Red de dos puertos

En electrónica , una red de dos puertos (un tipo de red de cuatro terminales o cuadripolo ) es una red eléctrica (es decir, un circuito) o dispositivo con dos pares de terminales para conectarse a circuitos externos. Dos terminales constituyen un puerto si las corrientes aplicadas a ellos satisfacen el requisito esencial conocido como condición de puerto: la corriente que entra en un terminal debe ser igual a la corriente que sale del otro terminal en el mismo puerto. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Los puertos constituyen interfaces donde la red se conecta a otras redes, los puntos donde se aplican señales o se toman salidas. En una red de dos puertos, a menudo el puerto 1 se considera el puerto de entrada y el puerto 2 el puerto de salida.

Se utiliza comúnmente en el análisis matemático de circuitos .

El modelo de red de dos puertos se utiliza en técnicas de análisis matemático de circuitos para aislar partes de circuitos más grandes. Una red de dos puertos se considera una " caja negra " cuyas propiedades se especifican mediante una matriz de números. Esto permite calcular fácilmente la respuesta de la red a las señales aplicadas a los puertos, sin necesidad de resolver todos los voltajes y corrientes internos de la red. También facilita la comparación de circuitos o dispositivos similares. Por ejemplo, los transistores suelen considerarse de dos puertos, caracterizados por sus parámetros h (véase más abajo), que son especificados por el fabricante. Cualquier circuito lineal con cuatro terminales puede considerarse una red de dos puertos, siempre que no contenga una fuente independiente y cumpla las condiciones de los puertos.

Ejemplos de circuitos analizados como de dos puertos son filtros , redes de adaptación , líneas de transmisión , transformadores y modelos de pequeña señal para transistores (como el modelo híbrido-pi ). El análisis de redes pasivas de dos puertos es una consecuencia de los teoremas de reciprocidad derivados por primera vez por Lorentz . ^{[ 3 ]}

En los modelos matemáticos de dos puertos, la red se describe mediante una matriz cuadrada de 2x2 de números complejos . Los modelos comunes que se utilizan se denominan parámetros z , parámetros y , parámetros h , parámetros g y parámetros ABCD , cada uno descrito individualmente a continuación. Todos ellos se limitan a redes lineales , ya que una suposición subyacente de su derivación es que cualquier condición de circuito dada es una superposición lineal de varias condiciones de cortocircuito y circuito abierto. Generalmente se expresan en notación matricial y establecen relaciones entre las variables.

V ₁ , voltaje a través del puerto 1

Yo ₁ , corriente en el puerto 1

V ₂ , voltaje a través del puerto 2

I ₂ , corriente en el puerto 2

que se muestran en la figura  1. La diferencia entre los distintos modelos radica en cuáles de estas variables se consideran variables independientes . Estas variables de corriente y voltaje son más útiles en frecuencias bajas a moderadas. En frecuencias altas (por ejemplo, frecuencias de microondas), el uso de variables de potencia y energía es más apropiado, y el enfoque de corriente - voltaje de dos puertos se reemplaza por un enfoque basado en parámetros de dispersión .

Existen ciertas propiedades de los puertos que se presentan con frecuencia en redes prácticas y que pueden utilizarse para simplificar enormemente el análisis. Estas incluyen:

Redes recíprocas

Se dice que una red es recíproca si la tensión que aparece en el puerto 2 debido a una corriente aplicada en el puerto 1 es la misma que la tensión que aparece en el puerto 1 cuando se aplica la misma corriente al puerto 2. El intercambio de tensión y corriente da como resultado una definición equivalente de reciprocidad. Una red que consta enteramente de componentes pasivos lineales (es decir, resistencias, condensadores e inductores) suele ser recíproca, con la notable excepción de los circuladores y aisladores pasivos que contienen materiales magnetizados. En general, no será recíproca si contiene componentes activos como generadores o transistores. ^{[ 4 ]}

