Representación del espacio de estados

La estabilidad y las características de respuesta natural de un sistema LTI de tiempo continuo (es decir, lineal con matrices que son constantes con respecto al tiempo) se pueden estudiar a partir de los valores propios de la matriz.${\displaystyle \mathbf {A} }$La estabilidad de un modelo de espacio de estados invariante en el tiempo se puede determinar observando la función de transferencia del sistema en forma factorizada. En ese caso, tendrá una forma similar a esta:

$${\displaystyle \mathbf {G} (s)=k{\frac {(s-z_{1})(s-z_{2})(s-z_{3})}{(s-p_{1})(s-p_{2})(s-p_{3})(s-p_{4})}}.}$$

El denominador de la función de transferencia es igual al polinomio característico que se obtiene al tomar el determinante de${\displaystyle s\mathbf {I} -\mathbf {A} }$, $${\displaystyle \lambda (s)=\left|s\mathbf {I} -\mathbf {A} \right|.}$$ Las raíces de este polinomio (los autovalores ) son los polos de la función de transferencia del sistema (es decir, las singularidades donde la magnitud de la función de transferencia no está acotada). Estos polos pueden utilizarse para analizar si el sistema es asintóticamente estable o marginalmente estable . Un enfoque alternativo para determinar la estabilidad, que no implica el cálculo de autovalores, consiste en analizar la estabilidad de Lyapunov del sistema .

Los ceros encontrados en el numerador de${\displaystyle \mathbf {G} (s)}$De manera similar, puede utilizarse para determinar si el sistema está en fase mínima .

El sistema puede seguir siendo estable en entrada-salida (véase estabilidad BIBO ) aunque no sea internamente estable. Esto puede ocurrir si los polos inestables se cancelan con ceros (es decir, si esas singularidades en la función de transferencia son eliminables ).

La condición de controlabilidad del estado implica que es posible  , mediante entradas admisibles  , dirigir los estados desde cualquier valor inicial a cualquier valor final dentro de una ventana de tiempo finita. Un modelo de espacio de estados lineal continuo e invariante en el tiempo es controlable si y solo si$${\displaystyle \operatorname {rank} {\begin{bmatrix}\mathbf {B} &\mathbf {A} \mathbf {B} &\mathbf {A} ^{2}\mathbf {B} &\cdots &\mathbf {A} ^{n-1}\mathbf {B} \end{bmatrix}}=n,}$$ donde rango es el número de filas linealmente independientes en una matriz, y donde n es el número de variables de estado.

La observabilidad es una medida de la capacidad de inferir los estados internos de un sistema a partir del conocimiento de sus salidas externas. La observabilidad y la controlabilidad de un sistema son duales matemáticas (es decir, así como la controlabilidad garantiza que se dispone de una entrada que lleva cualquier estado inicial a cualquier estado final deseado, la observabilidad garantiza que conocer la trayectoria de una salida proporciona información suficiente para predecir el estado inicial del sistema).

Un modelo de espacio de estados lineal continuo e invariante en el tiempo es observable si y solo si $${\displaystyle \operatorname {rank} {\begin{bmatrix}\mathbf {C} \\\mathbf {C} \mathbf {A} \\\vdots \\\mathbf {C} \mathbf {A} ^{n-1}\end{bmatrix}}=n.}$$

La " función de transferencia " de un modelo de espacio de estados lineal continuo e invariante en el tiempo se puede derivar de la siguiente manera:

Primero, tomando la transformada de Laplace de $${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$$

rendimientos $${\displaystyle s\mathbf {X} (s)-\mathbf {x} (0)=\mathbf {A} \mathbf {X} (s)+\mathbf {B} \mathbf {U} (s).}$$ A continuación, simplificamos para${\displaystyle \mathbf {X} (s)}$, donación $${\displaystyle (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )\mathbf {X} (s)=\mathbf {x} (0)+\mathbf {B} \mathbf {U} (s)}$$ y por lo tanto $${\displaystyle \mathbf {X} (s)=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {x} (0)+(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} \mathbf {U} (s).}$$

