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Articulo de referencia

Distorsión temporal dinámica

Deformación temporal dinámica entre dos funciones lineales a trozos. La línea punteada ilustra la relación de deformación temporal. Nótese que varios puntos de la función inferi...

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Deformación temporal dinámica entre dos funciones lineales a trozos. La línea punteada ilustra la relación de deformación temporal. Nótese que varios puntos de la función inferior se corresponden con un punto de la función superior, y viceversa .
Dos repeticiones de una secuencia de marcha registradas mediante un sistema de captura de movimiento. Si bien existen diferencias en la velocidad de marcha entre las repeticiones, las trayectorias espaciales de las extremidades permanecen muy similares. [ 1 ]
DTW entre una sinusoide y una versión ruidosa y desplazada de la misma.

En el análisis de series temporales , la deformación temporal dinámica ( DTW ) es un algoritmo para medir la similitud entre dos secuencias temporales que pueden variar en velocidad. Por ejemplo, se pueden detectar similitudes en la forma de caminar utilizando DTW, incluso si una persona camina más rápido que la otra, o si hay aceleraciones y desaceleraciones durante la observación. DTW se ha aplicado a secuencias temporales de datos de vídeo, audio y gráficos; de hecho, cualquier dato que pueda convertirse en una secuencia unidimensional puede analizarse con DTW. Una aplicación conocida es el reconocimiento automático del habla , para adaptarse a diferentes velocidades de habla. Otras aplicaciones incluyen el reconocimiento de locutores y el reconocimiento de firmas en línea . También se puede utilizar en aplicaciones de coincidencia parcial de formas .

En general, DTW es un método que calcula una coincidencia óptima entre dos secuencias dadas (por ejemplo, series temporales ) con ciertas restricciones y reglas:

  • Cada índice de la primera secuencia debe coincidir con uno o más índices de la otra secuencia, y viceversa.
  • El primer índice de la primera secuencia debe coincidir con el primer índice de la otra secuencia (pero no tiene por qué ser la única coincidencia).
  • El último índice de la primera secuencia debe coincidir con el último índice de la otra secuencia (pero no tiene por qué ser la única coincidencia).
  • El mapeo de los índices de la primera secuencia a los índices de la otra secuencia debe ser monótonamente creciente, y viceversa, es decir, sij>i{\displaystyle j>i}son índices de la primera secuencia, entonces no debe haber dos índicesl>k{\displaystyle l>k}en la otra secuencia, de modo que el índicei{\displaystyle i}coincide con el índicel{\displaystyle l}y índicej{\displaystyle j}coincide con el índicek{\displaystyle k}y viceversa

Podemos graficar cada coincidencia entre las secuencias1:METRO{\displaystyle 1:M}y1:norte{\displaystyle 1:N}como un camino en unMETRO×norte{\displaystyle M\times N}matriz de(1,1){\displaystyle (1,1)}a(METRO,norte){\displaystyle (M,N)}, de tal manera que cada paso es uno de(0,1),(1,0),(1,1){\displaystyle (0,1),(1,0),(1,1)}En esta formulación, vemos que el número de coincidencias posibles es el número de Delannoy .

La coincidencia óptima se denota por la coincidencia que satisface todas las restricciones y reglas y que tiene el costo mínimo, donde el costo se calcula como la suma de las diferencias absolutas , para cada par de índices coincidentes, entre sus valores.

Las secuencias se "deforman" de forma no lineal en la dimensión temporal para determinar una medida de su similitud independiente de ciertas variaciones no lineales en dicha dimensión. Este método de alineación de secuencias se utiliza frecuentemente en la clasificación de series temporales. Si bien DTW mide una magnitud similar a la distancia entre dos secuencias dadas, no garantiza que se cumpla la desigualdad triangular .

Además de medir la similitud entre las dos secuencias (generando una denominada "trayectoria de deformación"), al deformarlas según esta trayectoria, las dos señales pueden alinearse temporalmente. La señal con un conjunto original de puntos X (original), Y (original) se transforma en X (deformada), Y (deformada). Esto tiene aplicaciones en la secuenciación genética y la sincronización de audio. En una técnica relacionada, se pueden promediar secuencias de velocidad variable utilizando esta técnica (véase la sección de secuencias promedio ).

