Función de transferencia

Las descripciones se dan en términos de una variable compleja ,${\displaystyle s=\sigma +j\cdot \omega }$En muchas aplicaciones basta con establecer${\displaystyle \sigma =0}$(de este modo${\displaystyle s=j\cdot \omega }$), que reduce las transformadas de Laplace con argumentos complejos a transformadas de Fourier con el argumento real ω. Esto es común en aplicaciones interesadas principalmente en la respuesta en estado estacionario del sistema LTI (a menudo el caso en el procesamiento de señales y la teoría de la comunicación ), no en la respuesta transitoria fugaz de encendido y apagado o los problemas de estabilidad.

Para señal de entrada de tiempo continuo${\displaystyle x(t)}$y salida${\displaystyle y(t)}$, dividiendo la transformada de Laplace de la salida,${\displaystyle Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}}$, mediante la transformada de Laplace de la entrada,${\displaystyle X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}}$, produce la función de transferencia del sistema${\displaystyle H(s)}$:

${\displaystyle H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}}{{\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}}}}$

que se puede reorganizar como:

${\displaystyle Y(s)=H(s)\;X(s)\,.}$

Las señales de tiempo discreto se pueden notar como matrices indexadas por un número entero.${\displaystyle n}$(p.ej${\displaystyle x[n]}$para su entrada y${\displaystyle y[n]}$para la salida). En lugar de utilizar la transformada de Laplace (que es mejor para señales de tiempo continuo), las señales de tiempo discreto se tratan utilizando la transformada Z (notada con una letra mayúscula correspondiente, como${\displaystyle X(z)}$y${\displaystyle Y(z)}$), por lo que la función de transferencia de un sistema de tiempo discreto se puede escribir como:

$${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {{\mathcal {Z}}\{y[n]\}}{{\mathcal {Z}}\{x[n]\}}}.}$$

Una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes

${\displaystyle L[u]={\frac {d^{n}u}{dt^{n}}}+a_{1}{\frac {d^{n-1}u}{dt^{n-1}}}+\dotsb +a_{n-1}{\frac {du}{dt}}+a_{n}u=r(t)}$

donde u y r son funciones suficientemente suaves de t , tiene L como el operador definido en el espacio de funciones relevante que transforma u en r . Ese tipo de ecuación se puede utilizar para restringir la función de salida u en términos de la función de forzamiento r . La función de transferencia se puede utilizar para definir un operador.${\displaystyle F[r]=u}$que sirve como inverso derecho de L , lo que significa que ${\displaystyle L[F[r]]=r}$.

Soluciones de la ecuación diferencial homogénea de coeficientes constantes${\displaystyle L[u]=0}$se puede encontrar intentando${\displaystyle u=e^{\lambda t}}$Esa sustitución produce el polinomio característico .

${\displaystyle p_{L}(\lambda )=\lambda ^{n}+a_{1}\lambda ^{n-1}+\dotsb +a_{n-1}\lambda +a_{n}\,}$

El caso no homogéneo se puede resolver fácilmente si la función de entrada r también tiene la forma${\displaystyle r(t)=e^{st}}$. Sustituyendo${\displaystyle u=H(s)e^{st}}$,${\displaystyle L[H(s)e^{st}]=e^{st}}$si definimos

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{p_{L}(s)}}\qquad {\text{wherever }}\quad p_{L}(s)\neq 0.}$

Se utilizan otras definiciones de la función de transferencia, por ejemplo${\displaystyle 1/p_{L}(ik).}$^{[ 6 ]}

Una entrada sinusoidal general a un sistema de frecuencia${\displaystyle \omega _{0}/(2\pi )}$puede estar escrito${\displaystyle \exp(j\omega _{0}t)}$. La respuesta de un sistema a una entrada sinusoidal que comienza en el tiempo${\displaystyle t=0}$Consistirá en la suma de la respuesta en estado estacionario y una respuesta transitoria. La respuesta en estado estacionario es la salida del sistema en el límite de tiempo infinito, y la respuesta transitoria es la diferencia entre la respuesta y la respuesta en estado estacionario; corresponde a la solución homogénea de la ecuación diferencial . La función de transferencia para un sistema LTI se puede escribir como el producto:

${\displaystyle H(s)=\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{s-s_{P_{i}}}}}$

donde s _{P i} son las N raíces del polinomio característico y serán los polos de la función de transferencia. En una función de transferencia con un solo polo${\displaystyle H(s)={\frac {1}{s-s_{P}}}}$dónde${\displaystyle s_{P}=\sigma _{P}+j\omega _{P}}$La transformada de Laplace de una sinusoide general de amplitud unitaria será${\displaystyle {\frac {1}{s-j\omega _{0}}}}$La transformada de Laplace de la salida será${\displaystyle {\frac {H(s)}{s-j\omega _{0}}}}$y la salida temporal será la transformada inversa de Laplace de esa función:

${\displaystyle g(t)={\frac {e^{j\,\omega _{0}\,t}-e^{(\sigma _{P}+j\,\omega _{P})t}}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}}$

El segundo término del numerador es la respuesta transitoria, y en el límite de tiempo infinito divergirá hacia el infinito si σ _P es positivo. Para que un sistema sea estable, su función de transferencia no debe tener polos cuyas partes reales sean positivas. Si la función de transferencia es estrictamente estable, las partes reales de todos los polos serán negativas y el comportamiento transitorio tenderá a cero en el límite de tiempo infinito. La salida en estado estacionario será:

${\displaystyle g(\infty )={\frac {e^{j\,\omega _{0}\,t}}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}}$

La respuesta en frecuencia (o "ganancia") G del sistema se define como el valor absoluto de la relación entre la amplitud de salida y la amplitud de entrada en estado estacionario:

${\displaystyle G(\omega _{i})=\left|{\frac {1}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}\right|={\frac {1}{\sqrt {\sigma _{P}^{2}+(\omega _{P}-\omega _{0})^{2}}}},}$

que es el valor absoluto de la función de transferencia${\displaystyle H(s)}$evaluado en${\displaystyle j\omega _{i}}$Este resultado es válido para cualquier número de polos de la función de transferencia.

El comportamiento en estado estacionario de un sistema lineal

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}y^{(i)}+\sum _{j=0}^{m}b_{j}u^{(j)}=0}$

para excitación sinusoidal${\displaystyle u(t)=\sin(\omega t)}$puede expresarse en términos de su función de transferencia

${\displaystyle g(s)={\frac {b_{m}s^{m}+...+b_{0}}{a_{n}s^{n}+...+a_{0}}},}$

evaluado en${\displaystyle s=j\omega }$, es decir, con parte real${\displaystyle \sigma =0}$:

${\displaystyle y(t)=|g(j\omega )|\sin(\omega t+\arg(g(j\omega ))).}$

Para demostrar esto, utilice la función ansatz.

${\displaystyle y(t)=ce^{j\omega t},}$

Sustitúyalo en la ecuación diferencial dada anteriormente y resuelva para${\displaystyle c}$y tenga en cuenta que${\displaystyle c=g(j\omega )}$.

Desde la identidad compleja${\displaystyle z=|z|e^{j\arg(z)}}$El argumento es el siguiente.

Aunque cualquier sistema LTI puede describirse mediante alguna función de transferencia, se suelen utilizar "familias" de funciones de transferencia especiales:

• Filtro Butterworth  : máxima planitud en la banda de paso y en la banda de rechazo para el orden dado.
• Filtro Chebyshev (Tipo I)  : máximamente plano en la banda de rechazo, corte más pronunciado que un filtro Butterworth del mismo orden.
• Filtro Chebyshev (Tipo II)  : máxima planitud en la banda de paso, corte más pronunciado que un filtro Butterworth del mismo orden.
• Filtro de Bessel : retardo de grupo  máximamente constante para un orden dado.
• Filtro elíptico  : corte más pronunciado (transición más estrecha entre la banda de paso y la banda de rechazo) para el orden dado.
• Filtro "L" óptimo
• Filtro gaussiano  : retardo de grupo mínimo; no produce sobreimpulso en una función escalón.
• Filtro de coseno elevado