Sustituir por${\displaystyle \mathbf {X} (s)}$en la ecuación de salida

$${\displaystyle \mathbf {Y} (s)=\mathbf {C} \mathbf {X} (s)+\mathbf {D} \mathbf {U} (s),}$$ donación $${\displaystyle \mathbf {Y} (s)=\mathbf {C} ((s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {x} (0)+(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} \mathbf {U} (s))+\mathbf {D} \mathbf {U} (s).}$$

Suponiendo condiciones iniciales nulas${\displaystyle \mathbf {x} (0)=\mathbf {0} }$y en un sistema de entrada única y salida única (SISO) , la función de transferencia se define como la relación entre la salida y la entrada.${\displaystyle G(s)=Y(s)/U(s)}$Sin embargo , para un sistema de entrada múltiple y salida múltiple (MIMO) , esta relación no está definida. Por lo tanto, asumiendo condiciones iniciales nulas, la matriz de función de transferencia se deriva de $${\displaystyle \mathbf {Y} (s)=\mathbf {G} (s)\mathbf {U} (s)}$$

utilizando el método de igualación de coeficientes que produce

$${\displaystyle \mathbf {G} (s)=\mathbf {C} (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} +\mathbf {D} .}$$

Como consecuencia,${\displaystyle \mathbf {G} (s)}$es una matriz con la dimensión${\displaystyle q\times p}$que contiene funciones de transferencia para cada combinación de entrada y salida. Debido a la simplicidad de esta notación matricial, la representación en el espacio de estados se usa comúnmente para sistemas de múltiples entradas y múltiples salidas. La matriz del sistema de Rosenbrock proporciona un puente entre la representación en el espacio de estados y su función de transferencia .

Cualquier función de transferencia dada que sea estrictamente propia puede transformarse fácilmente en un espacio de estados mediante el siguiente enfoque (este ejemplo es para un sistema de 4 dimensiones, de una entrada y una salida):

Dada una función de transferencia, despliéguela para revelar todos los coeficientes tanto del numerador como del denominador. Esto debería dar como resultado la siguiente forma:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {G} (s)&={\frac {n_{1}s^{3}+n_{2}s^{2}+n_{3}s+n_{4}}{s^{4}+d_{1}s^{3}+d_{2}s^{2}+d_{3}s+d_{4}}}\\\\&={\frac {n_{1}s^{-1}+n_{2}s^{-2}+n_{3}s^{-3}+n_{4}s^{-4}}{1+d_{1}s^{-1}+d_{2}s^{-2}+d_{3}s^{-3}+d_{4}s^{-4}}}\ .\end{aligned}}}$$

Ahora, los coeficientes pueden insertarse directamente en el modelo de espacio de estados mediante el siguiente método: $${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\-d_{4}&-d_{3}&-d_{2}&-d_{1}\end{bmatrix}}\mathbf {x} (t)+{\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}}\mathbf {u} (t)}$$

$${\displaystyle \mathbf {y} (t)={\begin{bmatrix}n_{4}&n_{3}&n_{2}&n_{1}\end{bmatrix}}\mathbf {x} (t).}$$

Esta realización en el espacio de estados se denomina forma canónica controlable porque se garantiza que el modelo resultante sea controlable (es decir, debido a que el control entra en una cadena de integradores, tiene la capacidad de mover cada estado).

Los coeficientes de la función de transferencia también pueden utilizarse para construir otro tipo de forma canónica. $${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\begin{bmatrix}0&0&0&-d_{4}\\1&0&0&-d_{3}\\0&1&0&-d_{2}\\0&0&1&-d_{1}\end{bmatrix}}\mathbf {x} (t)+{\begin{bmatrix}n_{4}\\n_{3}\\n_{2}\\n_{1}\end{bmatrix}}\mathbf {u} (t)}$$$${\displaystyle \mathbf {y} (t)={\begin{bmatrix}0&0&0&1\end{bmatrix}}\mathbf {x} (t).}$$

Esta realización en el espacio de estados se denomina forma canónica observable porque se garantiza que el modelo resultante sea observable (es decir, debido a que la salida proviene de una cadena de integradores, cada estado tiene un efecto sobre la salida).

