Estabilidad marginal

En la teoría de sistemas dinámicos y la teoría de control , un sistema lineal invariante en el tiempo es marginalmente estable si no es ni asintóticamente estable ni inestable . En términos generales, un sistema es estable si siempre regresa a un estado particular (llamado estado estacionario ) y se mantiene cerca de él, y es inestable si se aleja cada vez más de cualquier estado, sin estar acotado. Un sistema marginal, a veces denominado de estabilidad neutral, ^{[ 1 ]} se encuentra entre estos dos tipos: cuando se desplaza, no regresa a un estado estacionario común cercano, ni se aleja indefinidamente de su punto de partida.

La estabilidad marginal, al igual que la inestabilidad, es una característica que la teoría de control busca evitar; deseamos que, al ser perturbado por alguna fuerza externa, un sistema regrese a un estado deseado. Esto requiere el uso de algoritmos de control diseñados adecuadamente.

En econometría , la presencia de una raíz unitaria en las series temporales observadas , que las vuelve marginalmente estables, puede conducir a resultados de regresión inválidos con respecto a los efectos de las variables independientes sobre una variable dependiente , a menos que se utilicen técnicas apropiadas para convertir el sistema en un sistema estable.

Un sistema lineal continuo homogéneo e invariante en el tiempo es marginalmente estable si y solo si la parte real de cada polo ( autovalor ) en la función de transferencia del sistema es no positiva , uno o más polos tienen parte real cero, y todos los polos con parte real cero son raíces simples (es decir, los polos en el eje imaginario son todos distintos entre sí). Por el contrario, si todos los polos tienen partes reales estrictamente negativas, el sistema es asintóticamente estable. Si el sistema no es ni estable ni marginalmente estable, es inestable.

Si el sistema está en representación de espacio de estados , la estabilidad marginal se puede analizar derivando la forma normal de Jordan : ^{[ 2 ]} si y solo si los bloques de Jordan correspondientes a polos con parte real cero son escalares es el sistema marginalmente estable.

Un sistema lineal homogéneo , discreto e invariante en el tiempo es marginalmente estable si y solo si la magnitud máxima de cualquiera de los polos (autovalores) de la función de transferencia es 1, y los polos con magnitud igual a 1 son todos distintos. Es decir, el radio espectral de la función de transferencia es 1. Si el radio espectral es menor que 1, el sistema es asintóticamente estable.

Un ejemplo sencillo involucra una única ecuación de diferencias lineal de primer orden : Supongamos que una variable de estado x evoluciona de acuerdo con

${\displaystyle x_{t}=ax_{t-1}}$

con parámetro a > 0. Si el sistema se perturba al valor${\displaystyle x_{0},}$su secuencia de valores subsiguiente es${\displaystyle ax_{0},\,a^{2}x_{0},\,a^{3}x_{0},\,\dots .}$Si a < 1, estos números se acercan cada vez más a 0 independientemente del valor inicial.${\displaystyle x_{0},}$mientras que si a > 1 los números se hacen cada vez más grandes sin límite. Pero si a = 1, los números no hacen ninguna de estas cosas: en cambio, todos los valores futuros de x son iguales al valor${\displaystyle x_{0}.}$Por lo tanto, el caso a = 1 presenta estabilidad marginal.

Un sistema marginalmente estable es aquel que, si se le aplica un impulso de magnitud finita como entrada, no "explotará" ni dará una salida ilimitada, pero tampoco la salida volverá a cero. Un desplazamiento acotado u oscilaciones en la salida persistirán indefinidamente, por lo que, en general, no habrá una salida final de estado estacionario. Si a un sistema continuo se le aplica una entrada con una frecuencia igual a la frecuencia de un polo con parte real cero, la salida del sistema aumentará indefinidamente (esto se conoce como resonancia pura ^{[ 3 ]} ). Esto explica por qué, para que un sistema sea estable BIBO , las partes reales de los polos deben ser estrictamente negativas (y no solo no positivas).

Un sistema continuo con polos imaginarios, es decir, con parte real cero en el/los polo(s), producirá oscilaciones sostenidas en la salida. Por ejemplo, un sistema de segundo orden sin amortiguación, como el sistema de suspensión de un automóvil (un sistema masa-resorte-amortiguador ), del cual se ha eliminado el amortiguador y el resorte es ideal, es decir, sin fricción, oscilará en teoría indefinidamente una vez perturbado. Otro ejemplo es un péndulo sin fricción . Un sistema con un polo en el origen también es marginalmente estable, pero en este caso no habrá oscilación en la respuesta, ya que la parte imaginaria también es cero ( jw  =  0 significa w  =  0  rad/s). Un ejemplo de tal sistema es una masa sobre una superficie con fricción. Cuando se aplica un impulso lateral, la masa se moverá y nunca volverá a cero. Sin embargo, la masa se detendrá debido a la fricción, y el movimiento lateral permanecerá limitado.

Dado que la ubicación de los polos marginales debe estar exactamente sobre el eje imaginario o el círculo unitario (para sistemas de tiempo continuo y discreto respectivamente) para que un sistema sea marginalmente estable, es poco probable que esta situación ocurra en la práctica a menos que la estabilidad marginal sea una característica teórica inherente del sistema.

La estabilidad marginal es también un concepto importante en el contexto de la dinámica estocástica . Por ejemplo, algunos procesos pueden seguir un paseo aleatorio , dado en tiempo discreto como

${\displaystyle x_{t}=x_{t-1}+e_{t},}$

dónde${\displaystyle e_{t}}$es un término de error i.i.d. Esta ecuación tiene una raíz unitaria (un valor de 1 para el valor propio de su ecuación característica ) y, por lo tanto, exhibe estabilidad marginal, por lo que se deben utilizar técnicas especiales de series temporales para modelar empíricamente un sistema que contenga dicha ecuación.

Los procesos de Markov marginalmente estables son aquellos que poseen clases recurrentes nulas .

• estabilidad de Lyapunov
• Estabilidad exponencial