Espacio compacto

En matemáticas , especialmente en topología general y análisis matemático , la compacidad es una propiedad de un espacio que hace que se comporte de muchas maneras como un conjunto finito . ^{[ 1 ]} Por ejemplo, en un conjunto finito, toda sucesión infinita debe tomar algún valor infinitamente a menudo, por el principio del palomar . Para subconjuntos del espacio euclidiano , la afirmación análoga es la compacidad secuencial : un conjunto es compacto si y solo si toda sucesión infinita en el conjunto tiene una subsucesión que converge a un punto del conjunto. De igual modo, mientras que toda función de valor real en un conjunto finito es acotada y alcanza su máximo y mínimo, toda función continua de valor real en un espacio compacto tiene estas propiedades. Para subconjuntos compactos del espacio euclidiano, este es el teorema del valor extremo .

Otra propiedad básica de los conjuntos finitos es que toda cubierta de un conjunto finito mediante subconjuntos tiene una subcubierta finita: se puede elegir, para cada punto del conjunto finito, un miembro de la cubierta que lo contiene. La propiedad topológica correspondiente se utiliza para definir la compacidad: un espacio topológico es compacto si toda cubierta abierta tiene una subcubierta finita. En espacios métricos, esto es equivalente a varias otras formulaciones, incluida la compacidad secuencial , aunque estas equivalencias pueden fallar en espacios topológicos más generales. Así, toda sucesión en el intervalo unitario cerrado [0,1] tiene una subsucesión convergente con límite en [0,1] , mientras que esto falla para espacios como el intervalo abierto (0,1) y la recta real . Para subconjuntos del espacio euclidiano, la compacidad es equivalente a ser cerrado y acotado , según el teorema de Heine-Borel . La propiedad de compacidad a menudo permite combinar información local para obtener conclusiones globales. El término conjunto compacto puede referirse tanto a un espacio topológico compacto como, más comúnmente, a un subconjunto de un espacio topológico que es compacto en la topología del subespacio.

La compacidad fue introducida formalmente por Maurice Fréchet en 1906 en un trabajo que generalizaba el teorema de Bolzano-Weierstrass de conjuntos de puntos a espacios de funciones. Posteriormente, Pavel Alexandrov y Pavel Urysohn desarrollaron la formulación de cubierta abierta, que ahora es estándar en topología. La compacidad desempeña un papel fundamental en matemáticas; por ejemplo, las funciones continuas de valores reales en espacios compactos alcanzan máximos y mínimos, y resultados importantes como el teorema de Arzelà-Ascoli y el teorema de existencia de Peano dependen de la compacidad.

En el siglo XIX, se comprendieron varias propiedades matemáticas dispares que más tarde se considerarían consecuencias de la compacidad. Por un lado, Bernard Bolzano ( 1817 ) era consciente de que cualquier sucesión acotada de puntos (en la recta o el plano, por ejemplo) tiene una subsucesión que eventualmente debe aproximarse arbitrariamente a otro punto, llamado punto límite . La demostración de Bolzano se basó en el método de bisección : la sucesión se colocaba en un intervalo que luego se dividía en dos partes iguales, y se seleccionaba una parte que contenía infinitos términos de la sucesión. El proceso podía repetirse dividiendo el intervalo resultante en partes cada vez más pequeñas, hasta que se aproximara al punto límite deseado. El significado completo del teorema de Bolzano y su método de demostración no se comprendería hasta casi 50 años después, cuando fue redescubierto por Karl Weierstrass . ^{[ 2 ]}