Redes simétricas

Una red es simétrica si su impedancia de entrada es igual a su impedancia de salida . Generalmente, aunque no necesariamente, las redes simétricas también son físicamente simétricas. A veces, también interesan las redes antimétricas . Estas son redes donde las impedancias de entrada y salida son duales entre sí. ^{[ 5 ]}

Red sin pérdidas

Una red sin pérdidas es aquella que no contiene resistencias ni otros elementos disipativos. ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{11}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {V_{1}}{I_{1}}}\right|_{I_{2}=0}&z_{12}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {V_{1}}{I_{2}}}\right|_{I_{1}=0}\\z_{21}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {V_{2}}{I_{1}}}\right|_{I_{2}=0}&z_{22}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {V_{2}}{I_{2}}}\right|_{I_{1}=0}\end{aligned}}}$

Todos los parámetros z tienen dimensiones de ohmios .

Para redes recíprocas z ₁₂ = z ₂₁ . Para redes simétricas z ₁₁ = z ₂₂ . Para redes recíprocas sin pérdidas, todos los z _mn son puramente imaginarios. ^{[ 7 ]}

Ejemplo: espejo de corriente bipolar con degeneración del emisor

La figura  3 muestra un espejo de corriente bipolar con resistencias de emisor para aumentar su resistencia de salida. ^{[ nb 1 ]} El transistor Q ₁ está conectado como diodo , lo que significa que su voltaje colector-base es cero. La figura  4 muestra el circuito de pequeña señal equivalente a la figura  3. El transistor Q ₁ está representado por su resistencia de emisor r _E :

${\displaystyle r_{\mathrm {E} }\approx {\frac {{\text{voltaje térmico, }}V_{\mathrm {T} }}{{\text{corriente del emisor, }}I_{E}}},}$

Esta simplificación es posible gracias a que la fuente de corriente dependiente en el modelo híbrido-pi para Q ₁ consume la misma corriente que una resistencia 1 / g _m conectada a través de r _π . El segundo transistor Q ₂ está representado por su modelo híbrido-pi . La Tabla 1 a continuación muestra las expresiones del parámetro z que hacen que el circuito equivalente z de la Figura  2 sea eléctricamente equivalente al circuito de pequeña señal de la Figura  4.

La retroalimentación negativa introducida por las resistencias R _E se puede observar en estos parámetros. Por ejemplo, cuando se utiliza como carga activa en un amplificador diferencial , I ₁ ≈ − I ₂ , lo que hace que la impedancia de salida del espejo sea aproximadamente

${\displaystyle R_{22}-R_{21}\approx {\frac {2\beta r_{\mathrm {O} }R_{\mathrm {E} }}{r_{\pi }+2R_{\mathrm {E} }}}}$

en comparación con solo r _O sin retroalimentación (es decir, con R _E = 0  Ω). Al mismo tiempo, la impedancia en el lado de referencia del espejo es aproximadamente

${\displaystyle R_{11}-R_{12}\approx {\frac {r_{\pi }}{r_{\pi }+2R_{\mathrm {E} }}}(r_{\mathrm {E} }+R_{\mathrm {E} }),}$

Solo un valor moderado, pero aún mayor que r _E sin retroalimentación. En la aplicación del amplificador diferencial, una gran resistencia de salida aumenta la ganancia en modo diferencial, lo cual es bueno, y una pequeña resistencia de entrada del espejo es deseable para evitar el efecto Miller .

${\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{11}&y_{12}\\y_{21}&y_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{11}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {I_{1}}{V_{1}}}\right|_{V_{2}=0}&y_{12}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {I_{1}}{V_{2}}}\right|_{V_{1}=0}\\y_{21}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {I_{2}}{V_{1}}}\right|_{V_{2}=0}&y_{22}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {I_{2}}{V_{2}}}\right|_{V_{1}=0}\end{aligned}}}$

Todos los parámetros Y tienen dimensiones en siemens .

