álgebra de Banach

En matemáticas , especialmente en análisis funcional , un álgebra de Banach , que recibe su nombre de Stefan Banach , es un álgebra asociativa.${\displaystyle A}$sobre los números reales o complejos (o sobre un cuerpo normado completo no arquimediano ) que al mismo tiempo es también un espacio de Banach , es decir, un espacio normado que es completo en la métrica inducida por la norma. Se requiere que la norma satisfaga $${\displaystyle \|x\,y\|\ \leq \|x\|\,\|y\|\quad {\text{ para todo }}x,y\in A.}$$

Esto garantiza que la operación de multiplicación sea continua con respecto a la topología métrica .

Un álgebra de Banach se denomina unitaria si tiene un elemento identidad para la multiplicación cuya norma es${\displaystyle 1,}$y conmutativa si su multiplicación es conmutativa . Cualquier álgebra de Banach${\displaystyle A}$(sea unitario o no) puede incrustarse isométricamente en un álgebra de Banach unitaria.${\displaystyle A_{e}}$para formar un ideal cerrado de${\displaystyle A_{e}}$A menudo se asume a priori que el álgebra en consideración es unitaria porque se puede desarrollar gran parte de la teoría considerando${\displaystyle A_{e}}$y luego aplicando el resultado en el álgebra original. Sin embargo, esto no siempre es así. Por ejemplo, no se pueden definir todas las funciones trigonométricas en un álgebra de Banach sin identidad.

La teoría de las álgebras de Banach reales puede ser muy diferente de la teoría de las álgebras de Banach complejas. Por ejemplo, el espectro de un elemento de un álgebra de Banach compleja no trivial nunca puede ser vacío, mientras que en un álgebra de Banach real podría serlo para algunos elementos.

Las álgebras de Banach también se pueden definir sobre cuerpos de${\displaystyle p}$Números -ádicos . Esto es parte de${\displaystyle p}$análisis -ádico .

El ejemplo prototípico de un álgebra de Banach es${\displaystyle C_{0}(X)}$, el espacio de funciones continuas (de valores complejos), definidas en un espacio de Hausdorff localmente compacto${\displaystyle X}$, que se desvanecen en el infinito .${\displaystyle C_{0}(X)}$es unitario si y solo si${\displaystyle X}$es compacto . La conjugación compleja es una involución ,${\displaystyle C_{0}(X)}$es, de hecho, un álgebra C* . En términos más generales, toda álgebra C* es, por definición, un álgebra de Banach.