En la década de 1880, se hizo evidente que se podían formular resultados similares al teorema de Bolzano-Weierstrass para espacios de funciones, en lugar de solo números o puntos geométricos. La idea de considerar las funciones como puntos de un espacio generalizado se remonta a las investigaciones de Giulio Ascoli y Cesare Arzelà . ^{[ 3 ]} La culminación de sus investigaciones, el teorema de Arzelà-Ascoli , fue una generalización del teorema de Bolzano-Weierstrass a familias de funciones continuas , cuya conclusión precisa fue que era posible extraer una sucesión de funciones uniformemente convergente de una familia de funciones adecuada. El límite uniforme de esta sucesión desempeñó entonces exactamente el mismo papel que el "punto límite" de Bolzano. Hacia principios del siglo XX, comenzaron a acumularse resultados similares a los de Arzelà y Ascoli en el área de las ecuaciones integrales , investigadas por David Hilbert y Erhard Schmidt . Para una determinada clase de funciones de Green derivadas de soluciones de ecuaciones integrales, Schmidt demostró que se cumplía una propiedad análoga al teorema de Arzelà-Ascoli en el sentido de convergencia media , o convergencia en lo que más tarde se denominaría espacio de Hilbert . Esto condujo finalmente a la noción de operador compacto como una derivación de la noción general de espacio compacto. Fue Maurice Fréchet quien, en 1906 , destiló la esencia de la propiedad de Bolzano-Weierstrass y acuñó el término compacidad para referirse a este fenómeno general (ya utilizó el término en su artículo de 1904 ^{[ 4 ]} , que dio lugar a la famosa tesis de 1906).

Sin embargo, a finales del siglo XIX surgió lentamente una noción de compacidad completamente distinta a partir del estudio del continuo , considerado fundamental para la formulación rigurosa del análisis. En 1870, Eduard Heine demostró que una función continua definida en un intervalo cerrado y acotado era, de hecho, uniformemente continua . En el transcurso de la demostración, utilizó un lema que establecía que, a partir de cualquier cobertura numerable del intervalo mediante intervalos abiertos más pequeños, era posible seleccionar un número finito de estos que también lo cubrían. La importancia de este lema fue reconocida por Émile Borel ( 1895 ), y Pierre Cousin (1895) y Henri Lebesgue ( 1904 ) lo generalizaron a colecciones arbitrarias de intervalos . El teorema de Heine-Borel , como se conoce actualmente, es otra propiedad especial de los conjuntos cerrados y acotados de números reales.

Esta propiedad era significativa porque permitía el paso de información local sobre un conjunto (como la continuidad de una función) a información global sobre el conjunto (como la continuidad uniforme de una función). Este sentimiento fue expresado por Lebesgue (1904) , quien también lo aprovechó en el desarrollo de la integral que ahora lleva su nombre . Finalmente, la escuela rusa de topología de conjuntos de puntos , bajo la dirección de Pavel Alexandrov y Pavel Urysohn , formuló la compacidad de Heine-Borel de una manera que podía aplicarse a la noción moderna de espacio topológico . Alexandrov y Urysohn (1929) demostraron que la versión anterior de compacidad debida a Fréchet, ahora llamada compacidad secuencial (relativa) , bajo condiciones apropiadas se derivaba de la versión de compacidad que se formuló en términos de la existencia de subcubiertas finitas. Fue esta noción de compacidad la que se convirtió en la dominante, porque no solo era una propiedad más fuerte, sino que podía formularse en un contexto más general con un mínimo de maquinaria técnica adicional, ya que se basaba únicamente en la estructura de los conjuntos abiertos en un espacio.

Todo espacio finito es compacto; se puede obtener una subcubierta finita seleccionando, para cada punto, un conjunto abierto que lo contenga. Un ejemplo no trivial de espacio compacto es el intervalo unitario (cerrado) [ 0,1 ] de los números reales . Si se elige un número infinito de puntos distintos en el intervalo unitario, entonces debe existir algún punto de acumulación entre estos puntos en dicho intervalo. Por ejemplo, los términos impares de la secuencia 1, 1/2, 1/3, 3/4, 1/5 , 5/6 , 1/7 , 7/8 , ... se aproximan arbitrariamente a 0 , mientras que los pares se aproximan arbitrariamente a 1.  La secuencia de ejemplo dada  muestra la importancia de incluir los puntos límite del intervalo , ya que los puntos límite deben estar en el espacio mismo; un intervalo abierto (o semiabierto) de los números reales no es compacto . También es crucial que el intervalo esté acotado , ya que en el intervalo [ 0,∞) , se podría elegir la secuencia de puntos 0, 1, 2, 3, ... , de la cual ninguna subsecuencia se acerca arbitrariamente a ningún número real dado.