Para redes recíprocas , y ₁₂ = y _21. Para redes simétricas , y ₁₁ = y _22. Para redes recíprocas sin pérdidas, todos los y _mn son puramente imaginarios. ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{11}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {V_{1}}{I_{1}}}\right|_{V_{2}=0}&h_{12}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right|_{I_{1}=0}\\h_{21}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {I_{2}}{I_{1}}}\right|_{V_{2}=0}&h_{22}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {I_{2}}{V_{2}}}\right|_{I_{1}=0}\end{aligned}}}$

Este circuito se suele elegir cuando se desea un amplificador de corriente en la salida. Las resistencias que se muestran en el diagrama pueden ser, en su lugar, impedancias generales.

Los parámetros h fuera de la diagonal son adimensionales , mientras que los miembros diagonales tienen dimensiones recíprocas entre sí.

Para redes recíprocas h ₁₂ = – h ₂₁ . Para redes simétricas h ₁₁ h ₂₂ – h ₁₂ h ₂₁ = 1 . Para redes recíprocas sin pérdidas h ₁₂ y h ₂₁ son reales, mientras que h ₁₁ y h ₂₂ son puramente imaginarias.

Ejemplo: amplificador de base común

Nota: Las fórmulas tabuladas en la Tabla 2 hacen que el circuito equivalente h del transistor de la Figura  6 coincida con su modelo híbrido-pi de baja frecuencia y pequeña señal en la Figura  7. Notación: r _π es la resistencia de base del transistor, r _O es la resistencia de salida y g _m es la transconductancia mutua . El signo negativo para h ₂₁ refleja la convención de que I ₁ , I ₂ son positivos cuando se dirigen a los dos puertos. Un valor distinto de cero para h ₁₂ significa que el voltaje de salida afecta al voltaje de entrada, es decir, este amplificador es bilateral . Si h ₁₂ = 0 , el amplificador es unilateral .

${\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{11}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {I_{1}}{V_{1}}}\right|_{I_{2}=0}&g_{12}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {I_{1}}{I_{2}}}\right|_{V_{1}=0}\\g_{21}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right|_{I_{2}=0}&g_{22}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {V_{2}}{I_{2}}}\right|_{V_{1}=0}\end{aligned}}}$

Este circuito se suele elegir cuando se requiere un amplificador de voltaje en la salida. Los parámetros g fuera de la diagonal son adimensionales, mientras que los elementos diagonales tienen dimensiones recíprocas. Las resistencias que se muestran en el diagrama pueden ser impedancias generales.

Ejemplo: amplificador de base común

Nota: Las fórmulas tabuladas en la Tabla 3 hacen que el circuito equivalente g del transistor de la Figura  8 coincida con su modelo híbrido-pi de baja frecuencia y pequeña señal en la Figura  9. Notación: r _π es la resistencia de base del transistor, r _O es la resistencia de salida y g _m es la transconductancia mutua. El signo negativo para g ₁₂ refleja la convención de que I ₁ , I ₂ son positivos cuando se dirigen a los dos puertos. Un valor distinto de cero para g ₁₂ significa que la corriente de salida afecta a la corriente de entrada, es decir, este amplificador es bilateral . Si g ₁₂ = 0 , el amplificador es unilateral .

Los parámetros ABCD se conocen de diversas maneras como parámetros de cadena, cascada o transmisión. Existen varias definiciones para los parámetros ABCD ; la más común es ^{[ 11 ] [ 12 ].}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\I_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{2}\\-I_{2}\end{bmatrix}}}$

Nota: Algunos autores optaron por invertir la dirección indicada de I ₂ y suprimir el signo negativo en I ₂ .

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}A&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right|_{I_{2}=0}&B&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.-{\frac {V_{1}}{I_{2}}}\right|_{V_{2}=0}\\C&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {I_{1}}{V_{2}}}\right|_{I_{2}=0}&D&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.-{\frac {I_{1}}{I_{2}}}\right|_{V_{2}=0}\end{aligned}}}$

Para redes recíprocas AD – BC = 1. Para redes simétricas A = D. Para redes recíprocas y sin pérdidas, A y D son puramente reales, mientras que B y C son puramente imaginarias. ^{[ 6 ]}

