Matriz de función de transferencia

En la teoría de sistemas de control y en diversas ramas de la ingeniería, una matriz de función de transferencia , o simplemente matriz de transferencia, es una generalización de las funciones de transferencia de sistemas de entrada única y salida única (SISO) a sistemas de entrada múltiple y salida múltiple (MIMO). ^{[ 1 ]} La matriz relaciona las salidas del sistema con sus entradas. Es una construcción particularmente útil para sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI) porque puede expresarse en términos del plano s .

En algunos sistemas, especialmente aquellos compuestos enteramente por componentes pasivos , puede resultar ambiguo determinar qué variables son entradas y cuáles son salidas. En ingeniería eléctrica, un esquema común consiste en agrupar todas las variables de voltaje en un lado y todas las variables de corriente en el otro, independientemente de cuáles sean entradas o salidas. Esto da como resultado que todos los elementos de la matriz de transferencia estén expresados ​​en unidades de impedancia . El concepto de impedancia (y, por lo tanto, las matrices de impedancia) se ha adoptado por analogía en otros ámbitos de la energía, especialmente en mecánica y acústica.

Muchos sistemas de control abarcan varios dominios energéticos diferentes. Esto requiere matrices de transferencia con elementos en unidades mixtas. Esto es necesario tanto para describir los transductores que conectan los dominios como para describir el sistema en su conjunto. Para que la matriz modele correctamente los flujos de energía en el sistema, deben elegirse variables compatibles que lo permitan.

Un sistema MIMO con m salidas y n entradas se representa mediante una matriz m × n . Cada entrada de la matriz es una función de transferencia que relaciona una salida con una entrada. Por ejemplo, para un sistema de tres entradas y dos salidas, se podría escribir, donde u _n son las entradas, y _m son las salidas y g _mn son las funciones de transferencia. Esto se puede escribir de forma más concisa en notación de operadores matriciales como, donde Y es un vector columna de las salidas, G es una matriz de las funciones de transferencia y U es un vector columna de las entradas. $${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}g_{11}&g_{12}&g_{13}\\g_{21}&g_{22}&g_{23}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {G} \mathbf {U} }$$

En muchos casos, el sistema considerado es un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI). En tales casos, resulta conveniente expresar la matriz de transferencia en términos de la transformada de Laplace (en el caso de variables de tiempo continuo ) o la transformada Z (en el caso de variables de tiempo discreto ) de las variables. Esto puede indicarse escribiendo, por ejemplo, lo que indica que las variables y la matriz están en términos de s , la variable de frecuencia compleja del plano s que surge de las transformadas de Laplace, en lugar del tiempo. Se asume que todos los ejemplos de este artículo tienen esta forma, aunque no se indica explícitamente por brevedad. Para sistemas de tiempo discreto, s se reemplaza por z de la transformada Z, pero esto no afecta al análisis posterior. La matriz es particularmente útil cuando es una matriz racional propia , es decir, todos sus elementos son funciones racionales propias . En este caso, se puede aplicar la representación en el espacio de estados . ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \mathbf {Y} (s)=\mathbf {G} (s)\mathbf {U} (s)}$$

En ingeniería de sistemas, la matriz de transferencia del sistema global G ( s ) se descompone en dos partes: H ( s ), que representa el sistema controlado, y C ( s ), que representa el sistema de control. C ( s ) toma como entradas las entradas de G ( s ) y las salidas de H ( s ) . Las salidas de C ( s ) forman las entradas de H ( s ) . ^{[ 3 ]}

En los sistemas eléctricos, a menudo la distinción entre variables de entrada y salida es ambigua. Pueden ser cualquiera de las dos, dependiendo de las circunstancias y el punto de vista. En tales casos, el concepto de puerto (un lugar donde se transfiere energía de un sistema a otro) puede ser más útil que la distinción entre entrada y salida. Es habitual definir dos variables para cada puerto ( p ): la tensión en él ( Vp ) y la corriente que entra en él ( Ip ). Por ejemplo, la matriz de transferencia de una red _de dos puertos se puede definir de la siguiente manera, donde los zmn se denominan parámetros _de impedancia o _parámetros z . Se llaman así porque están en unidades de impedancia y relacionan las corrientes de los puertos con una tensión de puerto. Los parámetros z no son la única forma de definir matrices de transferencia para redes de dos puertos. Seis matrices básicas relacionan tensiones y corrientes, cada una con ventajas para topologías de red de sistemas particulares. ^{[ 4 ]} Sin embargo, solo dos de ellas se pueden extender más allá de dos puertos a un número arbitrario de puertos. Estos dos son los parámetros z y su inverso, los parámetros de admitancia o parámetros y . ^{[ 5 ]}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}}$$

