Diagrama de recurrencia

En estadística descriptiva y teoría del caos , un diagrama de recurrencia ( DR ) es un gráfico que muestra, para cada momento${\displaystyle j}$en el tiempo, los momentos en que el estado de un sistema dinámico regresa al estado anterior en${\displaystyle i}$, es decir, cuando la trayectoria del espacio de fases visita aproximadamente la misma área en el espacio de fases que en el tiempo${\displaystyle j}$En otras palabras, es una trama de

${\displaystyle {\vec {x}}(i)\approx {\vec {x}}(j),}$

demostración${\displaystyle i}$en un eje horizontal y${\displaystyle j}$en un eje vertical, donde${\displaystyle {\vec {x}}}$es el estado del sistema (o su trayectoria en el espacio de fases).

Los procesos naturales pueden presentar un comportamiento recurrente distintivo, como periodicidades (por ejemplo, ciclos estacionales o de Milankovitch ), pero también ciclicidades irregulares (como la Oscilación del Sur de El Niño o los intervalos entre latidos cardíacos). Además, la recurrencia de estados, entendida como la proximidad arbitraria entre estados tras un periodo de divergencia , es una propiedad fundamental de los sistemas dinámicos deterministas y típica de los sistemas no lineales o caóticos (véase el teorema de recurrencia de Poincaré ). La recurrencia de estados en la naturaleza se conoce desde hace mucho tiempo y también se ha tratado en trabajos anteriores (por ejemplo, Henri Poincaré, 1890).

Una forma de visualizar la naturaleza recurrente de los estados mediante su trayectoria a través de un espacio de fase es el diagrama de recurrencia, introducido por Eckmann et al. (1987). ^{[ 1 ]} A menudo, el espacio de fase no tiene una dimensión suficientemente baja (dos o tres) para ser representado, ya que los espacios de fase de dimensiones superiores solo pueden visualizarse mediante proyección en subespacios bidimensionales o tridimensionales. Una herramienta frecuentemente utilizada para estudiar el comportamiento de dichas trayectorias del espacio de fase es entonces el mapa de Poincaré . Otra herramienta es el diagrama de recurrencia, que nos permite investigar muchos aspectos de la trayectoria del espacio de fase m- dimensional a través de una representación bidimensional.

En una recurrencia, la trayectoria regresa a una ubicación (estado) en el espacio de fases que ha visitado anteriormente, salvo un pequeño margen de error.${\displaystyle \varepsilon }$. El diagrama de recurrencia representa la colección de pares de tiempos de tales recurrencias, es decir, el conjunto de${\displaystyle (i,j)}$con${\displaystyle {\vec {x}}(i)\approx {\vec {x}}(j)}$, con${\displaystyle i}$y${\displaystyle j}$puntos discretos en el tiempo y${\displaystyle {\vec {x}}(i)}$el estado del sistema en ese momento${\displaystyle i}$(ubicación de la trayectoria en el tiempo${\displaystyle i}$Matemáticamente, esto se expresa mediante la matriz de recurrencia binaria.

${\displaystyle R(i,j)={\begin{cases}1&{\text{si}}\quad \|{\vec {x}}(i)-{\vec {x}}(j)\|\leq \varepsilon \\0&{\text{en otro caso}},\end{cases}}}$

dónde${\displaystyle \|\cdot \|}$es una norma y${\displaystyle \varepsilon }$el umbral de recurrencia. Una expresión alternativa y más formal es el uso de la función escalón de Heaviside.${\displaystyle R(i,j)=\Theta (\varepsilon -D_{i,j})}$ con${\displaystyle D_{i,j}=\|{\vec {x}}(i)-{\vec {x}}(j)\|}$la norma del vector de distancia entre${\displaystyle {\vec {x}}(i)}$y${\displaystyle {\vec {x}}(j)}$Las definiciones alternativas de recurrencia consideran diferentes distancias.${\displaystyle D_{i,j}}$, por ejemplo, distancia angular , distancia difusa o distancia de edición . ^{[ 2 ]}

El diagrama de recurrencia visualiza${\displaystyle \mathbf {R} }$con punto de color (principalmente negro) en las coordenadas${\displaystyle (i,j)}$si${\displaystyle R(i,j)=1}$, con tiempo en el${\displaystyle x}$- y${\displaystyle y}$-ejes.

Si tan solo una serie temporal univariada${\displaystyle u(t)}$Si está disponible, el espacio de fases se puede reconstruir, por ejemplo, utilizando una incrustación de retardo de tiempo (véase el teorema de Takens ):

${\displaystyle {\vec {x}}(i)=(u(i),u(i+\tau ),\ldots ,u(i+\tau (m-1)),}$

dónde${\displaystyle u(i)}$es la serie temporal (con${\displaystyle t=i\Delta t}$y${\displaystyle \Delta t}$el tiempo de muestreo),${\displaystyle m}$la dimensión de incrustación y${\displaystyle \tau }$el retardo de tiempo. Sin embargo, la reconstrucción del espacio de fases no es una parte esencial del diagrama de recurrencia (aunque a menudo se afirma en la literatura), porque se basa en trayectorias del espacio de fases que podrían derivarse directamente de las variables del sistema (por ejemplo, de las tres variables del sistema de Lorenz ) o de datos multivariados.

