Divisor topológico de cero

En matemáticas , un elemento${\displaystyle z}$de un álgebra de Banach${\displaystyle A}$Se denomina divisor topológico de cero si existe una secuencia${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},...}$de elementos de${\displaystyle A}$de tal manera que

1. La secuencia${\displaystyle zx_{n}}$converge al elemento cero, pero
2. La secuencia${\displaystyle x_{n}}$no converge al elemento cero.

Si existe tal secuencia, entonces se puede suponer que${\displaystyle \left\Vert \ x_{n}\right\|=1}$a pesar de${\displaystyle n}$.

Si${\displaystyle A}$no es conmutativo , entonces${\displaystyle z}$Se denomina divisor topológico "izquierdo" de cero, y los divisores topológicos "derechos" de cero se pueden definir de forma similar.

• Si${\displaystyle A}$tiene un elemento unitario, entonces los elementos invertibles de${\displaystyle A}$formar un subconjunto abierto de${\displaystyle A}$, mientras que los elementos no invertibles son el subconjunto cerrado complementario . Cualquier punto en el límite entre estos dos conjuntos es un divisor topológico de cero tanto por la izquierda como por la derecha.
• En particular, cualquier elemento cuasinilpotente es un divisor topológico de cero (por ejemplo, el operador de Volterra ).
• Un operador en un espacio de Banach${\displaystyle X}$, que es inyectivo , no sobreyectivo , pero cuya imagen es densa en${\displaystyle X}$, es un divisor topológico izquierdo de cero.

La noción de divisor topológico de cero puede generalizarse a cualquier álgebra topológica . Si el álgebra en cuestión no es numerable de primer orden , se deben sustituir las secuencias utilizadas en la definición por redes .