En dos dimensiones, los discos cerrados son compactos, ya que para cualquier número infinito de puntos muestreados de un disco, algún subconjunto de esos puntos debe acercarse arbitrariamente a un punto dentro del disco o a un punto en el borde. De igual manera, un círculo en el plano es compacto (fácilmente se ve porque es cerrado y está delimitado). Sin embargo, un disco abierto no es compacto, porque una secuencia de puntos puede tender al borde sin acercarse arbitrariamente a ningún punto en el interior. Asimismo, las esferas son compactas, pero una esfera a la que le falta un punto no lo es, ya que una secuencia de puntos aún puede tender al punto faltante, por lo que no se acerca arbitrariamente a ningún punto dentro del espacio. Las líneas y los planos no son compactos, ya que se puede tomar un conjunto de puntos igualmente espaciados en cualquier dirección dada sin aproximarse a ningún punto.

Según el nivel de generalidad, pueden aplicarse diversas definiciones de compacidad. Un subconjunto del espacio euclidiano, en particular, es compacto si y solo si es cerrado y acotado . Esto implica, según el teorema de Bolzano-Weierstrass , que cualquier sucesión infinita del conjunto tiene una subsucesión que converge a un punto del conjunto. En espacios métricos generales , pueden desarrollarse diversas nociones equivalentes de compacidad, como la compacidad secuencial y la compacidad de punto límite . ^{[ 5 ]}

En contraste, las distintas nociones de compacidad no son equivalentes en espacios topológicos generales , y la noción más útil de compacidad —originalmente llamada bicompacidad— se define mediante recubrimientos formados por conjuntos abiertos (véase Definición de recubrimiento abierto más adelante). Que esta forma de compacidad se cumpla para subconjuntos cerrados y acotados del espacio euclidiano se conoce como el teorema de Heine-Borel . La compacidad, cuando se define de esta manera, a menudo permite tomar información conocida localmente —en un entorno de cada punto del espacio— y extenderla a información que se cumple globalmente en todo el espacio. Un ejemplo de este fenómeno es el teorema de Dirichlet, al que Heine aplicó originalmente, que establece que una función continua en un intervalo compacto es uniformemente continua ; aquí, la continuidad es una propiedad local de la función, y la continuidad uniforme la propiedad global correspondiente.

• Un subconjunto cerrado de un espacio compacto es compacto. ^{[ 17 ]}
• La unión de un número finito de conjuntos compactos es compacta.
• La imagen de un espacio compacto bajo una función continua es compacta. ^{[ 18 ]}
• La intersección de cualquier colección no vacía de subconjuntos compactos de un espacio de Hausdorff es compacta (y cerrada).
  • Si X no es Hausdorff, entonces la intersección de dos subconjuntos compactos puede no ser compacta. ^{[ a ]}
• El producto de cualquier conjunto de espacios compactos es compacto. (Este es el teorema de Tychonoff , que es equivalente al axioma de elección ).
• En un espacio metrizable , un subconjunto es compacto si y solo si es secuencialmente compacto (suponiendo una elección numerable ).
• Un conjunto finito dotado de cualquier topología es compacto.