Para comprender la relación entre los voltajes y corrientes de los puertos, así como entre las entradas y salidas, consideremos un circuito divisor de voltaje simple _. Si solo deseamos considerar el voltaje de salida (V₂) resultante de aplicar el voltaje de entrada (V₁ ) , la función _de transferencia se puede expresar como, lo que puede considerarse el caso trivial de una matriz de transferencia de 1×1. Esta expresión predice correctamente el voltaje de salida si no hay corriente saliendo del puerto 2, pero se vuelve cada vez más imprecisa a medida que aumenta la carga. Sin embargo, si intentamos usar el circuito a la inversa, alimentándolo con un voltaje en el puerto 2 y calculando el voltaje resultante en el puerto 1, la expresión da un resultado completamente erróneo incluso sin carga en el puerto 1. Predice un voltaje mayor en el puerto 1 que el aplicado en el puerto 2, lo cual es imposible con un circuito puramente resistivo como este. Para predecir correctamente el comportamiento del circuito, también se deben tener en cuenta las corrientes que entran o salen de los puertos, que es lo que hace la matriz de transferencia. ^{[ 6 ]} La matriz de impedancia para el circuito divisor de voltaje es, que describe completamente su comportamiento bajo todas las condiciones de entrada y salida. ^{[ 7 ]}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}R_{1}+R_{2}&R_{2}\\R_{2}&R_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}}$$

En frecuencias de microondas , ninguna de las matrices de transferencia basadas en voltajes y corrientes de puerto resulta práctica. El voltaje es difícil de medir directamente, la corriente prácticamente imposible, y los circuitos abiertos y cortocircuitos requeridos por la técnica de medición no se pueden lograr con precisión. Para implementaciones de guía de ondas , el voltaje y la corriente del circuito carecen por completo de sentido. En su lugar, se utilizan matrices de transferencia que emplean diferentes tipos de variables. Estas son las potencias transmitidas hacia y desde un puerto, que se miden fácilmente en la tecnología de línea de transmisión utilizada en circuitos de elementos distribuidos en la banda de microondas. El más conocido y utilizado de estos parámetros son los parámetros de dispersión , o parámetros s. ^{[ 8 ]}

El concepto de impedancia puede extenderse a los dominios mecánico y otros mediante una analogía mecánico-eléctrica ; por lo tanto, los parámetros de impedancia y otras formas de parámetros de redes de dos puertos también pueden extenderse al dominio mecánico. Para ello, una variable de esfuerzo y una variable de flujo se convierten en análogos de voltaje y corriente, respectivamente. Para sistemas mecánicos en traslación, estas variables son fuerza y ​​velocidad, respectivamente. ^{[ 9 ]}

Expresar el comportamiento de un componente mecánico como un sistema de dos o múltiples puertos con una matriz de transferencia es útil porque, al igual que los circuitos eléctricos, el componente a menudo puede funcionar en sentido inverso y su comportamiento depende de las cargas en las entradas y salidas. Por ejemplo, un tren de engranajes se caracteriza a menudo simplemente por su relación de transmisión, una función de transferencia SISO. Sin embargo, el eje de salida de la caja de engranajes puede girar para hacer girar el eje de entrada, lo que requiere un análisis MIMO. En este ejemplo, las variables de esfuerzo y flujo son el par T y la velocidad angular ω , respectivamente. La matriz de transferencia en términos de parámetros z tendrá el siguiente aspecto: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{1}\\T_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}}$$

