Método de matriz de transferencia (óptica)

El método de la matriz de transferencia es un método utilizado en óptica y acústica para analizar la propagación de ondas electromagnéticas o acústicas a través de un medio estratificado : una pila de películas delgadas . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Esto es relevante, por ejemplo, para el diseño de recubrimientos antirreflectantes y espejos dieléctricos .

La reflexión de la luz en una única interfaz entre dos medios se describe mediante las ecuaciones de Fresnel . Sin embargo, cuando existen múltiples interfaces , como se muestra en la figura, las reflexiones también se transmiten parcialmente y luego se reflejan parcialmente. Dependiendo de la longitud exacta del recorrido, estas reflexiones pueden interferir destructivamente o constructivamente. La reflexión total de una estructura de capas es la suma de un número infinito de reflexiones.

El método de la matriz de transferencia se basa en el hecho de que, según las ecuaciones de Maxwell , existen condiciones de continuidad simples para el campo eléctrico a través de los límites entre un medio y otro. Si se conoce el campo al inicio de una capa, el campo al final de la misma se puede obtener mediante una simple operación matricial . Un conjunto de capas se puede representar como una matriz del sistema, que es el producto de las matrices de las capas individuales. El paso final del método consiste en convertir la matriz del sistema de nuevo en coeficientes de reflexión y transmisión .

A continuación se describe cómo se aplica la matriz de transferencia a ondas electromagnéticas (por ejemplo, luz) de una frecuencia dada que se propagan a través de una pila de capas con incidencia normal . Se puede generalizar para tratar incidencia en un ángulo, medios absorbentes y medios con propiedades magnéticas . Suponemos que las capas de la pila son normales al eje y que el campo dentro de una capa se puede representar como la superposición de una onda que viaja hacia la izquierda y otra hacia la derecha con número de onda , ${\displaystyle z\,}$${\displaystyle k\,}$

${\displaystyle E(z)=E_{r}e^{ikz}+E_{l}e^{-ikz}\,}$.

Dado que de la ecuación de Maxwell se deduce que el campo eléctrico y el campo magnético (su derivada normalizada) deben ser continuos a través de un límite, es conveniente representar el campo como el vector , donde ${\displaystyle E\,}$${\textstyle H={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE}{dz}}\,}$${\textstyle (E(z),H(z))\,}$

${\displaystyle H(z)={\frac {1}{Z_{c}}}E_{r}e^{ikz}-{\frac {1}{Z_{c}}}E_{l}e^{-ikz}\,}$.

Dado que hay dos ecuaciones que relacionan y con y , estas dos representaciones son equivalentes. En la nueva representación, la propagación a lo largo de una distancia en la dirección positiva de se describe mediante la matriz perteneciente al grupo lineal especial SL( 2 , C ).${\displaystyle E\,}$${\displaystyle H\,}$${\displaystyle E_{r}\,}$${\displaystyle E_{l}\,}$${\displaystyle L\,}$${\displaystyle z\,}$

${\displaystyle M=\left({\begin{array}{cc}\cos kL&iZ_{c}\sin kL\\{\frac {i}{Z_{c}}}\sin kL&\cos kL\end{array}}\right),}$

y

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}E(z+L)\\H(z+L)\end{array}}\right)=M\cdot \left({\begin{array}{c}E(z)\\H(z)\end{array}}\right)}$

Dicha matriz puede representar la propagación a través de una capa si es el número de onda en el medio y el espesor de la capa: Para un sistema con capas, cada capa tiene una matriz de transferencia , donde aumenta hacia valores más altos. La matriz de transferencia del sistema es entonces ${\displaystyle k\,}$${\displaystyle L\,}$${\displaystyle N\,}$${\displaystyle j\,}$${\displaystyle M_{j}\,}$${\displaystyle j\,}$${\displaystyle z\,}$