• Un espacio en el que cada subconjunto compacto es cerrado se denomina espacio KC .
  • Un subconjunto compacto de un espacio de Hausdorff X es cerrado.
  • Si X no es Hausdorff, entonces un subconjunto compacto de X puede no ser un subconjunto cerrado ^de X. [ ^{b ] [ c ]}
  • Si X no es Hausdorff, entonces la clausura de un conjunto compacto puede no ser compacta. ^{[ d ]}
  • Si X no es Hausdorff, entonces aún puede darse el caso de que todo subconjunto compacto sea cerrado. ^{[ e ]}
• En cualquier espacio vectorial topológico (TVS), un subconjunto compacto es completo . Sin embargo, todo TVS que no sea de Hausdorff contiene subconjuntos compactos (y por lo tanto completos) que no son cerrados.
• Si A y B son subconjuntos compactos disjuntos de un espacio de Hausdorff X , entonces existen conjuntos abiertos disjuntos U y V en X tales que A ⊆ U y B ⊆ V.
• Una biyección continua de un espacio compacto a un espacio de Hausdorff es un homeomorfismo .
• Un espacio Hausdorff compacto es normal y regular .
• Si un espacio X es compacto y de Hausdorff, entonces ninguna topología más fina en X es compacta, y ninguna topología más gruesa en X es de Hausdorff.
• Si un subconjunto de un espacio métrico ( X , d ) es compacto, entonces está acotado por d .

