Punto de acumulación

En matemáticas, un punto límite , un punto de acumulación o un punto de agrupación de un conjunto${\displaystyle S}$en un espacio topológico${\displaystyle X}$es un punto${\displaystyle x}$que pueden ser "aproximados" por puntos de${\displaystyle S}$en el sentido de que cada vecindario de${\displaystyle x}$contiene un punto de${\displaystyle S}$otro que${\displaystyle x}$en sí mismo. Un punto límite de un conjunto${\displaystyle S}$no tiene por qué ser un elemento de${\displaystyle S.}$ También existe un concepto estrechamente relacionado para las secuencias . Un punto de agrupación o punto de acumulación de una secuencia.${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$en un espacio topológico${\displaystyle X}$es un punto${\displaystyle x}$de tal manera que, para cada vecindario${\displaystyle V}$de${\displaystyle x,}$Hay infinitos números naturales${\displaystyle n}$de tal manera que${\displaystyle x_{n}\in V.}$Esta definición de clúster o punto de acumulación de una secuencia se generaliza a redes y filtros .

La noción similar de punto límite de una secuencia ^{[ 1 ]} (respectivamente, punto límite de un filtro , ^{[ 2 ]} punto límite de una red ) se refiere por definición a un punto al que converge la secuencia (respectivamente, el filtro converge a , la red converge a ). Es importante destacar que, si bien "punto límite de un conjunto" es sinónimo de "punto de agrupación/acumulación de un conjunto", esto no se aplica a las secuencias (ni a las redes ni a los filtros). Es decir, el término "punto límite de una secuencia" no es sinónimo de "punto de agrupación/acumulación de una secuencia".

Los puntos límite de un conjunto no deben confundirse con los puntos adherentes (también llamados puntos de cierre ) para los cuales cada entorno de${\displaystyle x}$contiene algún punto de${\displaystyle S}$. A diferencia de los puntos límite, un punto adherente${\displaystyle x}$de${\displaystyle S}$puede tener un vecindario que no contenga puntos distintos a${\displaystyle x}$en sí mismo. Un punto límite puede caracterizarse como un punto adherente que no es un punto aislado .

Los puntos límite de un conjunto tampoco deben confundirse con los puntos frontera . Por ejemplo,${\displaystyle 0}$es un punto límite (pero no un punto de frontera) del conjunto${\displaystyle \{0\}}$en${\displaystyle \mathbb {R} }$con topología estándar . Sin embargo,${\displaystyle 0.5}$es un punto límite (aunque no un punto frontera) de intervalo${\displaystyle [0,1]}$en${\displaystyle \mathbb {R} }$con topología estándar (para un ejemplo menos trivial de un punto límite, véase el primer pie de foto). ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

Este concepto generaliza provechosamente la noción de límite y constituye la base de conceptos como conjunto cerrado y cierre topológico . De hecho, un conjunto es cerrado si y solo si contiene todos sus puntos límite, y la operación de cierre topológico puede entenderse como una operación que enriquece un conjunto al unirlo con sus puntos límite.

Cada secuencia${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$en${\displaystyle X}$es por definición solo un mapa${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$para que su imagen${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }:=\left\{x_{n}:n\in \mathbb {N} \right\}}$puede definirse de la forma habitual.

• Si existe un elemento${\displaystyle x\in X}$que ocurre infinitas veces en la secuencia,${\displaystyle x}$es un punto de acumulación de la secuencia. Pero${\displaystyle x}$no tiene por qué ser un punto de acumulación del conjunto correspondiente${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }.}$Por ejemplo, si la secuencia es la secuencia constante con valor${\displaystyle x,}$tenemos${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }=\{x\}}$y${\displaystyle x}$es un punto aislado de${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }}$y no un punto de acumulación de${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }.}$

• Si ningún elemento aparece infinitas veces en la secuencia, por ejemplo, si todos los elementos son distintos, cualquier punto de acumulación de la secuencia es un${\displaystyle \omega }$-punto de acumulación del conjunto asociado${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }.}$

Por el contrario, dado un conjunto infinito numerable${\displaystyle A\subsetequ X}$en${\displaystyle X,}$podemos enumerar todos los elementos de${\displaystyle A}$De muchas maneras, incluso con repeticiones, y por lo tanto asociar con ello muchas secuencias${\displaystyle x_{\bullet }}$eso satisfará${\displaystyle A=\operatorname {Im} x_{\bullet }.}$

• Cualquier${\displaystyle \omega }$-punto de acumulación de${\displaystyle A}$es un punto de acumulación de cualquiera de las secuencias correspondientes (porque cualquier vecindario del punto contendrá infinitos elementos de${\displaystyle A}$y por lo tanto también infinitos términos en cualquier secuencia asociada).

