Teoría espectral de operadores compactos

Dejar${\textstyle (IC)x_{n}\to y}$en norma.

Si${\textstyle d\left(x_{n},\operatorname {Ker} (IC)\right)}$Si está acotado, entonces existe una secuencia${\textstyle m_{n}\in \operatorname {Ker} (IC)}$de tal manera que${\textstyle (x_{n}-m_{n})_{n}}$está limitado, y todavía tenemos${\textstyle (IC)(x_{n}-m_{n})\to y}$.

Así que WLOG,${\textstyle (x_{n})_{n}}$está acotada. Entonces la compacidad de${\textstyle C}$implica que existe una subsecuencia${\textstyle x_{n_{k}}}$de tal manera que${\textstyle Cx_{n_{k}}}$es convergente en norma. Por lo tanto,${\textstyle x_{n_{k}}=(IC)x_{n_{k}}+Cx_{n_{k}}}$es convergente a la norma, a alguna${\textstyle x}$. De este modo${\textstyle y=(IC)x\in \operatorname {Ran} (IC)}$.

Ahora demostramos que${\textstyle d\left(x_{n},\operatorname {Ker} (IC)\right)}$está delimitado.

De lo contrario, seleccione una subsecuencia divergente.${\textstyle x_{n}}$y definir vectores${\textstyle z_{n}=x_{n}/\|x_{n}+\operatorname {Ker} (IC)\|_{X/\operatorname {Ker} (IC)}}$.

Desde${\textstyle \|x_{n}+\operatorname {Ker} (IC)\|_{X/\operatorname {Ker} (IC)}=d\left(x_{n},\operatorname {Ker} (IC)\right)}$es ilimitado, tenemos${\textstyle (IC)z_{n}\to 0}$. Además, también tenemos que${\textstyle z_{n}+M}$es una secuencia de vectores unitarios en${\textstyle X/\operatorname {Ker} (IC)}$.

Por lo tanto, según la mitad anterior de la demostración, existe una subsucesión convergente.${\textstyle z_{n_{k}}\to z}$, de tal manera que${\textstyle (IC)z=0}$, entonces${\textstyle z\in \operatorname {Ker} (IC)}$, entonces${\textstyle z+\operatorname {Ker} (IC)}$es un vector cero, contradicción.

i ) Sin pérdida de generalidad, supongamos que λ = 1.

Asumir${\textstyle 1}$no es un valor propio, entonces${\textstyle IC}$es inyectiva. Dado que es acotada, pero no tiene inversa acotada, no es sobreyectiva, según el teorema de la inversa acotada.

Por el Lema 2, Y ₁ = Ran ( I − C ) es un subespacio propio cerrado de X . Como ( I − C ) es inyectivo, Y ₂ = ( I − C ) Y ₁ es de nuevo un subespacio propio cerrado de Y ₁ . Definimos Y _n = Ran ( I − C ) ⁿ . Consideremos la sucesión decreciente de subespacios

${\displaystyle Y_{1}\supset \cdots \supset Y_{n}\cdots \supset Y_{m}\cdots }$

donde todas las inclusiones son apropiadas, ya que${\displaystyle IC}$es inyectiva. Por el lema de Riesz, podemos elegir vectores unitarios y _n ∈ Y _n tales que d ( y _n , Y _{n +1} ) > ½. La compacidad de C significa que { C y _n } tiene una subsucesión convergente. Pero para n < m

${\displaystyle \left\|Cy_{n}-Cy_{m}\right\|=\left\|(CI)y_{n}+y_{n}-(CI)y_{m}-y_{m}\right\|}$

y fíjate que${\displaystyle (CI)y_{n}\in Y_{n+1},\;(CI)y_{m}\in Y_{m+1}\subset Y_{n+2},\;y_{m}\in Y_{m}\subset Y_{n+1}}$, de este modo

${\displaystyle (CI)y_{n}-(CI)y_{m}-y_{m}\in Y_{n+1},}$

lo cual implica${\displaystyle \|}$Cy _n − Cy _m${\displaystyle \|}$> ½, por lo que no puede tener una subsucesión convergente. Contradicción. ▮

ii ) Consideremos la sucesión { Y _n = Ker( λ − C ) ⁿ } de subespacios cerrados. Satisface${\displaystyle Ker(\lambda -C)^{1}\subset Ker(\lambda -C)^{2}\subset \cdots }$Si alguna vez tenemos alguna${\displaystyle Ker(\lambda -C)^{n}=Ker(\lambda -C)^{n+1}}$, entonces la secuencia deja de aumentar a partir de ese punto.

