[R(norte)/S(norte)]=donorteH{\displaystyle \mathbb {E} [R(n)/S(n)]=Cn^{H}}a los datos. Esto se puede hacer graficandoregistro⁡[R(norte)/S(norte)]{\displaystyle \log[R(n)/S(n)]}como función deregistro⁡norte{\displaystyle \log n}y ajustando una línea recta; la pendiente de la línea daH{\displaystyle H}Un enfoque más riguroso sería ajustar la ley de potencias mediante el método de máxima verosimilitud. [ 16 ] Este tipo de gráfico se denomina diagrama de caja . Sin embargo, se sabe que este enfoque produce estimaciones sesgadas del exponente de la ley de potencias. Para valores pequeños de .norte{\displaystyle n}Existe una desviación significativa de la pendiente de 0,5. Anis y Lloyd [ 17 ] estimaron que los valores teóricos (es decir, para ruido blanco) del estadístico R/S son:

mi[R(norte)/S(norte)]={Γ(norte−12)πΓ(norte2)∑i=1norte−1norte−ii,para norte≤3401norteπ2∑i=1norte−1norte−ii,para norte>340{\displaystyle \mathbb {E} [R(n)/S(n)]={\begin{cases}{\frac {\Gamma ({\frac {n-1}{2}})}{{\sqrt {\pi }}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\sum \limits _{i=1}^{n-1}{\sqrt {\frac {ni}{i}}},&{\text{para }}n\leq 340\\{\frac {1}{\sqrt {n{\frac {\pi }{2}}}}}\sum \limits _{i=1}^{n-1}{\sqrt {\frac {ni}{i}}},&{\text{para }}n>340\end{cases}}}

dóndeΓ{\displaystyle \Gamma }es la función gamma de Euler . El exponente de Hurst R/S corregido por Anis-Lloyd se calcula como 0,5 más la pendiente deR(norte)/S(norte)−mi[R(norte)/S(norte)]{\displaystyle R(n)/S(n)-\mathbb {E} [R(n)/S(n)]}.

Intervalos de confianza

Hasta el momento no se ha derivado ninguna teoría de distribución asintótica para la mayoría de los estimadores del exponente de Hurst. Sin embargo, Weron [ 18 ] utilizó el método bootstrap para obtener formas funcionales aproximadas para los intervalos de confianza de los dos métodos más populares, es decir, para el análisis R/S corregido de Anis-Lloyd [ 17 ] :

y para DFA :

AquíMETRO=registro2⁡norte{\displaystyle M=\log _{2}N}ynorte{\displaystyle N}es la longitud de la serie. En ambos casos solo subseries de longitudnorte>50{\displaystyle n>50}Se consideraron para estimar el exponente de Hurst; las subseries de menor longitud dan lugar a una alta varianza de las estimaciones R/S.

Exponente generalizado

El exponente básico de Hurst puede relacionarse con el tamaño esperado de los cambios, en función del desfase entre observaciones, medido por E(| X t + τ − X t | 2 ). Para la forma generalizada del coeficiente, el exponente se reemplaza por un término más general, denotado por q .

Existen diversas técnicas para estimar H , sin embargo, evaluar la precisión de la estimación puede ser un asunto complejo. Matemáticamente, en una técnica, el exponente de Hurst se puede estimar de la siguiente manera: [ 19 ] [ 20 ]Hq=H(q),{\displaystyle H_{q}=H(q),} para una serie temporal gramo(t),t=1,2,…{\displaystyle g(t),t=1,2,\dots } puede definirse por las propiedades de escala de sus funciones estructuralesSq{\displaystyle S_{q}}(τ{\displaystyle \tau }): Sq=⟨|gramo(t+τ)−gramo(t)|q⟩t∼τqH(q),{\displaystyle S_{q}=\left\langle \left|g(t+\tau )-g(t)\right|^{q}\right\rangle _{t}\sim \tau ^{qH(q)},} dóndeq>0{\displaystyle q>0},τ{\displaystyle \tau }es el retardo de tiempo y el promedio se realiza sobre la ventana de tiempo t≫τ,{\displaystyle t\gg \tau ,} Por lo general, es la escala de tiempo más grande del sistema.