Esta representación es la preferida porque cuando los parámetros se utilizan para representar una cascada de dos puertos, las matrices se escriben en el mismo orden en que se dibujaría un diagrama de red, es decir, de izquierda a derecha. Sin embargo, también se utiliza una definición variante, ^{[ 13 ].}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{2}\\-I_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A'&B'\\C'&D'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\\I_{1}\end{bmatrix}}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}A'&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right|_{I_{1}=0}&B'&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {V_{2}}{I_{1}}}\right|_{V_{1}=0}\\C'&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.-{\frac {I_{2}}{V_{1}}}\right|_{I_{1}=0}&D'&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.-{\frac {I_{2}}{I_{1}}}\right|_{V_{1}=0}\end{aligned}}}$

El signo negativo de –I₂ se debe a que la corriente de salida de una etapa en cascada (tal como aparece en la matriz) es igual a la corriente de entrada de la siguiente. Sin el signo negativo _{, ambas corrientes tendrían sentidos opuestos} , ya que, por convención, la dirección positiva de la corriente se considera la que entra al puerto. Por consiguiente, el vector de la matriz de voltaje/corriente de entrada puede sustituirse directamente por la ecuación matricial de la etapa en cascada precedente para formar una matriz combinada A'B'C'D' .

La terminología de representar los parámetros ABCD como una matriz de elementos designados a ₁₁ etc. como la adoptada por algunos autores ^{[ 14 ]} y los parámetros inversos A'B'C'D' como una matriz de elementos designados b ₁₁ etc. se utiliza aquí tanto por brevedad como para evitar confusiones con los elementos del circuito.

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\mathbf {a} \right]&={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}\\\left[\mathbf {b} \right]&={\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A'&B'\\C'&D'\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Los parámetros anteriores se definen en términos de voltajes y corrientes en los puertos. Los parámetros S son diferentes y se definen en términos de ondas incidentes y reflejadas en los puertos. Los parámetros S se utilizan principalmente en frecuencias UHF y de microondas , donde resulta difícil medir voltajes y corrientes directamente. Por otro lado, la potencia incidente y reflejada es fácil de medir utilizando acopladores direccionales . La definición es ^{[ 17 ].}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}}$

donde a _k son las ondas incidentes y b _k son las ondas reflejadas en el puerto k . Es convencional definir a k _y b k _en términos de la raíz cuadrada de la potencia. En consecuencia, existe una relación con los voltajes de onda (véase el artículo principal para más detalles). ^{[ 18 ]}

Para redes recíprocas S ₁₂ = S ₂₁ . Para redes simétricas S ₁₁ = S ₂₂ . Para redes antimétricas S ₁₁ = – S ₂₂ . ^{[ 19 ]} Para redes recíprocas sin pérdidas${\displaystyle |S_{11}|=|S_{22}|}$y${\displaystyle |S_{11}|^{2}+|S_{12}|^{2}=1.}$^{[ 20 ]}

Los parámetros de transferencia de dispersión, al igual que los parámetros de dispersión, se definen en términos de ondas incidentes y reflejadas. La diferencia radica en que los parámetros T relacionan las ondas en el puerto 1 con las ondas en el puerto 2, mientras que los parámetros S relacionan las ondas reflejadas con las ondas incidentes. En este sentido, los parámetros T cumplen la misma función que los parámetros ABCD y permiten calcular los parámetros T de redes en cascada mediante la multiplicación matricial de las redes componentes. Los parámetros T , al igual que los parámetros ABCD , también pueden denominarse parámetros de transmisión. La definición es ^{[ 17 ] [ 21 ].}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}\\b_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{2}\\a_{2}\end{bmatrix}}}$

Los parámetros T no son tan fáciles de medir directamente como los parámetros S. Sin embargo, los parámetros S se convierten fácilmente en parámetros T ; consulte el artículo principal para obtener más detalles. ^{[ 22 ]}

Cuando se conectan dos o más redes de dos puertos, los parámetros de la red combinada se pueden obtener mediante álgebra matricial aplicada a las matrices de parámetros de cada puerto individual. Esta operación matricial se simplifica considerablemente eligiendo adecuadamente los parámetros de los dos puertos según su configuración de conexión. Por ejemplo, los parámetros z son óptimos para puertos conectados en serie.

