Función racional

En matemáticas , una función racional es cualquier función que puede definirse mediante una fracción racional , que es una fracción algebraica tal que tanto el numerador como el denominador son polinomios . Los coeficientes de los polinomios no tienen por qué ser números racionales ; pueden tomarse en cualquier cuerpo K. En este caso, se habla de una función racional y una fracción racional sobre K. Los valores de las variables pueden tomarse en cualquier cuerpo L que contenga a K. Entonces , el dominio de la función es el conjunto de valores de las variables para los cuales el denominador no es cero, y el codominio es L.

El conjunto de funciones racionales sobre un cuerpo K es un cuerpo, el cuerpo de fracciones del anillo de las funciones polinómicas sobre K.

Una función${\displaystyle f}$Se denomina función racional si se puede escribir en la forma ^{[ 1 ].}

${\displaystyle f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}}$

dónde${\displaystyle P}$y${\displaystyle Q}$son funciones polinómicas de${\displaystyle x}$y${\displaystyle Q}$no es la función cero . El dominio de${\displaystyle f}$es el conjunto de todos los valores de${\displaystyle x}$para el cual el denominador${\displaystyle Q(x)}$no es cero.

Sin embargo, si${\displaystyle \textstyle P}$y${\displaystyle \textstyle Q}$tener un máximo común divisor polinomial no constante${\displaystyle \textstyle R}$, luego configurando${\displaystyle \textstyle P=P_{1}R}$y${\displaystyle \textstyle Q=Q_{1}R}$produce una función racional

${\displaystyle f_{1}(x)={\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}},}$

que puede tener un dominio mayor que${\displaystyle f}$y es igual a${\displaystyle f}$en el dominio de${\displaystyle f.}$Es un uso común identificar${\displaystyle f}$y${\displaystyle f_{1}}$, es decir, extender "por continuidad" el dominio de${\displaystyle f}$a la de${\displaystyle f_{1}.}$De hecho, se puede definir una fracción racional como una clase de equivalencia de fracciones de polinomios, donde dos fracciones${\displaystyle \textstyle {\frac {A(x)}{B(x)}}}$y${\displaystyle \textstyle {\frac {C(x)}{D(x)}}}$se consideran equivalentes si${\displaystyle A(x)D(x)=B(x)C(x)}$. En este caso${\displaystyle \textstyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}}$es equivalente a${\displaystyle \textstyle {\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}}.}$

Una función racional propia es una función racional en la que el grado de${\displaystyle P(x)}$es menor que el grado de${\displaystyle Q(x)}$y ambos son polinomios reales , nombrados por analogía con una fracción propia en${\displaystyle \mathbb {Q} .}$^{[ 2 ]}

Ejemplos de funciones racionales

Función racional de grado 3, con una gráfica de grado  3:${\displaystyle y={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}}$

Función racional de grado 2, con una gráfica de grado  3:${\displaystyle y={\frac {x^{2}-3x-2}{x^{2}-4}}}$

La función racional

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}}$

no está definido en

${\displaystyle x^{2}=5\Leftrightarrow x=\pm {\sqrt {5}}.}$

Es asintótico a${\displaystyle {\tfrac {x}{2}}}$como${\displaystyle x\to \infty .}$

La función racional

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}+2}{x^{2}+1}}}$

está definido para todos los números reales , pero no para todos los números complejos , ya que si x fuera una raíz cuadrada de${\displaystyle -1}$(es decir, la unidad imaginaria o su negativa), entonces la evaluación formal conduciría a la división por cero:

${\displaystyle f(i)={\frac {i^{2}+2}{i^{2}+1}}={\frac {-1+2}{-1+1}}={\frac {1}{0}},}$

lo cual no está definido.

Una función constante como f ( x ) = π es una función racional ya que las constantes son polinomios. La función en sí es racional, aunque el valor de f ( x ) sea irracional para todo x .

Cada función polinómica${\displaystyle f(x)=P(x)}$es una función racional con${\displaystyle Q(x)=1.}$Una función que no se puede escribir de esta forma, como por ejemplo:${\displaystyle f(x)=\sin(x),}$no es una función racional. Sin embargo, el adjetivo "irracional" no se usa generalmente para funciones.

Todo polinomio de Laurent puede escribirse como una función racional, mientras que lo contrario no es necesariamente cierto; es decir, el anillo de polinomios de Laurent es un subanillo de funciones racionales.

La función racional${\displaystyle f(x)={\tfrac {x}{x}}}$es igual a 1 para todo x excepto 0, donde hay una singularidad removible . La suma, el producto o el cociente (excepto la división por el polinomio cero) de dos funciones racionales es en sí mismo una función racional. Sin embargo, el proceso de reducción a la forma estándar puede resultar inadvertidamente en la eliminación de tales singularidades si no se tiene cuidado. Usar la definición de funciones racionales como clases de equivalencia evita esto, ya que x / x es equivalente a 1/1.

Los coeficientes de una serie de Taylor de cualquier función racional satisfacen una relación de recurrencia lineal , que se puede encontrar igualando la función racional a una serie de Taylor con coeficientes indeterminados y agrupando los términos semejantes después de eliminar el denominador.