El teorema afirma que deja de aumentar después de un número finito de pasos. Supongamos que no se detiene, es decir, la inclusión Ker( λ − C ) ⁿ ⊂ Ker( λ − C ) ^{n +1} es propia para todo n . Por el lema de Riesz, existe una sucesión { y _n } _{n ≥ 2} de vectores unitarios tal que y _n ∈ Y _n y d ( y _n , Y _{n − 1} ) > ½. Como antes, la compacidad de C significa que { C y _n } debe contener una subsucesión convergente en norma. Pero para n < m

${\displaystyle \|Cy_{n}-Cy_{m}\|=\|(CI)y_{n}+y_{n}-(CI)y_{m}-y_{m}\|}$

y fíjate que

${\displaystyle (CI)y_{n}+y_{n}-(CI)y_{m}\in Y_{m-1},}$

lo cual implica${\displaystyle \|}$Cy _n − Cy _m${\displaystyle \|}$> ½. Esto es una contradicción, por lo que la secuencia { Y _n = Ker( λ − C ) ⁿ } debe terminar en algún m finito .

Ker( λ − C ) ⁿ es compacto por inducción en${\displaystyle n}$Según el lema de Riesz, esto significa que es de dimensión finita.

Para${\displaystyle n=1}$, dada cualquier secuencia${\displaystyle x_{n}\in Ker(\lambda -C)}$con norma acotada por 1, por compacidad de${\displaystyle C}$, existe una subsecuencia tal que${\displaystyle x_{n_{k}}=Cx_{n_{k}}/\lambda \to y}$Por lo tanto, la bola de unidad cerrada en${\displaystyle Ker(\lambda -C)}$es compacto.

Inducir. Deje${\displaystyle x_{n}\in Ker(\lambda -C)^{n+1}}$Sea una sucesión en la bola unitaria con norma acotada por 1. Ahora,${\displaystyle (\lambda -C)x_{n_{k}}}$está contenido dentro de una bola en${\displaystyle Ker(\lambda -C)^{n}}$, que es compacto por inducción. También utilizamos la compacidad del operador. Así que tomamos subsecuencias dos veces, para obtener algo${\displaystyle x_{n_{k}}}$, de tal manera que${\displaystyle Cx_{n_{k}}}$y${\displaystyle (\lambda -C)x_{n_{k}}}$son ambos convergentes, por lo tanto${\displaystyle x_{n_{k}}}$también es convergente. ▮

iii ) Supongamos que existen infinitos (al menos numerables) { λ _n } distintos en el espectro, tales que${\displaystyle |}$λ _n${\displaystyle |}$> ε para todo n . Obtenemos una contradicción, concluyendo así que no hay puntos de acumulación distintos de cero.

En la parte i, son valores propios. Elija los vectores propios correspondientes { x _n }.

Definimos Y _n = span { x ₁ ... x _n }. La sucesión { Y _n } es una sucesión estrictamente creciente. Elegimos vectores unitarios tales que y _n ∈ Y ⁿ y d ( y _n , Y ^{n − 1} ) > ½. Entonces, para n < m

${\displaystyle \left\|Cy_{n}-Cy_{m}\right\|=\left\|(C-\lambda _{n})y_{n}+\lambda _{n}y_{n}-(C-\lambda _{m})y_{m}-\lambda _{m}y_{m}\right\|.}$

Desde${\displaystyle (C-\lambda _{n})y_{n}\in Y_{n-1}\subset Y_{m-1},\;\lambda _{n}y_{n}\in Y_{n}\subset Y_{m-1},\;(C-\lambda _{m})y_{m}\subset Y_{m-1}}$, tenemos

${\displaystyle (C-\lambda _{n})y_{n}+\lambda _{n}y_{n}-(C-\lambda _{m})y_{m}\in Y_{m-1},}$

por lo tanto${\displaystyle \|}$Cy _n − Cy _m${\displaystyle \|}$> ε /2, una contradicción. ▮

iv ) Por iii) y el teorema de Cantor-Bendixson . ▮

v ) Si${\displaystyle \sigma (C)}$no contiene cero, entonces${\displaystyle C}$tiene una inversa acotada, por lo tanto${\displaystyle I=C^{-1}C}$es compacto, por lo tanto${\displaystyle X}$es de dimensión finita. ▮

vi ) Al igual que en el caso de la matriz, se trata de una aplicación directa del cálculo funcional holomorfo . ▮