Prácticamente, en la naturaleza, no hay límite de tiempo, y por lo tanto H no es determinista, ya que solo puede estimarse en función de los datos observados; por ejemplo, el movimiento alcista diario más drástico jamás visto en un índice bursátil siempre puede ser superado durante algún día posterior. [ 21 ]

En la técnica de estimación matemática anterior, la función H ( q ) contiene información sobre las volatilidades generalizadas promedio a escalaτ{\displaystyle \tau }(Solo se utilizan q = 1, 2 para definir la volatilidad). En particular, el exponente H 1 indica un comportamiento persistente ( H 1 > 1 ⁄ 2 ) o antipersistente ( H 1 < 1 ⁄ 2 ) de la tendencia.

Para el BRW ( ruido marrón ,1/F2{\displaystyle 1/f^{2}}) uno obtiene Hq=12,{\displaystyle H_{q}={\frac {1}{2}},} y para ruido rosa (1/F{\displaystyle 1/f}) Hq=0.{\displaystyle H_{q}=0.}

El exponente de Hurst para el ruido blanco depende de la dimensión, [ 22 ] y para 1D y 2D es Hq1D=−12,Hq2D=−1.{\displaystyle H_{q}^{1D}=-{\frac {1}{2}},\quad H_{q}^{2D}=-1.}

Para los procesos estables de Lévy populares y los procesos de Lévy truncados con parámetro α se ha encontrado que

Hq=q/α,{\displaystyle H_{q}=q/\alpha ,}paraq<α{\displaystyle q<\alpha }, yHq=1{\displaystyle H_{q}=1}paraq≥α{\displaystyle q\geq \alpha }El análisis de fluctuación multifractal sin tendencia [ 23 ] es un método para estimarH(q){\displaystyle H(q)}a partir de series temporales no estacionarias. CuandoH(q){\displaystyle H(q)}es una función no lineal de q la serie temporal es un sistema multifractal .

Nota

En la definición anterior, dos requisitos separados se mezclan como si fueran uno solo. [ 24 ] Aquí están los dos requisitos independientes: (i) estacionariedad de los incrementos , x ( t + T ) − x ( t ) = x ( T ) − x (0) en distribución. Esta es la condición que produce autocorrelaciones de largo tiempo. (ii) La autosimilitud del proceso estocástico produce entonces escalamiento de varianza, pero no es necesario para la memoria de largo tiempo. Por ejemplo, tanto los procesos de Markov (es decir, procesos sin memoria) como el movimiento browniano fraccional escalan al nivel de densidades de 1 punto (promedios simples), pero ninguno escala al nivel de correlaciones de pares o, correspondientemente, la densidad de probabilidad de 2 puntos.

Un mercado eficiente requiere una condición de martingala , y a menos que la varianza sea lineal en el tiempo, esto produce incrementos no estacionarios, x ( t + T ) − x ( t ) ≠ x ( T ) − x (0) . Las martingalas son markovianas a nivel de correlaciones de pares, lo que significa que las correlaciones de pares no pueden usarse para superar un mercado de martingala. Por otro lado, los incrementos estacionarios con varianza no lineal inducen la memoria de pares a largo plazo del movimiento browniano fraccional que haría que el mercado fuera superable a nivel de correlaciones de pares. Un mercado así estaría necesariamente lejos de ser "eficiente".

El econofísico AF Bariviera realiza un análisis de series temporales económicas mediante el exponente de Hurst, utilizando un rango reescalado y un análisis de fluctuación sin tendencia . [ 25 ] Este artículo estudia el carácter variable en el tiempo de la dependencia de largo alcance y, por lo tanto, de la eficiencia informativa.

El exponente de Hurst también se ha aplicado a la investigación de la dependencia de largo alcance en el ADN [ 26 ] y en materiales con banda prohibida fotónica . [ 27 ]

Véase también

Implementaciones

  • El código Matlab para calcular R/S, DFA, regresión de periodograma y estimaciones wavelet del exponente de Hurst y sus correspondientes intervalos de confianza está disponible en RePEc: https://ideas.repec.org/s/wuu/hscode.html
  • Implementación de R/S en Python: https://github.com/Mottl/hurst y de DFA y MFDFA en Python: https://github.com/LRydin/MFDFA
  • Código Matlab para calcular el Hurst real y el Hurst complejo: https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/49803-calculate-complex-hurst
  • También se puede utilizar una hoja de cálculo de Excel para ello: https://www.researchgate.net/publication/272792633_Excel_Hurst_Calculator

Referencias

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