Por ejemplo,

${\displaystyle {\frac {1}{x^{2}-x+2}}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}$

Multiplicando por el denominador y distribuyendo,

${\displaystyle 1=(x^{2}-x+2)\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$

${\displaystyle 1=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k+2}-\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k+1}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}$

Después de ajustar los índices de las sumas para obtener las mismas potencias de x , obtenemos

${\displaystyle 1=\sum _{k=2}^{\infty }a_{k-2}x^{k}-\sum _{k=1}^{\infty }a_{k-1}x^{k}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}$

Combinar términos semejantes da como resultado

${\displaystyle 1=2a_{0}+(2a_{1}-a_{0})x+\sum _{k=2}^{\infty }(a_{k-2}-a_{k-1}+2a_{k})x^{k}.}$

Dado que esto se cumple para todo x en el radio de convergencia de la serie de Taylor original, podemos calcularlo de la siguiente manera. Dado que el término constante de la izquierda debe ser igual al término constante de la derecha, se deduce que

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{2}}.}$

Entonces, como no hay potencias de x a la izquierda, todos los coeficientes de la derecha deben ser cero, de lo cual se deduce que

${\displaystyle a_{1}={\frac {1}{4}}}$

${\displaystyle a_{k}={\frac {1}{2}}(a_{k-1}-a_{k-2})\quad {\text{for}}\ k\geq 2.}$

Por el contrario, cualquier secuencia que satisfaga una recurrencia lineal determina una función racional cuando se utiliza como coeficientes de una serie de Taylor. Esto es útil para resolver dichas recurrencias, ya que mediante la descomposición en fracciones parciales podemos escribir cualquier función racional propia como una suma de factores de la forma 1 / ( ax + b ) y expandirlos como series geométricas , lo que da una fórmula explícita para los coeficientes de Taylor; este es el método de generación de funciones .

En álgebra abstracta, el concepto de polinomio se extiende para incluir expresiones formales en las que los coeficientes del polinomio pueden tomarse de cualquier cuerpo . En este contexto, dado un cuerpo${\displaystyle F}$y algunos indeterminados${\displaystyle X}$Una expresión racional (también conocida como fracción racional o, en geometría algebraica , función racional ) es cualquier elemento del cuerpo de fracciones del anillo de polinomios.${\displaystyle F[X]}$Cualquier expresión racional puede escribirse como el cociente de dos polinomios.${\displaystyle P/Q}$con${\displaystyle Q\neq 0}$, aunque esta representación no es única.${\displaystyle P/Q}$es equivalente a${\displaystyle R/S}$, para polinomios${\displaystyle P}$,${\displaystyle Q}$,${\displaystyle R}$, y${\displaystyle S}$, cuando${\displaystyle PS=QR}$. Sin embargo, dado que${\displaystyle F[X]}$es un dominio de factorización único , existe una representación única para cualquier expresión racional${\displaystyle P/Q}$con${\displaystyle P}$y${\displaystyle Q}$polinomios de grado más bajo y${\displaystyle Q}$elegido para ser mónico . Esto es similar a cómo una fracción de enteros siempre se puede escribir de forma única en su mínima expresión cancelando los factores comunes.

El campo de las expresiones racionales se denota${\displaystyle F(X)}$Se dice que este campo se genera (como un campo) sobre${\displaystyle F}$por (un elemento trascendental )${\displaystyle X}$, porque${\displaystyle F(X)}$no contiene ningún subcampo adecuado que contenga ambos${\displaystyle F}$y el elemento${\displaystyle X}$.

Las funciones racionales se utilizan en el análisis numérico para la interpolación y aproximación de funciones, como por ejemplo los aproximantes de Padé introducidos por Henri Padé . Las aproximaciones en términos de funciones racionales son muy adecuadas para sistemas de álgebra computacional y otros programas informáticos numéricos . Al igual que los polinomios, se pueden evaluar fácilmente y, al mismo tiempo, expresan un comportamiento más diverso.

Las funciones racionales se utilizan para aproximar o modelar ecuaciones más complejas en ciencia e ingeniería, incluyendo campos y fuerzas en física, espectroscopia en química analítica, cinética enzimática en bioquímica, circuitos electrónicos, aerodinámica, concentraciones de medicamentos in vivo, funciones de onda para átomos y moléculas, óptica y fotografía para mejorar la resolución de imágenes, y acústica y sonido.

En el procesamiento de señales , la transformada de Laplace (para sistemas continuos) o la transformada Z (para sistemas de tiempo discreto) de la respuesta impulsional de los sistemas lineales invariantes en el tiempo de uso común (filtros) con respuesta impulsional infinita son funciones racionales sobre números complejos.

• Descomposición en fracciones parciales
• Fracciones parciales en la integración
• Campo de funciones de una variedad algebraica
• Fracciones algebraicas : una generalización de las funciones racionales que permite tomar raíces enteras. 

• "Función racional" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 3.4. Interpolación y extrapolación de funciones racionales", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3.ª  ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

• Visualización dinámica de funciones racionales con JSXGraph