Operador de Volterra

En matemáticas , en el área del análisis funcional y la teoría de operadores , el operador de Volterra , que recibe su nombre de Vito Volterra , es un operador lineal acotado en el espacio L² [0,1] de funciones de cuadrado integrable con valores complejos en el intervalo [0,1]. En el subespacio C [0,1] de funciones continuas ^, representa la integración indefinida . Es el operador correspondiente a las ecuaciones integrales de Volterra .

El operador de Volterra, V , puede definirse para una función f  ∈ L ² [0,1] y un valor t ∈ [0,1], como ^{[ 1 ]}   

${\displaystyle V(f)(t)=\int _{0}^{t}f(s)\,ds.}$

• V es un operador lineal acotado entre espacios de Hilbert , con forma de núcleo$${\displaystyle Vf(x)=\int _{0}^{1}1_{y\leq x}f(y)dy}$$demostrado intercambiando el signo integral .
• V es un operador de Hilbert-Schmidt con norma${\displaystyle \|V\|_{HS}^{2}=1/2}$, por lo tanto, en particular es compacto .
• Su adjunto hermitiano tiene forma de núcleo$${\displaystyle V^{*}(f)(x)=\int _{x}^{1}f(y)dy=\int _{0}^{1}1_{y\geq x}f(y)dy}$$
• El operador integral definido positivo${\displaystyle K:=V^{*}V}$tiene forma de núcleo$${\displaystyle Kf(x)=\int _{0}^{1}\min(1-x,1-y)f(y)dy}$$probado intercambiando el signo integral. De manera similar,${\displaystyle VV^{*}}$tiene kernel${\displaystyle \min(x,y)}$Son unitariamente equivalentes mediante${\displaystyle Uf(x)=f(1-x)}$, por lo que ambos tienen el mismo espectro.
• Las funciones propias de${\displaystyle VV^{*}}$satisfacer${\displaystyle {\begin{cases}f(1)&=0\\f'(0)&=0\\f''(x)&=-\lambda ^{-1}f\end{cases}}}$con solución$${\displaystyle f(x)=\sin((k+1/2)\pi x),\lambda =\left({\frac {1}{(k+1/2)\pi }}\right)^{2}}$$con${\displaystyle k=0,1,2,\dots }$.
• Los valores singulares de V son${\displaystyle ((k+1/2)\pi )^{-1}}$con${\displaystyle k=0,1,2,\dots }$.
• La norma del operador de V es${\displaystyle 2/\pi }$.
• V no es una clase de traza .
• V no tiene autovalores y, por lo tanto, según la teoría espectral de operadores compactos , su espectro σ ( V ) = {0}. ^{[ 2 ] [ 3 ]}
• V es un operador cuasi-ilpotente (es decir, el radio espectral , ρ ( V ), es cero), pero no es un operador nilpotente .

• Integral del producto

• Gohberg, Israel; Krein, MG (1970). Teoría y aplicaciones de los operadores de Volterra en espacios de Hilbert . Providence: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3627-7.