• Cualquier espacio topológico finito , incluido el conjunto vacío , es compacto. De manera más general, cualquier espacio con una topología finita (solo un número finito de conjuntos abiertos) es compacto; esto incluye en particular la topología trivial .
• Cualquier espacio que posea la topología cofinita es compacto.
• Cualquier espacio de Hausdorff localmente compacto puede convertirse en un espacio compacto añadiéndole un único punto, mediante la compactificación de un punto de Alexandroff . La compactificación de un punto de${\displaystyle \mathbb {R} }$es homeomorfo al círculo S ¹ ; la compactificación de un punto de${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$es homeomorfo a la esfera S ² . Usando la compactificación de un punto, también se pueden construir fácilmente espacios compactos que no son de Hausdorff, partiendo de un espacio que no es de Hausdorff.
• La topología de orden derecho o de orden izquierdo en cualquier conjunto totalmente ordenado y acotado es compacta. En particular, el espacio de Sierpiński es compacto.
• Ningún espacio discreto con un número infinito de puntos es compacto. El conjunto de todos los elementos unitarios del espacio es una cubierta abierta que no admite ninguna subcubierta finita. Los espacios discretos finitos son compactos.
• En${\displaystyle \mathbb {R} }$Al llevar la topología del límite inferior , ningún conjunto no numerable es compacto.
• En la topología cocontable sobre un conjunto no numerable, ningún conjunto infinito es compacto. Al igual que en el ejemplo anterior, el espacio en su conjunto no es localmente compacto , pero sigue siendo Lindelöf .
• El intervalo unitario cerrado [ 0, 1 ] es compacto. Esto se deduce del teorema de Heine-Borel . El intervalo abierto (0, 1) no es compacto: la cubierta abierta${\textstyle \left({\frac {1}{n}},1-{\frac {1}{n}}\right)}$para n = 3, 4, ... no tiene una subcubierta finita. De manera similar, el conjunto de números racionales en el intervalo cerrado [ 0,1 ] no es compacto: los conjuntos de números racionales en los intervalos${\textstyle \left[0,{\frac {1}{\pi }}-{\frac {1}{n}}\right]{\text{ and }}\left[{\frac {1}{\pi }}+{\frac {1}{n}},1\right]}$cubre todos los racionales en [0,  1] para n = 4, 5, ... pero esta cobertura no tiene una subcobertura finita. Aquí, los conjuntos son abiertos en la topología del subespacio aunque no son abiertos como subconjuntos de ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• El conjunto${\displaystyle \mathbb {R} }$de todos los números reales no es compacto ya que hay una cobertura de intervalos abiertos que no tiene una subcobertura finita. Por ejemplo, los intervalos ( n − 1, n + 1) , donde n toma todos los valores enteros en Z , cubren${\displaystyle \mathbb {R} }$pero no existe una subcobertura finita.
• Por otro lado, la recta real extendida que posee la topología análoga es compacta; cabe destacar que la cobertura descrita anteriormente nunca alcanzaría los puntos en el infinito y, por lo tanto, no cubriría la recta real extendida. De hecho, el conjunto posee el homeomorfismo a [−1,  1] que asigna a cada infinito su unidad correspondiente y a cada número real su signo multiplicado por el único número en la parte positiva del intervalo que resulta en su valor absoluto al dividirlo por uno menos sí mismo. Dado que los homeomorfismos preservan las coberturas, se puede inferir la propiedad de Heine-Borel.
• Para cada número natural n , la n -esfera es compacta. De nuevo, según el teorema de Heine-Borel, la bola unitaria cerrada de cualquier espacio vectorial normado de dimensión finita es compacta. Esto no se cumple para dimensiones infinitas; de hecho, un espacio vectorial normado es de dimensión finita si y solo si su bola unitaria cerrada es compacta.
• Por otro lado, la bola unitaria cerrada del dual de un espacio normado es compacta para la topología débil-*. ( Teorema de Alaoglu )
• El conjunto de Cantor es compacto. De hecho, todo espacio métrico compacto no vacío es una imagen continua del conjunto de Cantor.
• Consideremos el conjunto K de todas las funciones f  : R → [0, 1] desde la recta numérica real hasta el intervalo unitario cerrado, y definamos una topología en K de modo que una secuencia${\displaystyle \{f_{n}\}}$en K converge hacia f ∈ K si y solo si${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$converge hacia f ( x ) para todos los números reales x . La topología más gruesa de este tipo, a veces llamada topología de convergencia puntual , es la topología producto . Con esta topología, K es un espacio topológico compacto; esto se deduce del teorema de Tychonoff .
• Un subconjunto del espacio de Banach de funciones continuas de valor real en un espacio compacto de Hausdorff es relativamente compacto si y solo si es equicontinuo y acotado puntualmente ( teorema de Arzelà-Ascoli ).
• Consideremos el conjunto K de todas las funciones f  : [ 0, 1 ]  → [ 0, 1 ] que satisfacen la condición de Lipschitz | f ( x )  − f ( y )  |  ≤ | x  − y  | para todo x , y ∈ [ 0,1 ]    . Consideremos en K la métrica inducida por la distancia uniforme${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)-g(x)|.}$Entonces, por el teorema de Arzelà-Ascoli, el espacio K es compacto.
• El espectro de cualquier operador lineal acotado en un espacio de Banach es un subconjunto compacto no vacío de los números complejos.${\displaystyle \mathbb {C} }$. Por el contrario, cualquier subconjunto compacto de${\displaystyle \mathbb {C} }$surge de esta manera, como el espectro de algún operador lineal acotado. Por ejemplo, un operador diagonal en el espacio de Hilbert.${\displaystyle \ell ^{2}}$puede tener cualquier subconjunto compacto no vacío de${\displaystyle \mathbb {C} }$como espectro.
• El espacio de medidas de probabilidad de Borel en un espacio compacto de Hausdorff es compacto para la topología vaga , por el teorema de Alaoglu.
• Una colección de medidas de probabilidad en los conjuntos de Borel del espacio euclidiano se denomina compacta si, para cualquier épsilon positivo, existe un subconjunto compacto que contiene todas las medidas excepto, como máximo, épsilon de la masa de cada una de ellas. El teorema de Prokhorov afirma entonces que una colección de medidas de probabilidad es relativamente compacta para la topología vaga si y solo si es compacta.

• Sundström, Manya Raman (2010). "Una historia pedagógica de la compacidad". arXiv : 1006.4131v1 [ math.HO ].

Este artículo incorpora material de Ejemplos de espacios compactos en PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Atribución/Compartir Igual .