Las reglas de combinación deben aplicarse con cuidado. Algunas conexiones (cuando se combinan potenciales diferentes) invalidan la condición del puerto y la regla de combinación deja de aplicarse. Se puede utilizar una prueba de Brune para comprobar la admisibilidad de la combinación. Esta dificultad se puede superar colocando transformadores ideales 1:1 en las salidas de los dos puertos del problema. Esto no cambia los parámetros de los dos puertos, pero garantiza que seguirán cumpliendo la condición del puerto cuando se interconecten. Un ejemplo de este problema se muestra para conexiones en serie-serie en las figuras 11 y 12 a continuación. ^{[ 23 ]}

Conexión serie-serie

Cuando se conectan dos puertos en una configuración serie-serie, como se muestra en la figura 10, la mejor opción para los parámetros de dos puertos son los parámetros z . Los parámetros z de la red combinada se obtienen mediante la suma matricial de las dos matrices de parámetros z individuales . ^{[ 24 ] [ 25 ]}

${\displaystyle [\mathbf {z} ]=[\mathbf {z} ]_{1}+[\mathbf {z} ]_{2}}$

Como se mencionó anteriormente, hay algunas redes que no se prestan directamente a este análisis. ^{[ 23 ]} Un ejemplo sencillo es una red de dos puertos que consta de una red L de resistencias R ₁ y R ₂ . Los parámetros z para esta red son:

${\displaystyle [\mathbf {z} ]_{1}={\begin{bmatrix}R_{1}+R_{2}&R_{2}\\R_{2}&R_{2}\end{bmatrix}}}$

La figura 11 muestra dos redes idénticas de este tipo conectadas en serie-serie. Los parámetros z totales predichos por la suma de matrices son:

${\displaystyle [\mathbf {z} ]=[\mathbf {z} ]_{1}+[\mathbf {z} ]_{2}=2[\mathbf {z} ]_{1}={\begin{bmatrix}2R_{1}+2R_{2}&2R_{2}\\2R_{2}&2R_{2}\end{bmatrix}}}$

Sin embargo, el análisis directo del circuito combinado muestra que,

${\displaystyle [\mathbf {z} ]={\begin{bmatrix}R_{1}+2R_{2}&2R_{2}\\2R_{2}&2R_{2}\end{bmatrix}}}$

La discrepancia se explica al observar que la _resistencia R1 del circuito de dos puertos inferior ha sido puenteada por el cortocircuito entre dos terminales de los puertos de salida. Esto provoca que no circule corriente por un terminal en cada uno de los puertos de entrada de las dos redes individuales. En consecuencia, se incumple la condición de puerto para ambos puertos de entrada de las redes originales, ya que la corriente aún puede fluir hacia el otro terminal. Este problema puede resolverse insertando un transformador ideal en el puerto de salida de al menos una de las redes de dos puertos. Si bien este es un enfoque común en los libros de texto para presentar la teoría de los circuitos de dos puertos, la viabilidad práctica del uso de transformadores es una cuestión que debe decidirse para cada diseño en particular.

Conexión paralelo-paralelo

Cuando dos puertos se conectan en una configuración paralelo-paralelo como se muestra en la figura 13, la mejor opción para los parámetros de dos puertos son los parámetros y . Los parámetros y de la red combinada se obtienen mediante la suma matricial de las dos matrices de parámetros y individuales . ^{[ 26 ]}

${\displaystyle [\mathbf {y} ]=[\mathbf {y} ]_{1}+[\mathbf {y} ]_{2}}$

Conexión serie-paralelo

Cuando dos puertos se conectan en una configuración serie-paralelo como se muestra en la figura 14, la mejor opción para los parámetros de dos puertos son los parámetros h . Los parámetros h de la red combinada se obtienen mediante la suma matricial de las dos matrices de parámetros h individuales . ^{[ 27 ]}

${\displaystyle [\mathbf {h} ]=[\mathbf {h} ]_{1}+[\mathbf {h} ]_{2}}$

Conexión en paralelo-serie

Cuando se conectan dos puertos en una configuración serie-paralelo, como se muestra en la figura 15, la mejor opción para los parámetros de los dos puertos son los parámetros g . Los parámetros g de la red combinada se obtienen mediante la suma matricial de las dos matrices de parámetros g individuales .

