Análisis de cuantificación de recurrencia

El análisis de cuantificación de recurrencias ( RQA ) es un método de análisis de datos no lineales (véase la teoría del caos ) para la investigación de sistemas dinámicos . Cuantifica el número y la duración de las recurrencias de un sistema dinámico representado por su trayectoria en el espacio de fases . ^{[ 1 ]}

El análisis de cuantificación de recurrencia (RQA) se desarrolló para cuantificar diagramas de recurrencia (RP) de apariencia diferente, basándose en las estructuras a pequeña escala que contienen. ^{[ 2 ]} Los diagramas de recurrencia son herramientas que visualizan el comportamiento de recurrencia de la trayectoria del espacio de fases.${\displaystyle {\vec {x}}(i)}$de sistemas dinámicos : ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {R}(i,j)=\Theta (\varepsilon -\|{\vec {x}}(i)-{\vec {x}}(j)\|)}$,

dónde${\displaystyle \Theta$ :\mathbf {R} \rightarrow \{0,1\}} es la función de Heaviside y${\displaystyle \varepsilon }$una tolerancia predefinida.

Los diagramas de recurrencia suelen contener puntos y líneas paralelas a la diagonal media ( línea de identidad , LOI) o verticales/horizontales. Las líneas paralelas a la LOI se denominan diagonales y las verticales , verticales . Dado que un diagrama de recurrencia suele ser simétrico, las líneas horizontales y verticales se corresponden entre sí; por lo tanto, solo se consideran las verticales. Estas líneas corresponden a un comportamiento típico de la trayectoria del espacio de fases: mientras que las diagonales representan segmentos de la trayectoria que discurren paralelos durante un tiempo, las verticales representan segmentos que permanecen en la misma región del espacio de fases durante un tiempo. ^{[ 1 ]}

Si tan solo una serie temporal univariada${\displaystyle u(t)}$Si está disponible, el espacio de fases se puede reconstruir utilizando una incrustación de retardo de tiempo (véase el teorema de Takens ):

${\displaystyle {\vec {x}}(i)=(u(i),u(i+\tau ),\ldots ,u(i+\tau (m-1)),}$

dónde${\displaystyle u(i)}$es la serie temporal (con${\displaystyle t=i\Delta t}$y${\displaystyle \Delta t}$el tiempo de muestreo),${\displaystyle m}$la dimensión de incrustación y${\displaystyle \tau }$el retardo de tiempo. Sin embargo, la reconstrucción del espacio de fases no es una parte esencial del RQA (aunque a menudo se afirma en la literatura), porque se basa en trayectorias del espacio de fases que podrían derivarse directamente de las variables del sistema (por ejemplo, de las tres variables del sistema de Lorenz ) o de datos multivariados.

El RQA cuantifica las estructuras a pequeña escala de los diagramas de recurrencia, que representan el número y la duración de las recurrencias de un sistema dinámico. Las medidas introducidas para el RQA se desarrollaron heurísticamente entre 1992 y 2002. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} En realidad, son medidas de complejidad . La principal ventaja del RQA es que puede proporcionar información útil incluso para datos cortos y no estacionarios, donde otros métodos fallan.

RQA se puede aplicar a casi cualquier tipo de datos. Se utiliza ampliamente en fisiología , pero también se ha aplicado con éxito a problemas de ingeniería , química , ciencias de la Tierra , etc. ^{[ 2 ]} Se han propuesto extensiones y variaciones adicionales de las medidas para cuantificar las propiedades de recurrencia con el fin de abordar preguntas de investigación específicas. Las medidas de RQA también se combinan con enfoques de aprendizaje automático para tareas de clasificación. ^{[ 7 ]}

La medida más simple es la tasa de recurrencia , que es la densidad de puntos de recurrencia en un gráfico de recurrencia: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\text{RR}}={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i,j=1}^{N}{R}(i,j).}$

La tasa de recurrencia corresponde a la probabilidad de que un estado específico se repita. Es casi igual a la definición de la suma de correlación , donde el LOI se excluye del cálculo.

La siguiente medida es el porcentaje de puntos de recurrencia que forman líneas diagonales en el diagrama de recurrencia de longitud mínima.${\displaystyle \ell _{\min }}$: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\text{DET}}={\frac {\sum _{\ell =\ell _{\min }}^{N}\ell \,P(\ell )}{\sum _{\ell =1}^{N}\ell P(\ell )}},}$

dónde${\displaystyle P(\ell )}$es la distribución de frecuencia de las longitudes${\displaystyle \ell }$de las líneas diagonales (es decir, cuenta cuántas instancias tienen longitud${\displaystyle \ell }$Esta medida se denomina determinismo y está relacionada con la predictibilidad del sistema dinámico , ya que el ruido blanco tiene un diagrama de recurrencia con casi solo puntos individuales y muy pocas líneas diagonales, mientras que un proceso determinista tiene un diagrama de recurrencia con muy pocos puntos individuales pero muchas líneas diagonales largas.

El número de puntos de recurrencia que forman líneas verticales se puede cuantificar de la misma manera: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\text{LAM}}={\frac {\sum _{v=v_{\min }}^{N}vP(v)}{\sum _{v=1}^{N}vP(v)}},}$

dónde${\displaystyle P(v)}$es la distribución de frecuencia de las longitudes${\displaystyle v}$de las líneas verticales, que tienen al menos una longitud de${\displaystyle v_{\min }}$Esta medida se llama laminaridad y está relacionada con la cantidad de fases laminares en el sistema ( intermitencia ).