Esto es conceptualmente muy similar al algoritmo de Needleman-Wunsch .

Implementación

Este ejemplo ilustra la implementación del algoritmo de alineación temporal dinámica cuando las dos secuencias s y t son cadenas de símbolos discretos. Para dos símbolos x e y ,d(incógnita,y){\displaystyle d(x,y)}es una distancia entre los símbolos, por ejemplo,d(incógnita,y)=|incógnita−y|{\displaystyle d(x,y)=|xy|}.

int DTWDistance(s: array [1..n], t: array [1..m]) { DTW := matriz [0..n, 0..m] para i := 0 a n para j := 0 a m DTW[i, j] := infinito DTW[0, 0] := 0 para i := 1 a n para j := 1 a m costo := d(s[i], t[j]) DTW[i, j] := costo + mínimo(DTW[i-1, j ], // inserción DTW[i , j-1], // eliminación DTW[i-1, j-1]) // coincidencia devolver DTW[n, m] }

¿Dónde DTW[i, j]está la distancia entre s[1:i]y t[1:j]con la mejor alineación?

A veces queremos agregar una restricción de localidad. Es decir, requerimos que si s[i]coincide con t[j], entonces|i−j|{\displaystyle |ij|}no es mayor que w , un parámetro de ventana.

Podemos modificar fácilmente el algoritmo anterior para agregar una restricción de localidad (diferenciasmarcado). Sin embargo, la modificación anterior solo funciona si|norte−metro|{\displaystyle |nm|}no es mayor que w , es decir, el punto final está dentro de la longitud de la ventana desde la diagonal. Para que el algoritmo funcione, el parámetro de ventana w debe adaptarse de modo que|norte−metro|≤w{\displaystyle |nm|\leq w}(véase la línea marcada con (*) en el código).

int DTWDistance(s: array [1..n], t: array [1..m], w: int) { DTW := matriz [0..n, 0..m] w := max(w, abs(nm))// Adaptar el tamaño de la ventana (*) para i := 0 a n para j:= 0 a m DTW[i, j] := infinito DTW[0, 0] := 0 para i := 1 a npara j := max(1, iw) hasta min(m, i+w)DTW[i, j] := 0 para i := 1 a n para j :=maximizar(1, iw) a minimizar(m, i+w) costo := d(s[i], t[j]) DTW[i, j] := costo + mínimo(DTW[i-1, j ], // inserción DTW[i , j-1], // eliminación DTW[i-1, j-1]) // coincidencia devolver DTW[n, m] }

Propiedades de deformación

El algoritmo DTW produce una correspondencia discreta entre elementos existentes de una serie y otra. En otras palabras, no permite el escalado temporal de segmentos dentro de la secuencia. Otros métodos permiten la deformación continua. Por ejemplo, la Deformación Optimizada por Correlación (COW) divide la secuencia en segmentos uniformes que se escalan en el tiempo mediante interpolación lineal para producir la mejor deformación posible. El escalado de segmentos puede generar nuevos elementos, ya sea reduciendo o aumentando el escalado temporal de los segmentos, lo que produce una deformación más sensible que la correspondencia discreta de elementos originales de DTW.

Complejidad

La complejidad temporal del algoritmo DTW esO(norteMETRO){\displaystyle O(NM)}, dóndenorte{\displaystyle N}yMETRO{\displaystyle M}son las longitudes de las dos secuencias de entrada. El límite de tiempo cuadrático de 50 años se rompió en 2016: un algoritmo debido a Gold y Sharir permite calcular DTW enO(norte2/registro⁡registro⁡norte){\displaystyle O({N^{2}}/\log \log N)}tiempo y espacio para dos secuencias de entrada de longitudnorte{\displaystyle N}. [ 2 ] Este algoritmo también puede adaptarse a secuencias de diferentes longitudes. A pesar de esta mejora, se demostró que un tiempo de ejecución fuertemente subcuadrático de la formaO(norte2−ϵ){\displaystyle O(N^{2-\epsilon })}para algunosϵ>0{\displaystyle \epsilon >0}no puede existir a menos que falle la hipótesis del tiempo exponencial fuerte . [ 3 ] [ 4 ]

Si bien el algoritmo de programación dinámica para DTW requiereO(norteMETRO){\displaystyle O(NM)}espacio en una implementación ingenua, el consumo de espacio se puede reducir aO(min(norte,METRO)){\displaystyle O(\min(N,M))}utilizando el algoritmo de Hirschberg .