${\displaystyle M_{s}=M_{N}\cdot \ldots \cdot M_{2}\cdot M_{1}.}$

Normalmente, uno querría conocer la reflectancia y la transmitancia de la estructura de capas. Si la pila de capas comienza en , entonces para valores negativos de , el campo se describe como ${\displaystyle z=0\,}$${\displaystyle z\,}$

${\displaystyle E_{L}(z)=E_{0}e^{ik_{L}z}+rE_{0}e^{-ik_{L}z},\qquad z<0,}$

donde es la amplitud de la onda incidente, el número de onda en el medio izquierdo, y es el coeficiente de reflectancia de amplitud (¡no de intensidad!) de la estructura de capas. En el otro lado de la estructura de capas, el campo consiste en un campo transmitido que se propaga hacia la derecha. ${\displaystyle E_{0}\,}$${\displaystyle k_{L}\,}$${\displaystyle r\,}$

${\displaystyle E_{R}(z)=tE_{0}e^{ik_{R}z},\qquad z>L',}$

donde es la transmitancia de amplitud, es el número de onda en el medio más a la derecha y es el espesor total. Si y , entonces se puede resolver ${\displaystyle t\,}$${\displaystyle k_{R}\,}$${\displaystyle L'}$${\textstyle H_{L}={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE_{L}}{dz}}\,}$${\textstyle H_{R}={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE_{R}}{dz}}\,}$

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}E(z_{R})\\H(z_{R})\end{array}}\right)=M\cdot \left({\begin{array}{c}E(0)\\H(0)\end{array}}\right)}$

en términos de los elementos de la matriz del sistema y obtener ${\displaystyle M_{mn}\,}$${\displaystyle M_{s}\,}$

${\displaystyle t=2ik_{L}e^{-ik_{R}L}\left[{\frac {1}{-M_{21}+k_{L}k_{R}M_{12}+i(k_{R}M_{11}+k_{L}M_{22})}}\right]}$

y

${\displaystyle r=\left[{\frac {(M_{21}+k_{L}k_{R}M_{12})+i(k_{L}M_{22}-k_{R}M_{11})}{(-M_{21}+k_{L}k_{R}M_{12})+i(k_{L}M_{22}+k_{R}M_{11})}}\right]}$.

La transmitancia y la reflectancia (es decir, las fracciones de la intensidad incidente transmitida y reflejada por la capa) suelen ser de mayor utilidad práctica y vienen dadas por y , respectivamente (en incidencia normal). ${\textstyle \left|E_{0}\right|^{2}}$${\textstyle T={\frac {k_{R}}{k_{L}}}|t|^{2}\,}$${\displaystyle R=|r|^{2}\,}$

Como ejemplo, consideremos una sola capa de vidrio con un índice de refracción n y un espesor d suspendida en el aire a un número de onda k (en el aire). En el vidrio, el número de onda es . La matriz de transferencia es ${\displaystyle k'=nk\,}$

${\displaystyle M=\left({\begin{array}{cc}\cos k'd&\sin(k'd)/k'\\-k'\sin k'd&\cos k'd\end{array}}\right)}$.

El coeficiente de reflexión de amplitud se puede simplificar a

${\displaystyle r={\frac {(1/nn)\sin(k'd)}{(n+1/n)\sin(k'd)+2i\cos(k'd)}}}$.

Esta configuración describe eficazmente un interferómetro Fabry-Pérot o etalón: para , la reflexión desaparece. ${\textstyle k'd=0,\pi ,2\pi ,\cdots \,}$

Es posible aplicar el método de la matriz de transferencia a las ondas sonoras. En lugar del campo eléctrico E y su derivada H , se deben usar el desplazamiento u y la tensión , donde es el módulo de onda p . ${\displaystyle \sigma =Cdu/dz}$${\displaystyle C}$

El método de la matriz de Abeles ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} es una forma computacionalmente rápida y sencilla de calcular la reflectividad especular de una interfaz estratificada, en función de la transferencia de momento perpendicular , Q _z :