También se pueden medir las longitudes de las líneas diagonales y verticales. La longitud promedio de la línea diagonal ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\text{L}}={\frac {\sum _{\ell =\ell _{\min }}^{N}\ell \,P(\ell )}{\sum _{\ell =\ell _{\min }}^{N}P(\ell )}}}$

está relacionado con el tiempo de predictibilidad del sistema dinámico y el tiempo de atrapamiento , midiendo la longitud promedio de las líneas verticales, ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\text{TT}}={\frac {\sum _{v=v_{\min }}^{N}vP(v)}{\sum _{v=v_{\min }}^{N}P(v)}}}$

está relacionado con el tiempo de laminaridad del sistema dinámico, es decir, cuánto tiempo permanece el sistema en un estado específico. ^{[ 6 ]}

Debido a que la longitud de las líneas diagonales está relacionada con el tiempo que los segmentos de la trayectoria del espacio de fases corren en paralelo, es decir, con el comportamiento de divergencia de las trayectorias, a veces se afirmaba que el recíproco de la longitud máxima de las líneas diagonales (sin LOI) sería un estimador del exponente de Lyapunov máximo positivo del sistema dinámico. Por lo tanto, la longitud máxima de la línea diagonal${\displaystyle L_{\max }}$o la divergencia : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\text{DIV}}={\frac {1}{L_{\max }}}}$

También son medidas de la RQA. Sin embargo, la relación entre estas medidas y el exponente de Lyapunov máximo positivo no es tan sencilla como se afirma, sino incluso más compleja (para calcular el exponente de Lyapunov a partir de una RP, se debe considerar toda la distribución de frecuencia de las líneas diagonales). La divergencia puede tener la tendencia del exponente de Lyapunov máximo positivo, pero no más. Además, las RP de procesos de ruido blanco también pueden tener una línea diagonal muy larga, aunque muy raramente, solo por una probabilidad finita. Por lo tanto, la divergencia no puede reflejar el exponente de Lyapunov máximo.

La probabilidad${\displaystyle p(\ell )}$que una línea diagonal tiene exactamente la longitud${\displaystyle \ell }$puede estimarse a partir de la distribución de frecuencias${\displaystyle P(\ell )}$con${\displaystyle p(\ell )={\frac {P(\ell )}{\sum _{\ell =l_{\min }}^{N}P(\ell )}}}$. La entropía de Shannon de esta probabilidad, ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\text{ENTR}}=-\sum _{\ell =\ell _{\min }}^{N}p(\ell )\ln p(\ell ),}$

Esto refleja la complejidad de la estructura determinista del sistema. Sin embargo, esta entropía depende en gran medida del número de intervalo y, por lo tanto, puede variar para diferentes realizaciones del mismo proceso, así como para diferentes preparaciones de datos.

La última medida del RQA cuantifica el adelgazamiento del gráfico de recurrencia. La tendencia es el coeficiente de regresión de una relación lineal entre la densidad de puntos de recurrencia en una línea paralela al LOI y su distancia al LOI. Más exactamente, considérese la tasa de recurrencia en una línea diagonal paralela al LOI de distancia k ( tasa de recurrencia diagonal o tasa de recurrencia τ ): ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\text{RR}}_{k}={\frac {1}{Nk}}\sum _{ji=k}^{Nk}{R}(i,j),}$

entonces la tendencia se define por ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\text{TREND}}={\frac {\sum _{i=1}^{\tilde {N}}(i-{\tilde {N}}/2)(RR_{i}-\langle RR_{i}\rangle )}{\sum _{i=1}^{\tilde {N}}(i-{\tilde {N}}/2)^{2}}},}$

con${\displaystyle \langle \cdot \rangle }$como valor promedio y${\displaystyle {\tilde {N}}<N}$Esta última relación debería garantizar que se eviten los efectos de borde producidos por densidades de puntos de recurrencia demasiado bajas en los bordes del diagrama de recurrencia. La tendencia de la medida proporciona información sobre la estacionariedad del sistema.

Similar a la${\displaystyle \tau }$-tasa de recurrencia, las demás medidas basadas en las líneas diagonales (DET, L, ENTR) pueden definirse diagonalmente. Estas definiciones son útiles para estudiar interrelaciones o sincronización entre diferentes sistemas (utilizando diagramas de recurrencia o diagramas de recurrencia cruzada ). ^{[ 8 ]}

En lugar de calcular las medidas RQA de todo el diagrama de recurrencia, se pueden calcular en ventanas pequeñas que se desplazan sobre el diagrama de recurrencia a lo largo del LOI. Esto proporciona medidas RQA dependientes del tiempo que permiten detectar, por ejemplo, transiciones caos-caos. ^{[ 9 ] [ 1 ]} Nota: la elección del tamaño de la ventana puede influir fuertemente en la tendencia de la medida .

• Gráfico de recurrencia , una potente herramienta de visualización de recurrencias en sistemas dinámicos (y otros).
• Entropía de densidad de período de recurrencia , un método de teoría de la información para resumir las propiedades de recurrencia de sistemas dinámicos tanto deterministas como estocásticos.
• Entropía aproximada

• http://www.recurrence-plot.tk/