La apariencia visual de un diagrama de recurrencia proporciona pistas sobre la dinámica del sistema. Causado por el comportamiento característico de la trayectoria en el espacio de fases, un diagrama de recurrencia contiene estructuras típicas a pequeña escala, como puntos individuales, líneas diagonales y líneas verticales/horizontales (o una mezcla de estas últimas, que se combinan para formar cúmulos extendidos). La estructura a gran escala, también llamada textura , puede caracterizarse visualmente por ser homogénea , periódica , con deriva o interrumpida . Por ejemplo, el diagrama puede mostrar si la trayectoria es estrictamente periódica con un período${\displaystyle T}$, entonces todos esos pares de tiempos estarán separados por un múltiplo de${\displaystyle T}$y visibles como líneas diagonales.

Las estructuras a pequeña escala en los diagramas de recurrencia contienen información sobre ciertas características de la dinámica del sistema subyacente. Por ejemplo, la longitud de las líneas diagonales visibles en el diagrama de recurrencia está relacionada con la divergencia de las trayectorias del espacio de fases, por lo que puede representar información sobre la caoticidad. ^{[ 3 ]} Por lo tanto, el análisis de cuantificación de recurrencia cuantifica la distribución de estas estructuras a pequeña escala. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} Esta cuantificación puede utilizarse para describir los diagramas de recurrencia de forma cuantitativa. Las aplicaciones son la clasificación, las predicciones, la estimación de parámetros no lineales y el análisis de transiciones. A diferencia del enfoque heurístico del análisis de cuantificación de recurrencia, que depende de la elección de los parámetros de incrustación, algunos invariantes dinámicos como la dimensión de correlación , la entropía K2 o la información mutua , que son independientes de la incrustación, también pueden derivarse de los diagramas de recurrencia. La base para estos invariantes dinámicos son la tasa de recurrencia y la distribución de las longitudes de las líneas diagonales. ^{[ 3 ]} Las aplicaciones más recientes utilizan diagramas de recurrencia como herramienta para la visualización de series temporales en enfoques de aprendizaje automático y el estudio de recurrencias espacio-temporales. ^{[ 2 ]}

Los gráficos de retornos cercanos son similares a los gráficos de recurrencia. La diferencia es que se utiliza el tiempo relativo entre recurrencias para el${\displaystyle y}$eje - (en lugar del tiempo absoluto). ^{[ 6 ]}

La principal ventaja de los diagramas de recurrencia es que proporcionan información útil incluso para datos cortos y no estacionarios, donde otros métodos fallan.

Se desarrollaron extensiones multivariadas de los diagramas de recurrencia como diagramas de recurrencia cruzada y diagramas de recurrencia conjunta .

Los diagramas de recurrencia cruzada consideran las trayectorias del espacio de fases de dos sistemas diferentes en el mismo espacio de fases: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \mathbf {CR} (i,j)=\Theta (\varepsilon -\|{\vec {x}}(i)-{\vec {y}}(j)\|),\quad {\vec {x}}(i),\,{\vec {y}}(i)\in \mathbb {R} ^{m},\quad i=1,\dots ,N_{x},\ j=1,\dots ,N_{y}.}$

La dimensión de ambos sistemas debe ser la misma, pero el número de estados considerados (es decir, la longitud de los datos) puede ser diferente. Los diagramas de recurrencia cruzada comparan las ocurrencias de estados similares de dos sistemas. Se pueden utilizar para analizar la similitud de la evolución dinámica entre dos sistemas diferentes, para buscar patrones de coincidencia similares en dos sistemas o para estudiar la relación temporal de dos sistemas similares, cuya escala temporal difiere. ^{[ 8 ]}

Los diagramas de recurrencia conjuntos son el producto de Hadamard de los diagramas de recurrencia de los subsistemas considerados, ^{[ 9 ]} por ejemplo, para dos sistemas.${\displaystyle {\vec {x}}}$y${\displaystyle {\vec {y}}}$El gráfico de recurrencia conjunta es

${\displaystyle \mathbf {JR} (i,j)=\Theta (\varepsilon _{x}-\|{\vec {x}}(i)-{\vec {x}}(j)\|)\cdot \Theta (\varepsilon _{y}-\|{\vec {y}}(i)-{\vec {y}}(j)\|),\quad {\vec {x}}(i)\in \mathbb {R} ^{m},\quad {\vec {y}}(i)\in \mathbb {R} ^{n},\quad i,j=1,\dots ,N_{x,y}.}$

A diferencia de los diagramas de recurrencia cruzada, los diagramas de recurrencia conjunta comparan la ocurrencia simultánea de recurrencias en dos (o más) sistemas. Además, la dimensión de los espacios de fase considerados puede ser diferente, pero el número de estados considerados debe ser el mismo para todos los subsistemas. Los diagramas de recurrencia conjunta se pueden utilizar para detectar la sincronización de fase .

• Trama de Poincaré
• Entropía de densidad de período de recurrencia , un método de teoría de la información para resumir las propiedades de recurrencia de sistemas dinámicos tanto deterministas como estocásticos.
• Análisis de cuantificación de recurrencia , un enfoque heurístico para cuantificar diagramas de recurrencia.
• Matriz de autosimilitud
• Diagrama de puntos (bioinformática)

• Gráfico de recurrencia