${\displaystyle Q_{z}={\frac {4\pi }{\lambda }}\sin \theta =2k_{z}}$

donde θ es el ángulo de incidencia/reflexión de la radiación incidente y λ es la longitud de onda de la radiación. La reflectividad medida depende de la variación en el perfil de densidad de longitud de dispersión ( SLD ), ρ ( z ) , perpendicular a la interfaz. Aunque el perfil de densidad de longitud de dispersión es normalmente una función que varía continuamente, la estructura interfacial a menudo se puede aproximar bien mediante un modelo de lámina en el que capas de espesor ( d _n ), densidad de longitud de dispersión ( ρ _n ) y rugosidad ( σ _{n , n +1} ) se intercalan entre las superfases y subfases. Luego se utiliza un procedimiento de refinamiento para minimizar las diferencias entre las curvas de reflectividad teóricas y medidas, cambiando los parámetros que describen cada capa.

En esta descripción, la interfaz se divide en n capas. Dado que el haz de neutrones incidente se refracta en cada una de las capas, el vector de onda k , en la capa n , viene dado por:

${\displaystyle k_{n}={\sqrt {{k_{z}}^{2}-4\pi ({\rho }_{n}-{\rho }_{0})}}}$

El coeficiente de reflexión de Fresnel entre la capa n y n +1 viene dado por:

${\displaystyle r_{n,n+1}={\frac {k_{n}-k_{n+1}}{k_{n}+k_{n+1}}}}$

Debido a que es improbable que la interfaz entre cada capa sea perfectamente lisa, la rugosidad/difusión de cada interfaz modifica el coeficiente de Fresnel y se tiene en cuenta mediante una función de error , ^{[ 6 ].}

${\displaystyle r_{n,n+1}={\frac {k_{n}-k_{n+1}}{k_{n}+k_{n+1}}}\exp(-2k_{n}k_{n+1}{\sigma _{n,n+1}}^{2}).}$

Se introduce un factor de fase , β , que tiene en cuenta el espesor de cada capa.

${\displaystyle \beta _{0}=0}$

${\displaystyle \beta _{n}=ik_{n}d_{n}}$

donde i ² = −1 . A continuación, se calcula una matriz característica, c _{n, para cada capa.}

${\displaystyle c_{n}=\left[{\begin{array}{cc}\exp \left(\beta _{n}\right)&r_{n,n+1}\exp \left(\beta _{n}\right)\\r_{n,n+1}\exp \left(-\beta _{n}\right)&\exp \left(-\beta _{n}\right)\end{array}}\right]}$

La matriz resultante se define como el producto ordenado de estas matrices características.

${\displaystyle M=\prod _{n}c_{n}}$

a partir de la cual se calcula la reflectividad como:

${\displaystyle R=\left|{\frac {M_{10}}{M_{00}}}\right|^{2}}$

El método de la matriz de transferencia permite determinar la absorbancia, la reflectancia y la transmitancia ópticas de una pila de capas dieléctricas y metálicas planas y homogéneas a cualquier ángulo de incidencia. Los siguientes cinco pasos muestran cómo se realiza este cálculo. La forma más sencilla de realizarlo es utilizando un lenguaje de programación científica que admita variables y funciones complejas. Las justificaciones teóricas se encuentran en las referencias al final de este artículo. ^{[ 7 ]}

El método de la matriz de transferencia se utiliza ampliamente en el diseño de recubrimientos antirreflectantes multicapa, recubrimientos altamente reflectantes, divisores de haz, interferómetros, filtros de densidad neutra y filtros de interferencia.