Las funciones de transferencia que son solo propias (y no estrictamente propias ) también se pueden realizar con bastante facilidad. El truco consiste en separar la función de transferencia en dos partes: una parte estrictamente propia y una constante. $${\displaystyle \mathbf {G} (s)=\mathbf {G} _{\mathrm {SP} }(s)+\mathbf {G} (\infty ).}$$

La función de transferencia estrictamente propia puede entonces transformarse en una realización canónica en el espacio de estados utilizando las técnicas mostradas anteriormente. La realización en el espacio de estados de la constante es trivialmente${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {G} (\infty )\mathbf {u} (t)}$. Juntos obtenemos entonces una realización en el espacio de estados con matrices A , B y C determinadas por la parte estrictamente propia, y matriz D determinada por la constante.

Aquí tenéis un ejemplo para aclarar un poco las cosas: $${\displaystyle \mathbf {G} (s)={\frac {s^{2}+3s+3}{s^{2}+2s+1}}={\frac {s+2}{s^{2}+2s+1}}+1}$$ lo que produce la siguiente realización controlable $${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\begin{bmatrix}-2&-1\\1&0\\\end{bmatrix}}\mathbf {x} (t)+{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\mathbf {u} (t)}$$$${\displaystyle \mathbf {y} (t)={\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}\mathbf {x} (t)+{\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}\mathbf {u} (t)}$$ Observe cómo la salida también depende directamente de la entrada. Esto se debe a la${\displaystyle \mathbf {G} (\infty )}$constante en la función de transferencia.

Un método común para la retroalimentación consiste en multiplicar la salida por una matriz K y establecer esto como entrada al sistema:${\displaystyle \mathbf {u} (t)=K\mathbf {y} (t)}$Dado que los valores de K no tienen restricciones, se pueden negar fácilmente para la retroalimentación negativa . La presencia de un signo negativo (la notación común) es meramente una cuestión de notación y su ausencia no afecta los resultados finales.

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)}$$$${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)}$$

se convierte

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+BK\mathbf {y} (t)}$$$${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+DK\mathbf {y} (t)}$$

resolver la ecuación de salida para${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$y al sustituir en la ecuación de estado se obtiene

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left(A+BK\left(I-DK\right)^{-1}C\right)\mathbf {x} (t)}$$$${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\left(I-DK\right)^{-1}C\mathbf {x} (t)}$$

La ventaja de esto es que los valores propios de A pueden controlarse ajustando K adecuadamente mediante la descomposición en valores propios de${\displaystyle \left(A+BK\left(I-DK\right)^{-1}C\right)}$Esto supone que el sistema de lazo cerrado es controlable o que los valores propios inestables de A pueden estabilizarse mediante una elección adecuada de K.

Además de la retroalimentación, una entrada,${\displaystyle r(t)}$, se puede agregar de tal manera que${\displaystyle \mathbf {u} (t)=-K\mathbf {y} (t)+\mathbf {r} (t)}$.

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)}$$$${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)}$$

se convierte

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)-BK\mathbf {y} (t)+B\mathbf {r} (t)}$$$${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)-DK\mathbf {y} (t)+D\mathbf {r} (t)}$$

resolver la ecuación de salida para${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$y al sustituir en la ecuación de estado se obtiene

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left(A-BK\left(I+DK\right)^{-1}C\right)\mathbf {x} (t)+B\left(I-K\left(I+DK\right)^{-1}D\right)\mathbf {r} (t)}$$$${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\left(I+DK\right)^{-1}C\mathbf {x} (t)+\left(I+DK\right)^{-1}D\mathbf {r} (t)}$$

Una simplificación bastante común de este sistema es eliminar D , lo que reduce las ecuaciones a

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left(A-BKC\right)\mathbf {x} (t)+B\mathbf {r} (t)}$$$${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)}$$

Un sistema lineal clásico es el del movimiento unidimensional de un objeto (por ejemplo, un carrito). Las leyes del movimiento de Newton para un objeto que se mueve horizontalmente sobre un plano y está sujeto a una pared mediante un resorte son:

$${\displaystyle m{\ddot {y}}(t)=u(t)-b{\dot {y}}(t)-ky(t)}$$

dónde

• ${\displaystyle y(t)}$es posición;${\displaystyle {\dot {y}}(t)}$es la velocidad;${\displaystyle {\ddot {y}}(t)}$es aceleración
• ${\displaystyle u(t)}$es una fuerza aplicada
• ${\displaystyle b}$es el coeficiente de fricción viscosa
• ${\displaystyle k}$es la constante del resorte
• ${\displaystyle m}$es la masa del objeto