${\displaystyle [\mathbf {g} ]=[\mathbf {g} ]_{1}+[\mathbf {g} ]_{2}}$

Conexión en cascada

Cuando se conectan dos puertos, con el puerto de salida del primero conectado al puerto de entrada del segundo (una conexión en cascada), como se muestra en la figura 16, la mejor opción de parámetros para los dos puertos son los parámetros ABCD . Los parámetros a de la red combinada se obtienen mediante la multiplicación matricial de las dos matrices de parámetros a individuales. ^{[ 28 ]}

${\displaystyle [\mathbf {a} ]=[\mathbf {a} ]_{1}\cdot [\mathbf {a} ]_{2}}$

Una cadena de n puertos dobles se puede combinar mediante la multiplicación matricial de las n matrices. Para combinar una cascada de matrices de b parámetros, se multiplican nuevamente, pero la multiplicación debe realizarse en orden inverso, de modo que:

${\displaystyle [\mathbf {b} ]=[\mathbf {b} ]_{2}\cdot [\mathbf {b} ]_{1}}$

Ejemplo

Supongamos que tenemos una red de dos puertos que consta de una resistencia en serie R seguida de un condensador en paralelo C. Podemos modelar toda la red como una cascada de dos redes más simples:

${\displaystyle {\begin{aligned}[][\mathbf {b} ]_{1}&={\begin{bmatrix}1&-R\\0&1\end{bmatrix}}\\\lbrack \mathbf {b} \rbrack _{2}&={\begin{bmatrix}1&0\\-sC&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

La matriz de transmisión para toda la red [ b ] es simplemente la multiplicación matricial de las matrices de transmisión para los dos elementos de la red:

${\displaystyle {\begin{aligned}[]\lbrack \mathbf {b} \rbrack &=\lbrack \mathbf {b} \rbrack _{2}\cdot \lbrack \mathbf {b} \rbrack _{1}\\&={\begin{bmatrix}1&0\\-sC&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&-R\\0&1\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}1&-R\\-sC&1+sCR\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

De este modo:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{2}\\-I_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&-R\\-sC&1+sCR\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\\I_{1}\end{bmatrix}}}$

Donde Δ[ x ] es el determinante de [ x ] .

Ciertos pares de matrices tienen una relación particularmente simple. Los parámetros de admitancia son la matriz inversa de los parámetros de impedancia, los parámetros híbridos inversos son la matriz inversa de los parámetros híbridos, y la forma [ b ] de los parámetros ABCD es la matriz inversa de la forma [ a ] . Es decir,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\mathbf {y} \right]&=[\mathbf {z} ]^{-1}\\\left[\mathbf {g} \right]&=[\mathbf {h} ]^{-1}\\\left[\mathbf {b} \right]&=[\mathbf {a} ]^{-1}\end{aligned}}}$

Si bien las redes de dos puertos son muy comunes (por ejemplo, amplificadores y filtros), otras redes eléctricas, como los acopladores direccionales y los circuladores, tienen más de dos puertos. Las siguientes representaciones también son aplicables a redes con un número arbitrario de puertos:

• Parámetros de admitancia ( y )
• Parámetros de impedancia ( z )
• Parámetros de dispersión ( S )

Por ejemplo, los parámetros de impedancia de tres puertos dan como resultado la siguiente relación:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\\V_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Z_{11}&Z_{12}&Z_{13}\\Z_{21}&Z_{22}&Z_{23}\\Z_{31}&Z_{32}&Z_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\\I_{3}\end{bmatrix}}}$

Sin embargo, las siguientes representaciones se limitan necesariamente a dispositivos de dos puertos:

• Parámetros híbridos ( h )
• Parámetros híbridos inversos ( g )
• Parámetros de transmisión ( ABCD )
• Parámetros de transferencia de dispersión ( T )

Una red de dos puertos tiene cuatro variables, dos de ellas independientes. Si uno de los puertos está conectado a una carga sin fuentes independientes, dicha carga impone una relación entre la tensión y la corriente de ese puerto. Se pierde un grado de libertad. El circuito ahora tiene solo un parámetro independiente. La red de dos puertos se convierte en una impedancia de un puerto para la variable independiente restante.