El índice de refracción en la capa a la longitud de onda de interés:${\displaystyle m}$${\displaystyle N_{m}=n_{m}+{\text{i}}k_{m}\,}$

La permitividad relativa en la capa${\displaystyle m:E_{m}=N_{m}^{2}\,}$

El espesor de la capa${\displaystyle m:D_{m}}$

El número de onda para la longitud de onda del vacío en la capa y debe estar en las mismas unidades. ${\displaystyle \lambda ,}$${\displaystyle m:K_{m}=2\pi N_{m}|\cos(\theta _{m})|/\lambda }$${\displaystyle Note:D_{m}}$${\displaystyle \lambda }$

Ley de Snell: es el ángulo relativo a la normal de la interfaz. ${\displaystyle \cos(\theta _{m})={\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta _{m})}}={\sqrt {1-(N_{1}/N_{m})^{2}\sin ^{2}(\theta _{1})}}}$${\displaystyle \theta _{m}}$

El haz se origina en la primera capa 1, una fracción se refleja de vuelta a la capa 1, otra fracción se transmite a la última capa , y la fracción restante (si la hay) se absorbe. Se supone que las capas 1 y no son absorbentes, ya sea porque y son despreciables o porque la trayectoria del haz en ellas es corta. Las capas 2 a comprenden la pila de capas planas dieléctricas y metálicas. ${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle k_{1}}$${\displaystyle k_{L}}$${\displaystyle L-1}$

La matriz de interfaz polarizada en s para las capas y es ${\displaystyle m}$${\displaystyle {m+1}}$

${\displaystyle M_{{\text{s}},m+1,m}={\frac {1}{2K_{m}}}{\begin{bmatrix}K_{m}+K_{m+1}&K_{m}-K_{m+1}\\K_{m}-K_{m+1}&K_{m}+K_{m+1}\\\end{bmatrix}}}$

La matriz de interfaz polarizada p para las capas y es ${\displaystyle m}$${\displaystyle {m+1}}$

${\displaystyle M_{{\text{p}},m+1,m}={\frac {1}{2K_{m}/E_{m}}}{\begin{bmatrix}K_{m}/E_{m}+K_{m+1}/E_{m+1}&K_{m}/E_{m}-K_{m+1}/E_{m+1}\\K_{m}/E_{m}-K_{m+1}/E_{m+1}&K_{m}/E_{m}+K_{m+1}/E_{m+1}\\\end{bmatrix}}}$

Estas matrices de interfaz tienen en cuenta la reflexión y la transmisión entre capas y , de acuerdo con las ecuaciones de Fresnel. ${\displaystyle m}$${\displaystyle m+1}$

La matriz de propagación para una capa de espesor es . ${\displaystyle m}$${\displaystyle D_{m}}$${\displaystyle P_{m}={\begin{bmatrix}\exp({\text{-i}}K_{m}D_{m})&0\\0&\exp({\text{i}}K_{m}D_{m})\\\end{bmatrix}}}$

Esta matriz desfasa y atenúa el campo eléctrico en la capa ${\displaystyle m}$${\displaystyle \exp({\text{i}}K_{m}D_{m})=\exp({\text{i}}2\pi n_{m}D_{m}\cos(\theta _{m})/\lambda )\quad \exp(-2\pi k_{m}D_{m}\cos(\theta _{m})/\lambda )}$

Ejemplo: La potencia transmitida es proporcional al cuadrado del campo atenuado, por lo que para el ejemplo de incidencia normal en la capa , , lo que corresponde a la distancia de penetración óptica . ${\displaystyle T}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \quad T\propto \exp(-4\pi k_{m}D_{m}/\lambda )=\exp(-D_{m}/d)}$${\displaystyle d=\lambda /(4{\pi }k_{m})}$

Las matrices de transferencia combinadas para fotones polarizados en s y p son: ${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{\text{s11}}&M_{\text{s12}}\\M_{\text{s21}}&M_{\text{s22}}\\\end{bmatrix}}=M_{{\text{s}},L,L-1}P_{L-1}.....P_{m+1}M_{{\text{s}},m+1,m}.....P_{2}M_{{\text{s}},2,1}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{\text{p11}}&M_{\text{p12}}\\M_{\text{p21}}&M_{\text{p22}}\\\end{bmatrix}}=M_{{\text{p}},L,L-1}P_{L-1}.....P_{m+1}M_{{\text{p}},m+1,m}.....P_{2}M_{{\text{p}},2,1}}$