Sin embargo, los parámetros z no son necesariamente los más convenientes para caracterizar trenes de engranajes. Un tren de engranajes es el análogo de un transformador eléctrico y los parámetros h ( parámetros híbridos ) describen mejor los transformadores porque incluyen directamente las relaciones de espiras (el análogo de las relaciones de engranajes). ^{[ 10 ]} La matriz de transferencia de la caja de engranajes en formato de parámetros h es, donde h ₂₁ es la relación de velocidad del tren de engranajes sin carga en la salida, h ₁₂ es la relación de par en dirección inversa del tren de engranajes con el eje de entrada fijo, igual a la relación de velocidad directa para una caja de engranajes ideal, h ₁₁ es la impedancia mecánica rotacional de entrada sin carga en el eje de salida, cero para una caja de engranajes ideal, y h ₂₂ es la admitancia mecánica rotacional de salida con el eje de entrada fijo. $${\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\T_{2}\end{bmatrix}}}$$

Para un tren de engranajes ideal sin pérdidas (fricción, distorsión, etc.), esto se simplifica a, donde N es la relación de transmisión. ^{[ 11 ]}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&N\\N&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\T_{2}\end{bmatrix}}}$$

En un sistema que consta de múltiples dominios energéticos, se requieren matrices de transferencia capaces de gestionar componentes con puertos en diferentes dominios. En robótica y mecatrónica , se requieren actuadores . Estos suelen consistir en un transductor que convierte, por ejemplo, señales del sistema de control en el dominio eléctrico en movimiento en el dominio mecánico. El sistema de control también requiere sensores que detecten el movimiento y lo conviertan de nuevo al dominio eléctrico mediante otro transductor, de modo que el movimiento pueda controlarse adecuadamente a través de un bucle de retroalimentación. Otros sensores del sistema pueden ser transductores que convierten otros dominios energéticos en señales eléctricas, como ópticas, de audio, térmicas, de flujo de fluidos y químicas. Otra aplicación es el campo de los filtros mecánicos , que requieren transductores entre los dominios eléctrico y mecánico en ambas direcciones.

Un ejemplo sencillo es un actuador electromecánico electromagnético accionado por un controlador electrónico. Esto requiere un transductor con un puerto de entrada en el dominio eléctrico y un puerto de salida en el dominio mecánico. Esto podría representarse de forma simplificada mediante una función de transferencia SISO, pero por razones similares a las ya mencionadas, se obtiene una representación más precisa con una matriz de transferencia MIMO de dos entradas y dos salidas. En los parámetros z, esto toma la forma, donde F es la fuerza aplicada al actuador y v es la velocidad resultante del actuador. Los parámetros de impedancia aquí son una mezcla de unidades; z ₁₁ es una impedancia eléctrica, z ₂₂ es una impedancia mecánica y las otras dos son transimpedancias en una mezcla híbrida de unidades. ^{[ 12 ]}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}V\\F\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I\\v\end{bmatrix}}}$$

Los sistemas acústicos son un subconjunto de la dinámica de fluidos , y en ambos campos las variables primarias de entrada y salida son la presión , P , y el caudal volumétrico , Q , excepto en el caso del sonido que viaja a través de componentes sólidos. En este último caso, las variables primarias de la mecánica, fuerza y ​​velocidad, son más apropiadas. Un ejemplo de un componente acústico de dos puertos es un filtro como un silenciador en un sistema de escape . Una representación de matriz de transferencia del mismo podría ser: Aquí, los T _mn son los parámetros de transmisión, también conocidos como parámetros ABCD . El componente puede describirse igualmente fácilmente mediante los parámetros z, pero los parámetros de transmisión tienen una ventaja matemática cuando se trata de un sistema de dos puertos conectados en cascada, con la salida de uno en el puerto de entrada del otro. En tales casos, los parámetros de transmisión generales se obtienen simplemente mediante la multiplicación matricial de las matrices de parámetros de transmisión de los componentes constituyentes. ^{[ 13 ]}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}P_{2}\\Q_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}P_{1}\\Q_{1}\end{bmatrix}}}$$