La ecuación de estado quedaría entonces

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}(t)\\{\dot {\mathbf {x} }}_{2}(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\-{\frac {k}{m}}&-{\frac {b}{m}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{1}(t)\\\mathbf {x} _{2}(t)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0\\{\frac {1}{m}}\end{bmatrix}}\mathbf {u} (t)}$$$${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\left[{\begin{matrix}1&0\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\mathbf {x_{1}} (t)\\\mathbf {x_{2}} (t)\end{matrix}}\right]}$$

dónde

• ${\displaystyle x_{1}(t)}$representa la posición del objeto
• ${\displaystyle x_{2}(t)={\dot {x}}_{1}(t)}$es la velocidad del objeto
• ${\displaystyle {\dot {x}}_{2}(t)={\ddot {x}}_{1}(t)}$es la aceleración del objeto
• la salida${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$es la posición del objeto

La prueba de controlabilidad es entonces

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}B&AB\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}0\\{\frac {1}{m}}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}0&1\\-{\frac {k}{m}}&-{\frac {b}{m}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\{\frac {1}{m}}\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&{\frac {1}{m}}\\{\frac {1}{m}}&-{\frac {b}{m^{2}}}\end{bmatrix}}}$$

que tiene rango completo para todos${\displaystyle b}$y${\displaystyle m}$. Esto significa que si se conoce el estado inicial del sistema (${\displaystyle y(t)}$,${\displaystyle {\dot {y}}(t)}$,${\displaystyle {\ddot {y}}(t)}$), y si el${\displaystyle b}$y${\displaystyle m}$son constantes, entonces hay una fuerza${\displaystyle u}$que podría mover el carrito a cualquier otra posición en el sistema.

La prueba de observabilidad es entonces

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}C\\CA\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\-{\frac {k}{m}}&-{\frac {b}{m}}\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$$

que además tiene rango completo. Por lo tanto, este sistema es controlable y observable.

Un sistema no lineal clásico es un péndulo simple sin forzar.

$${\displaystyle m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}(t)=-m\ell g\sin \theta (t)-k\ell {\dot {\theta }}(t)}$$

dónde

• ${\displaystyle \theta (t)}$es el ángulo del péndulo con respecto a la dirección de la gravedad.
• ${\displaystyle m}$es la masa del péndulo (se supone que la masa de la varilla del péndulo es cero)
• ${\displaystyle g}$es la aceleración gravitacional
• ${\displaystyle k}$es el coeficiente de fricción en el punto de pivote
• ${\displaystyle \ell }$es el radio del péndulo (al centro de gravedad de la masa)${\displaystyle m}$)

Las ecuaciones de estado son entonces

$${\displaystyle {\dot {x}}_{1}(t)=x_{2}(t)}$$$${\displaystyle {\dot {x}}_{2}(t)=-{\frac {g}{\ell }}\sin {x_{1}}(t)-{\frac {k}{m\ell }}{x_{2}}(t)}$$

dónde

• ${\displaystyle x_{1}(t)=\theta (t)}$es el ángulo del péndulo
• ${\displaystyle x_{2}(t)={\dot {x}}_{1}(t)}$es la velocidad de rotación del péndulo
• ${\displaystyle {\dot {x}}_{2}={\ddot {x}}_{1}}$es la aceleración rotacional del péndulo

En cambio, la ecuación de estado se puede escribir en la forma general.

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}(t)\\{\dot {x}}_{2}(t)\end{bmatrix}}=\mathbf {f} (t,x(t))={\begin{bmatrix}x_{2}(t)\\-{\frac {g}{\ell }}\sin {x_{1}}(t)-{\frac {k}{m\ell }}{x_{2}}(t)\end{bmatrix}}.}$$

Los puntos de equilibrio / estacionarios de un sistema son cuando${\displaystyle {\dot {x}}=0}$y así los puntos de equilibrio de un péndulo son aquellos que satisfacen

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}n\pi \\0\end{bmatrix}}}$$

para enteros n .