• Un punto${\displaystyle x\in X}$eso no es un${\displaystyle \omega }$-punto de acumulación de${\displaystyle A}$no puede ser un punto de acumulación de ninguna de las secuencias asociadas sin repeticiones infinitas (porque${\displaystyle x}$tiene un vecindario que contiene solo un número finito de puntos (posiblemente incluso ninguno)${\displaystyle A}$y ese vecindario solo puede contener un número finito de términos de tales secuencias).

Cada límite de una sucesión no constante es un punto de acumulación de la sucesión. Y por definición, cada punto límite es un punto adherente .

El cierre${\displaystyle \operatorname {cl} (S)}$de un conjunto${\displaystyle S}$es una unión disjunta de sus puntos límite${\displaystyle L(S)}$y puntos aislados${\displaystyle I(S)}$; eso es, $${\displaystyle \operatorname {cl} (S)=L(S)\cup I(S)\quad {\text{y}}\quad L(S)\cap I(S)=\emptyset .}$$

Un punto${\displaystyle x\in X}$es un punto límite de${\displaystyle S\subsetequ X}$si y solo si está en el cierre de${\displaystyle S\setminus \{x\}.}$

Si usamos${\displaystyle L(S)}$para denotar el conjunto de puntos límite de${\displaystyle S,}$Entonces tenemos la siguiente caracterización del cierre de${\displaystyle S}$: El cierre de${\displaystyle S}$es igual a la unión de${\displaystyle S}$y${\displaystyle L(S).}$Este hecho a veces se toma como la definición de cierre .

Un corolario de este resultado nos da una caracterización de los conjuntos cerrados: Un conjunto${\displaystyle S}$Se considera cerrado si y solo si contiene todos sus puntos límite.

Ningún punto aislado es un punto límite de ningún conjunto.

Un espacio${\displaystyle X}$es discreto si y solo si ningún subconjunto de${\displaystyle X}$tiene un punto límite.

Si un espacio${\displaystyle X}$tiene la topología trivial y${\displaystyle S}$es un subconjunto de${\displaystyle X}$con más de un elemento, entonces todos los elementos de${\displaystyle X}$son puntos límite de${\displaystyle S.}$Si${\displaystyle S}$es un singleton, entonces cada punto de${\displaystyle X\setminus S}$es un punto límite de${\displaystyle S.}$

• Punto adherente : punto que pertenece a la clausura de algún subconjunto dado de un espacio topológico. 
• Punto de condensación – Tipo de punto de acumulación 
• Filtro convergente : uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos. Páginas que muestran descripciones breves de los destinos de redireccionamiento. 
• Conjunto derivado (matemáticas) – Conjunto de todos los puntos límite de un conjunto 
• Filtros en topología : uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos. 
• Punto aislado : Punto de un subconjunto S alrededor del cual no hay otros puntos de S. 
• Límite de una función : punto al que convergen las funciones en el análisis. 
• Límite de una sucesión : Valor al que tiende una sucesión infinita. 
• Límite subsecuente – Límite de alguna subsecuencia 

• Bourbaki, Nicolás (1989) [1966]. Topología general: capítulos 1 a 4 [ Topologie Générale ] . Elementos matemáticos . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. doi : 10.1007/978-3-642-61701-0 . ISBN 978-3-540-64241-1OCLC 18588129 .​ 
• Dugundji, James (1966). Topología . Boston: Allyn and Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7OCLC 395340485​​ 
• Munkres, James R. (2000). Topología (2.ª  ed.). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9OCLC 42683260 .​ ( Accesible para usuarios con discapacidades visuales )
• "Punto límite de un conjunto" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]