La multiplicación de matrices debe realizarse de derecha a izquierda (primero se calcula el producto , luego el producto ), luego el producto , etc.). El orden es fundamental, ya que la multiplicación de matrices no es conmutativa. ${\displaystyle P_{2}M_{2,1}}$${\displaystyle M_{3,2}[P_{2}M_{2,1}]}$${\displaystyle P_{3}[M_{3,2}(P_{2}M_{2,1})]}$

Las matrices de transferencia combinadas contienen la reflectancia, la transmisión y la absorción generales del conjunto, y tienen en cuenta las reflexiones múltiples.

Los coeficientes de reflectancia para fotones polarizados en s y p son: ${\displaystyle r_{\text{s}}=M_{\text{s21}}/M_{\text{s11}}\quad r_{\text{p}}=M_{\text{p21}}/M_{\text{p11}}}$

Los coeficientes de transmitancia para fotones polarizados en s y p son: ${\displaystyle t_{\text{s}}=1/M_{\text{s11}}\quad t_{\text{p}}=1/M_{\text{p11}}}$

Las potencias reflejadas para fotones polarizados en s y p son ${\displaystyle R_{s}=|r_{\text{s}}|^{2}\quad R_{p}=|r_{\text{p}}|^{2}}$

La potencia reflejada para la luz no polarizada es el promedio ${\displaystyle R=0.5R_{s}+0.5R_{p}}$

Las potencias transmitidas para fotones polarizados en s y p son ${\displaystyle T_{s}={\frac {n_{N}\cos(\theta _{N})}{n_{1}\cos(\theta _{1})}}|t_{\text{s}}|^{2}\quad T_{p}={\frac {\cos(\theta _{N})/n_{N}}{\cos(\theta _{1})/n_{1}}}|t_{\text{p}}|^{2}}$

La potencia transmitida para luz no polarizada es el promedio ${\displaystyle T=0.5T_{\text{s}}+0.5T_{\text{p}}}$

La potencia absorbida es ${\displaystyle A=1-R-T}$

• Reflectometría de neutrones
• Elipsometría
• cálculo de Jones
• Reflectividad de rayos X
• Método de matriz de dispersión

• Reflectividad multicapa : derivación a partir de primeros principios de las probabilidades de transmisión y reflexión de una multicapa con índices de refracción complejos.
• Materiales en capas y diagramas de bandas fotónicas (Clase 23) en el curso abierto del MIT sobre propiedades electrónicas, ópticas y magnéticas de los materiales .
• Propagación de ondas electromagnéticas a través de películas delgadas y multicapas (Clase 13) en el curso abierto del MIT sobre procesos de transporte de nano a macro . Incluye una breve discusión sobre ondas acústicas.

Existen varios programas informáticos que implementan este cálculo:

• FreeSnell es un programa informático independiente que implementa el método de matriz de transferencia, incluyendo aspectos más avanzados como las películas granulares.
• Thinfilm es una interfaz web que implementa el método de matriz de transferencia, generando coeficientes de reflexión y transmisión, así como los parámetros elipsométricos Psi y Delta.
• Programas para el cálculo de matrices de transferencia en Python y en Mathematica .
• Software EMPy ("Python electromagnético") .
• Motofit es un programa para analizar datos de reflectometría de neutrones y rayos X.
• OpenFilters es un programa para el diseño de filtros ópticos.
• Py_matrix es un código Python de código abierto que implementa el método de la matriz de transferencia para multicapas con tensores dieléctricos arbitrarios. Fue creado especialmente para cálculos plasmónicos y magnetoplasmónicos.
• Calculadora en navegador y ajustador Calculadora interactiva de reflectividad en Javascript que utiliza el método matricial y la aproximación de rugosidad de Nevot-Croce (núcleo de cálculo convertido de C a través de Emscripten )