Al trabajar con variables mixtas de diferentes dominios energéticos, es necesario considerar qué variables se considerarán análogas. La elección depende del objetivo del análisis. Si se desea modelar correctamente los flujos de energía en todo el sistema, un par de variables cuyo producto sea la potencia (variables conjugadas de potencia) en un dominio energético deben corresponder a variables conjugadas de potencia en otros dominios. Las variables conjugadas de potencia no son únicas, por lo que se debe tener cuidado de utilizar la misma correspondencia de variables en todo el sistema. ^{[ 14 ]}

Un mapeo común (utilizado en algunos de los ejemplos de este artículo) relaciona las variables de esfuerzo (aquellas que inician una acción) de cada dominio y relaciona las variables de flujo (aquellas que son una propiedad de una acción) de cada dominio. Cada par de variables de esfuerzo y flujo es conjugado en potencia. Este sistema se conoce como analogía de impedancia porque la relación entre la variable de esfuerzo y la de flujo en cada dominio es análoga a la impedancia eléctrica. ^{[ 15 ]}

Existen otros dos sistemas de potencia conjugada que utilizan las mismas variables. La analogía de movilidad relaciona la fuerza mecánica con la corriente eléctrica en lugar de con el voltaje. Esta analogía es ampliamente utilizada por los diseñadores de filtros mecánicos y también frecuentemente en electrónica de audio. La relación tiene la ventaja de preservar las topologías de red entre dominios, pero no mantiene la relación de impedancias. La analogía de Trent clasifica las variables de potencia conjugada como variables transversales o variables transversales , dependiendo de si actúan a través de un elemento del sistema o a través de él. Esto resulta prácticamente igual que la analogía de movilidad, excepto en el caso del dominio del flujo de fluidos (incluido el dominio acústico). Aquí, la presión se considera análoga al voltaje (como en la analogía de impedancia) en lugar de a la corriente (como en la analogía de movilidad). Sin embargo, la fuerza en el dominio mecánico es análoga a la corriente porque la fuerza actúa a través de un objeto. ^{[ 9 ]}

Existen algunas analogías de uso común que no utilizan pares conjugados de potencia. Para los sensores, modelar correctamente los flujos de energía puede no ser tan importante. Los sensores suelen extraer cantidades ínfimas de energía para el sistema. Elegir variables que sean fáciles de medir, especialmente aquellas que el sensor detecta, puede resultar más útil. Por ejemplo, en la analogía de la resistencia térmica , esta se considera análoga a la resistencia eléctrica, lo que da como resultado que la diferencia de temperatura y la potencia térmica se correspondan con el voltaje y la corriente, respectivamente. El conjugado de potencia de la diferencia de temperatura no es la potencia térmica, sino la tasa de flujo de entropía , algo que no se puede medir directamente. Otra analogía similar se da en el dominio magnético . Esta analogía relaciona la reluctancia magnética con la resistencia eléctrica, lo que da como resultado que el flujo magnético se corresponda con la corriente en lugar de la tasa de cambio del flujo magnético, como se requiere para variables compatibles. ^{[ 16 ]}

La representación matricial de ecuaciones algebraicas lineales se conoce desde hace tiempo. Henri Poincaré, en 1907, fue el primero en describir un transductor como un par de ecuaciones que relacionan variables eléctricas (voltaje y corriente) con variables mecánicas (fuerza y ​​velocidad). ^{[ 17 ]} Wegel, en 1921, fue el primero en expresar estas ecuaciones en términos de impedancia mecánica, además de impedancia eléctrica. ^{[ 18 ]}

El primer uso de matrices de transferencia para representar un sistema de control MIMO fue realizado por Boksenbom y Hood (1950) , pero solo para el caso particular de los motores de turbina de gas que estaban estudiando para el Comité Asesor Nacional de Aeronáutica . ^{[ 19 ]} Cruickshank proporcionó una base más sólida en 1955, pero sin una generalidad completa. ^{[ 20 ]} Kavanagh en 1956 dio el primer tratamiento completamente general, estableciendo la relación matricial entre el sistema y el control y proporcionando criterios para la realizabilidad de un sistema de control que pudiera proporcionar un comportamiento prescrito del sistema bajo control. ^{[ 21 ]}

• Método de matriz de transferencia (óptica)

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