• El conjunto de números reales (o complejos) es un álgebra de Banach cuya norma viene dada por el valor absoluto .
• El conjunto de todos los números reales o complejos${\displaystyle n}$-por-${\displaystyle n}$Las matrices se convierten en un álgebra de Banach unitaria si las equipamos con una norma matricial submultiplicativa .
• Toma el espacio Banach${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(o${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$) con norma${\displaystyle \|x\|=\max _{}|x_{i}|}$y definir la multiplicación componente a componente:${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)=\left(x_{1}y_{1},\ldots ,x_{n}y_{n}\right).}$
• Los cuaterniones forman un álgebra de Banach real de 4 dimensiones, cuya norma viene dada por el valor absoluto de los cuaterniones.
• El álgebra de todas las funciones acotadas de valor real o complejo definidas en algún conjunto (con multiplicación puntual y la norma del supremo ) es un álgebra de Banach unitaria.
• El álgebra de todas las funciones continuas acotadas con valores reales o complejos en algún espacio localmente compacto (de nuevo con operaciones puntuales y norma del supremo) es un álgebra de Banach.
• El álgebra de todos los operadores lineales continuos en un espacio de Banach${\displaystyle E}$(con la composición funcional como multiplicación y la norma del operador como norma) es un álgebra de Banach unitaria. El conjunto de todos los operadores compactos en${\displaystyle E}$es un álgebra de Banach y un ideal cerrado. No tiene identidad si${\displaystyle \dim E=\infty .}$^{[ 1 ]}
• Si${\displaystyle G}$es un grupo topológico de Hausdorff localmente compacto y${\displaystyle \mu }$es su medida de Haar , entonces el espacio de Banach${\displaystyle L^{1}(G)}$de todos${\displaystyle \mu }$-funciones integrables en${\displaystyle G}$se convierte en un álgebra de Banach bajo la convolución${\displaystyle xy(g)=\int x(h)y\left(h^{-1}g\right)d\mu (h)}$para${\displaystyle x,y\in L^{1}(G).}$^{[ 2 ]}
• Álgebra uniforme : Un álgebra de Banach que es una subálgebra del álgebra compleja.${\displaystyle C(X)}$con la norma suprema y que contiene las constantes y separa los puntos de${\displaystyle X}$(que debe ser un espacio Hausdorff compacto).
• Álgebra de funciones de Banach natural : Un álgebra uniforme cuyos caracteres son evaluaciones en puntos de${\displaystyle X.}$
• C*-álgebra : Un álgebra de Banach que es una *-subálgebra cerrada del álgebra de operadores acotados en algún espacio de Hilbert .
• Álgebra de medidas : Un álgebra de Banach que consta de todas las medidas de Radon en algún grupo localmente compacto , donde el producto de dos medidas viene dado por la convolución de medidas . ^{[ 2 ]}
• El álgebra de los cuaterniones${\displaystyle \mathbb {H} }$es un álgebra de Banach real, pero no es un álgebra compleja (y por lo tanto no es un álgebra de Banach compleja) por la sencilla razón de que el centro de los cuaterniones son los números reales, que no pueden contener una copia de los números complejos.
• Un álgebra afinoide es un tipo específico de álgebra de Banach sobre un cuerpo no arquimediano. Las álgebras afinoides son los componentes básicos de la geometría analítica rígida .

Varias funciones elementales definidas mediante series de potencias pueden definirse en cualquier álgebra de Banach unitaria; ejemplos de ello son la función exponencial y las funciones trigonométricas , y, de forma más general, cualquier función entera . (En particular, la aplicación exponencial puede utilizarse para definir grupos de índices abstractos ). La fórmula de la serie geométrica sigue siendo válida en álgebras de Banach unitarias generales. El teorema del binomio también se cumple para dos elementos conmutativos de un álgebra de Banach.

El conjunto de elementos invertibles en cualquier álgebra de Banach unitaria es un conjunto abierto , y la operación de inversión sobre este conjunto es continua (y por lo tanto es un homeomorfismo), de modo que forma un grupo topológico bajo la multiplicación. ^{[ 3 ]}

Si un álgebra de Banach tiene unidad${\displaystyle \mathbf {1} ,}$entonces${\displaystyle \mathbf {1} }$no puede ser un conmutador ; es decir,${\displaystyle xy-yx\neq \mathbf {1} }$para cualquier${\displaystyle x,y\in A.}$Esto se debe a que${\displaystyle xy}$y${\displaystyle yx}$tienen el mismo espectro excepto posiblemente${\displaystyle 0.}$

Las distintas álgebras de funciones que se muestran en los ejemplos anteriores tienen propiedades muy diferentes a las de los ejemplos estándar de álgebras, como las de los números reales. Por ejemplo:

• Toda álgebra de Banach real que sea un álgebra de división es isomorfa a los números reales, los complejos o los cuaterniones. Por lo tanto, la única álgebra de Banach compleja que es un álgebra de división son los complejos. (Esto se conoce como el teorema de Gelfand-Mazur ).
• Toda álgebra de Banach real unitaria sin divisores de cero , y en la que todo ideal principal es cerrado , es isomorfa a los números reales, los complejos o los cuaterniones. ^{[ 4 ]}
• Toda álgebra de Banach noetheriana conmutativa, real y unitaria, sin divisores de cero, es isomorfa a los números reales o complejos.
• Toda álgebra de Banach noetheriana unitaria real conmutativa (que posiblemente tenga divisores cero) es de dimensión finita.
• Los elementos singulares permanentes en las álgebras de Banach son divisores topológicos de cero , es decir, considerando extensiones${\displaystyle B}$de álgebras de Banach${\displaystyle A}$algunos elementos que son singulares en el álgebra dada${\displaystyle A}$tener un elemento inverso multiplicativo en una extensión de álgebra de Banach${\displaystyle B.}$ Divisores topológicos de cero en${\displaystyle A}$son permanentemente singulares en cualquier extensión de Banach${\displaystyle B}$de${\displaystyle A.}$

Las álgebras de Banach unitarias sobre el cuerpo complejo proporcionan un marco general para desarrollar la teoría espectral. El espectro de un elemento${\displaystyle x\in A,}$denotado por${\displaystyle \sigma (x)}$, consta de todos esos escalares complejos${\displaystyle \lambda }$de tal manera que${\displaystyle x-\lambda \mathbf {1} }$no es invertible en${\displaystyle A.}$ El espectro de cualquier elemento${\displaystyle x}$es un subconjunto cerrado del disco cerrado en${\displaystyle \mathbb {C} }$con radio${\displaystyle \|x\|}$y centro${\displaystyle 0,}$y por lo tanto es compacto . Además, el espectro${\displaystyle \sigma (x)}$de un elemento${\displaystyle x}$no es vacío y satisface la fórmula del radio espectral :$${\displaystyle \sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (x)\}=\lim _{n\to \infty }\|x^{n}\|^{1/n}.}$$

Dado${\displaystyle x\in A,}$El cálculo funcional holomorfo permite definir${\displaystyle f(x)\in A}$para cualquier función${\displaystyle f}$holomorfo en un vecindario de${\displaystyle \sigma (x).}$ Además, se cumple el teorema de mapeo espectral: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \sigma (f(x))=f(\sigma (x)).}$$

Cuando el álgebra de Banach${\displaystyle A}$es el álgebra${\displaystyle L(X)}$de operadores lineales acotados en un espacio de Banach complejo${\displaystyle X}$(por ejemplo, el álgebra de matrices cuadradas), la noción del espectro en${\displaystyle A}$coincide con el habitual en la teoría de operadores . Para${\displaystyle f\in C(X)}$(con un espacio Hausdorff compacto${\displaystyle X}$), se observa que: $${\displaystyle \sigma (f)=\{f(t):t\in X\}.}$$

La norma de un elemento normal${\displaystyle x}$El radio espectral de un álgebra C* coincide con el radio espectral. Esto generaliza un hecho análogo para los operadores normales.

Dejar${\displaystyle A}$sea ​​un álgebra de Banach unitaria compleja en la que cada elemento distinto de cero${\displaystyle x}$es invertible (un álgebra de división). Para cada${\displaystyle a\in A,}$hay${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$de tal manera que ${\displaystyle a-\lambda \mathbf {1} }$no es invertible (porque el espectro de${\displaystyle a}$no está vacío) por lo tanto${\displaystyle a=\lambda \mathbf {1}$ :} esta álgebra${\displaystyle A}$es naturalmente isomorfo a${\displaystyle \mathbb {C} }$(el caso complejo del teorema de Gelfand-Mazur).

Dejar${\displaystyle A}$sea ​​un álgebra de Banach conmutativa unitaria sobre${\displaystyle \mathbb {C} .}$Desde${\displaystyle A}$es entonces un anillo conmutativo con unidad, cada elemento no invertible de${\displaystyle A}$pertenece a algún ideal máximo de${\displaystyle A.}$Dado que un ideal máximo${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$en${\displaystyle A}$está cerrado,${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}}$es un álgebra de Banach que es un cuerpo, y del teorema de Gelfand-Mazur se deduce que existe una biyección entre el conjunto de todos los ideales maximales de${\displaystyle A}$y el conjunto${\displaystyle \Delta (A)}$de todos los homomorfismos no nulos de${\displaystyle A}$a${\displaystyle \mathbb {C} .}$El conjunto${\displaystyle \Delta (A)}$se denomina espacio de estructura o espacio de caracteres de${\displaystyle A}$.