Computación rápida

Las técnicas rápidas para calcular DTW incluyen PrunedDTW, [ 5 ] SparseDTW, [ 6 ] FastDTW, [ 7 ] y MultiscaleDTW. [ 8 ] [ 9 ]

Una tarea común, la recuperación de series temporales similares, puede acelerarse utilizando límites inferiores como LB_Keogh, [ 10 ] LB_Improved, [ 11 ] o LB_Petitjean. [ 12 ] Sin embargo, el algoritmo Early Abandon and Pruned DTW reduce el grado de aceleración que proporciona el uso de límites inferiores y, en ocasiones, lo vuelve ineficaz.

En un estudio, Wang et al. informaron resultados ligeramente mejores con la cota inferior LB_Improved que con la cota LB_Keogh, y encontraron que otras técnicas eran ineficientes. [ 13 ] Posteriormente a este estudio, se desarrolló la cota LB_Enhanced, que siempre es más ajustada que LB_Keogh y además es más eficiente de calcular. [ 14 ] LB_Petitjean es la cota inferior más ajustada conocida que se puede calcular en tiempo lineal. [ 12 ]

Secuencia promedio

El cálculo del promedio para la alineación temporal dinámica (DTW) consiste en encontrar una secuencia promedio para un conjunto de secuencias. NLAAF [ 15 ] es un método exacto para promediar dos secuencias utilizando DTW. Para más de dos secuencias, el problema se relaciona con el de la alineación múltiple y requiere heurísticas. DBA [ 16 ] es actualmente un método de referencia para promediar un conjunto de secuencias de forma consistente con DTW. COMASA [ 17 ] aleatoriza eficientemente la búsqueda de la secuencia promedio, utilizando DBA como un proceso de optimización local.

Aprendizaje supervisado

Un clasificador de vecinos más cercanos puede lograr un rendimiento de vanguardia cuando se utiliza la deformación temporal dinámica como medida de distancia. [ 18 ]

Distorsión temporal dinámica de Amerced

Amerced Dynamic Time Warping (ADTW) es una variante de DTW diseñada para controlar mejor la permisividad de DTW en las alineaciones que permite. [ 19 ] Las ventanas que utiliza el DTW clásico para restringir las alineaciones introducen una función escalonada . Se permite cualquier deformación de la trayectoria dentro de la ventana y ninguna fuera de ella. En contraste, ADTW emplea una penalización aditiva que se incurre cada vez que se deforma la trayectoria. Se permite cualquier cantidad de deformación, pero cada acción de deformación conlleva una penalización directa. ADTW supera significativamente a DTW con ventanas cuando se aplica como clasificador de vecino más cercano en un conjunto de tareas de clasificación de series temporales de referencia. [ 19 ]

Enfoques alternativos

En el análisis de datos funcionales , las series temporales se consideran discretizaciones de funciones suaves (diferenciables) del tiempo. Al observar las muestras observadas como funciones suaves, se puede utilizar la matemática continua para analizar los datos. [ 20 ] La suavidad y la monotonicidad de las funciones de deformación temporal se pueden obtener, por ejemplo, integrando una función de base radial variable en el tiempo, que es un difeomorfismo unidimensional . [ 21 ] Las funciones de deformación temporal no lineales óptimas se calculan minimizando una medida de distancia del conjunto de funciones a su promedio deformado. Se pueden agregar términos de penalización de rugosidad para las funciones de deformación, por ejemplo, restringiendo el tamaño de su curvatura. Las funciones de deformación resultantes son suaves, lo que facilita el procesamiento posterior. Este enfoque se ha aplicado con éxito para analizar patrones y variabilidad de los movimientos del habla. [ 22 ] [ 23 ]

Otro enfoque relacionado son los modelos ocultos de Markov (HMM) y se ha demostrado que el algoritmo de Viterbi utilizado para buscar la ruta más probable a través del HMM es equivalente al DTW estocástico. [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]