Por ejemplo, consideremos los parámetros de impedancia.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}}$

Conectar una carga, Z _L, al puerto 2 agrega efectivamente la restricción

${\displaystyle V_{2}=-Z_{\mathrm {L} }I_{2}\,}$

El signo negativo se debe a que la dirección positiva de I2 se dirige hacia el puerto doble en lugar de hacia la carga. Las ecuaciones aumentadas se convierten en _:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{1}&=Z_{11}I_{1}+Z_{12}I_{2}\\-Z_{\mathrm {L} }I_{2}&=Z_{21}I_{1}+Z_{22}I_{2}\end{aligned}}}$

La segunda ecuación se puede resolver fácilmente para I ₂ como función de I ₁ y esa expresión puede reemplazar a I ₂ en la primera ecuación, dejando V ₁ (y V ₂ e I ₂ ) como funciones de I ₁

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{2}&=-{\frac {Z_{21}}{Z_{\mathrm {L} }+Z_{22}}}I_{1}\\[3pt]V_{1}&=Z_{11}I_{1}-{\frac {Z_{12}Z_{21}}{Z_{\mathrm {L} }+Z_{22}}}I_{1}\\[2pt]&=\left(Z_{11}-{\frac {Z_{12}Z_{21}}{Z_{\mathrm {L} }+Z_{22}}}\right)I_{1}=Z_{\text{in}}I_{1}\end{aligned}}}$

Así pues, en efecto, I ₁ ve una impedancia de entrada Z _in y el efecto de los dos puertos en el circuito de entrada se ha reducido efectivamente a un puerto único; es decir, una simple impedancia de dos terminales.

• Parámetros de admitancia
• Parámetros de impedancia
• Parámetros de dispersión
• Método de la matriz de transferencia (óptica) para el cálculo de la reflexión/transmisión de ondas luminosas en capas transparentes
• Matriz de transferencia de rayos para el cálculo de la propagación paraxial de un rayo de luz.

• Carlin, HJ, Civalleri, PP, Diseño de circuitos de banda ancha , CRC Press, 1998. ISBN 0-8493-7897-4.
• William F. Egan, Diseño práctico de sistemas de RF , Wiley-IEEE, 2003 ISBN 0-471-20023-9.
• Farago, PS, Introducción al análisis de redes lineales , The English Universities Press Ltd, 1961.
• Gray, PR; Hurst, PJ; Lewis, SH; Meyer, RG (2001). Análisis y diseño de circuitos integrados analógicos (4.ª  ed.). Nueva York: Wiley. ISBN 0-471-32168-0.
• Ghosh, Smarajit, Teoría de redes: análisis y síntesis , Prentice Hall of India ISBN 81-203-2638-5.
• Jaeger, RC; Blalock, TN (2006). Diseño de circuitos microelectrónicos (3.ª  ed.). Boston: McGraw - Hill. ISBN 978-0-07-319163-8.
• Matthaei, Young, Jones, Filtros de microondas, redes de adaptación de impedancia y estructuras de acoplamiento , McGraw-Hill, 1964.
• Mahmood Nahvi, Joseph Edminister, Schaum's outline of theory and problems of electric circuits, McGraw-Hill Professional, 2002 ISBN 0-07-139307-2.
• Dragica Vasileska, Stephen Marshall Goodnick, Computational electronics, Morgan & Claypool Publishers, 2006 ISBN 1-59829-056-8.
• Clayton R. Paul, Analysis of Multiconductor Transmission Lines, John Wiley & Sons, 2008 ISBN 0470131543, 9780470131541.