Un personaje${\displaystyle \chi \en \Delta (A)}$es un funcional lineal en${\displaystyle A}$que es al mismo tiempo multiplicativo,${\displaystyle \chi (ab)=\chi (a)\chi (b),}$y satisface${\displaystyle \chi (\mathbf {1} )=1.}$ Cada carácter es automáticamente continuo desde${\displaystyle A}$a${\displaystyle \mathbb {C} ,}$puesto que el núcleo de un carácter es un ideal maximal, que es cerrado. Además, la norma (es decir, la norma del operador) de un carácter es uno. Equipado con la topología de convergencia puntual en${\displaystyle A}$(es decir, la topología inducida por la topología débil-* de${\displaystyle A^{*}}$), el espacio de caracteres,${\displaystyle \Delta (A),}$Es un espacio compacto de estilo Hausdorff.

Para cualquier${\displaystyle x\in A,}$$${\displaystyle \sigma (x)=\sigma ({\hat {x}})}$$ dónde${\displaystyle {\hat {x}}}$es la representación de Gelfand de${\displaystyle x}$definido de la siguiente manera:${\displaystyle {\hat {x}}}$es la función continua de${\displaystyle \Delta (A)}$a${\displaystyle \mathbb {C} }$dado por${\displaystyle {\hat {x}}(\chi )=\chi (x).}$ El espectro de${\displaystyle {\hat {x}},}$En la fórmula anterior, el espectro es un elemento del álgebra.${\displaystyle C(\Delta (A))}$de funciones continuas complejas en el espacio compacto${\displaystyle \Delta (A).}$ Explícitamente, $${\displaystyle \sigma ({\hat {x}})=\{\chi (x):\chi \in \Delta (A)\}.}$$

Como álgebra, un álgebra de Banach conmutativa unitaria es semisimple (es decir, su radical de Jacobson es cero) si y solo si su representación de Gelfand tiene núcleo trivial. Un ejemplo importante de tal álgebra es un álgebra C* conmutativa. De hecho, cuando${\displaystyle A}$es un álgebra C* unitaria conmutativa, la representación de Gelfand es entonces un *-isomorfismo isométrico entre${\displaystyle A}$y${\displaystyle C(\Delta (A)).}$^{[ a ]}

Un álgebra de Banach *${\displaystyle A}$es un álgebra de Banach sobre el campo de los números complejos , junto con un mapa${\displaystyle {}^{*}:A\to A}$que tiene las siguientes propiedades:

1. ${\displaystyle \left(x^{*}\right)^{*}=x}$a pesar de${\displaystyle x\in A}$(por lo tanto, el mapa es una involución ).
2. ${\displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}$a pesar de${\displaystyle x,y\in A.}$
3. ${\displaystyle (\lambda x)^{*}={\bar {\lambda }}x^{*}}$por cada${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$y cada${\displaystyle x\in A;}$aquí,${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$denota el conjugado complejo de${\displaystyle \lambda .}$
4. ${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$a pesar de${\displaystyle x,y\in A.}$

En otras palabras, un *-álgebra de Banach es un álgebra de Banach sobre${\displaystyle \mathbb {C} }$eso también es un *-álgebra .

En la mayoría de los ejemplos naturales, también se tiene que la involución es isométrica , es decir, $${\displaystyle \|x^{*}\|=\|x\|\quad {\text{ for all }}x\in A.}$$ Algunos autores incluyen esta propiedad isométrica en la definición de un álgebra de Banach *.

Un álgebra * de Banach que satisface${\displaystyle \|x^{*}x\|=\|x^{*}\|\|x\|}$es un álgebra C* .

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