DTW y métodos de deformación relacionados se utilizan normalmente como pasos de preprocesamiento o postprocesamiento en análisis de datos. Si las secuencias observadas contienen variación aleatoria tanto en sus valores como en su forma, además de una desalineación temporal aleatoria, la deformación puede sobreajustarse al ruido, lo que conduce a resultados sesgados. Una formulación de modelo simultánea con variación aleatoria tanto en valores (vertical) como en parametrización temporal (horizontal) es un ejemplo de un modelo de efectos mixtos no lineal . [ 27 ] En el análisis del movimiento humano, se ha demostrado que el modelado simultáneo de efectos mixtos no lineal produce resultados superiores en comparación con DTW. [ 28 ]

Software de código abierto

  • La biblioteca tempo C++ con enlaces a Python implementa Early Abandoned and Pruned DTW, así como Early Abandoned and Pruned ADTW y los límites inferiores de DTW LB_Keogh, LB_Enhanced y LB_Webb.
  • La biblioteca Java UltraFastMPSearch implementa el algoritmo UltraFastWWSearch [ 29 ] para el ajuste rápido de la ventana de deformación.
  • La biblioteca C++ lbimproved implementa algoritmos de recuperación rápida del vecino más cercano bajo la Licencia Pública General GNU (GPL). También proporciona una implementación en C++ de alineación temporal dinámica, así como varios límites inferiores.
  • La biblioteca FastDTW es una implementación en Java del algoritmo DTW y una implementación FastDTW que proporciona alineaciones óptimas o casi óptimas con una complejidad temporal y de memoria de O(N), en contraste con el requisito de O ( N² ) del algoritmo DTW estándar. FastDTW utiliza un enfoque multinivel que proyecta recursivamente una solución a partir de una resolución más gruesa y refina la solución proyectada.
  • Bifurcación de FastDTW (Java) publicada en Maven Central.
  • time-series-classification (Java) un paquete para la clasificación de series temporales utilizando DTW en Weka.
  • El conjunto de herramientas DTW proporciona paquetes para Python ( dtw-python ) y R ( dtw ) con una cobertura integral de los miembros de la familia de algoritmos DTW, incluyendo una variedad de reglas de recursión (también llamadas patrones de pasos), restricciones y coincidencia de subcadenas.
  • La biblioteca mlpy de Python implementa DTW.
  • La biblioteca de Python pydtw implementa las medidas DTW con características de Manhattan y Euclidiana, incluyendo los límites inferiores LB_Keogh.
  • La biblioteca cudadtw de C++/CUDA implementa la alineación de subsecuencias de DTW con sabor euclidiano y distancia euclidiana normalizada en z , de forma similar a la popular UCR-Suite en aceleradores compatibles con CUDA.
  • La biblioteca de aprendizaje automático JavaML implementa DTW .
  • La biblioteca ndtw para C# implementa DTW con varias opciones.
  • Sketch-a-Char utiliza Greedy DTW (implementado en JavaScript ) como parte del programa clasificador de símbolos de LaTeX.
  • El MatchBox implementa DTW para hacer coincidir los coeficientes cepstrales de frecuencia Mel de las señales de audio.
  • Promediado de secuencias : una implementación de DBA en Java bajo licencia GPL. [ 16 ]
  • El kit de herramientas de reconocimiento de gestos GRT ( Gestión de gestos en tiempo real) en C++ implementa DTW.
  • El paquete de software PyHubs implementa clasificadores DTW y de vecino más cercano, así como sus extensiones (clasificadores que tienen en cuenta la centralidad).
  • La biblioteca simpledtw de Python implementa el algoritmo clásico de programación dinámica O ( NM ) y se basa en NumPy . Admite valores de cualquier dimensión, así como el uso de funciones de norma personalizadas para las distancias. Está licenciada bajo la licencia MIT .
  • La biblioteca tslearn de Python implementa DTW en el contexto de series temporales.
  • La biblioteca cuTWED CUDA para Python implementa una técnica de vanguardia mejorada de Time Warp Edit Distance utilizando únicamente memoria lineal con mejoras de velocidad fenomenales.
  • DynamicAxisWarping.jl es una implementación en Julia de DTW y algoritmos relacionados como FastDTW, SoftDTW, GeneralDTW y DTW baricenters.
  • La función Multi_DTW implementa DTW para hacer coincidir dos matrices unidimensionales o archivos de voz bidimensionales (matriz bidimensional).
  • El paquete dtwParallel (Python) incorpora las principales funcionalidades disponibles en las bibliotecas DTW actuales y funcionalidades novedosas como la paralelización, el cálculo de valores de similitud (basados ​​en kernels) y la consideración de datos con diferentes tipos de características (categóricas, de valor real, etc.). [ 30 ]

Aplicaciones

Reconocimiento de palabras habladas

Debido a las diferentes velocidades de habla, se produce una fluctuación no lineal en el patrón de habla en función del eje temporal, que debe eliminarse. [ 31 ] La coincidencia DP es un algoritmo de coincidencia de patrones basado en programación dinámica (DP) , que utiliza un efecto de normalización temporal, donde las fluctuaciones en el eje temporal se modelan mediante una función de deformación temporal no lineal. Considerando dos patrones de habla cualesquiera, podemos eliminar sus diferencias de tiempo deformando el eje temporal de uno de ellos para que se alcance la máxima coincidencia con el otro. Además, si se permite que la función de deformación tome cualquier valor posible, se puede hacer muy poca distinción entre palabras que pertenecen a diferentes categorías. Por lo tanto, para mejorar la distinción entre palabras que pertenecen a diferentes categorías, se impusieron restricciones en la pendiente de la función de deformación.

Análisis de potencia de correlación

Los relojes inestables se utilizan para burlar los análisis de potencia ingenuos . Se emplean varias técnicas para contrarrestar esta defensa, una de las cuales es la distorsión temporal dinámica.

Finanzas y econometría

La deformación temporal dinámica se utiliza en finanzas y econometría para evaluar la calidad de la predicción en comparación con los datos del mundo real. [ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]

Véase también

Referencias

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  2. ↑ Gold, Omer; Sharir, Micha (2018). "Dynamic Time Warping and Geometric Edit Distance: Breaking the Quadratic Barrier". ACM Transactions on Algorithms . 14 (4). doi : 10.1145/3230734 . S2CID 52070903 . 
  3. ↑ Bringmann, Karl; Künnemann, Marvin (2015). "Límites inferiores condicionales cuadráticos para problemas de cadenas y alineación temporal dinámica" . 2015 IEEE 56th Annual Symposium on Foundations of Computer Science . pp. 79–97 . arXiv : 1502.01063 . doi : 10.1109/FOCS.2015.15 . ISBN  978-1-4673-8191-8. S2CID 1308171 . 
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Lecturas adicionales

  • Pavel Senin, Revisión del algoritmo de alineación temporal dinámica
  • Vintsyuk, TK (1968). "Discriminación del habla por programación dinámica". Kibernética . 4 : 81–88 .
  • Sakoe, H.; Chiba (1978). "Optimización de algoritmos de programación dinámica para el reconocimiento de palabras habladas". IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing . 26 (1): 43– 49. doi : 10.1109/tassp.1978.1163055 . S2CID 17900407 . 
  • Myers, CS; Rabiner, LR (1981). "Un estudio comparativo de varios algoritmos de alineación temporal dinámica para el reconocimiento de palabras conectadas". Bell System Technical Journal . 60 (7): 1389– 1409. doi : 10.1002/j.1538-7305.1981.tb00272.x . ISSN 0005-8580 . S2CID 12857347 .  
  • Rabiner, Lawrence; Juang, Biing-Hwang (1993). «Capítulo 4: Técnicas de comparación de patrones». Fundamentos del reconocimiento de voz . Englewood Cliffs, NJ: PTR Prentice Hall. ISBN 978-0-13-015157-5.
  • Müller, Meinard (2007). Dynamic Time Warping. En Information Retrieval for Music and Motion, capítulo 4, páginas 69-84 . Springer. doi : 10.1007/978-3-540-74048-3_4 . ISBN 978-3-540-74047-6.
  • Rakthanmanon, Thanawin (septiembre de 2013). "Abordando las series temporales de Big Data: Minería de billones de subsecuencias de series temporales bajo alineación temporal dinámica" . ACM Transactions on Knowledge Discovery from Data . 7 (3): 10:1–10:31. doi : 10.1145/2513092.2500489 . PMC 6790126. PMID 31607834 .