Grupo índice

En la teoría de operadores , una rama de las matemáticas, cada álgebra de Banach puede asociarse con un grupo llamado su grupo de índices abstractos .

Sea A un álgebra de Banach y G el grupo de elementos invertibles en A. El conjunto G es abierto y un grupo topológico . Consideremos el componente identidad.

G ₀ ,

o en otras palabras, el componente conexo que contiene la identidad 1 de A ; G ₀ es un subgrupo normal de G. El grupo cociente

Λ _A = G / G ₀

es el grupo de índices abstracto de A. Debido a que G ₀ , al ser componente de un conjunto abierto, es a la vez abierto y cerrado en G , el grupo de índices es un grupo discreto .

Sea L ( H ) el álgebra de Banach de operadores acotados en un espacio de Hilbert. El conjunto de elementos invertibles en L ( H ) es conexo por caminos. Por lo tanto, Λ _{L ( H )} es el grupo trivial.

Sea T el círculo unitario en el plano complejo. El álgebra C ( T ) de funciones continuas de T a los números complejos es un álgebra de Banach, con la topología de convergencia uniforme. Una función en C ( T ) es invertible (lo que significa que tiene un inverso multiplicativo puntual , no que sea una función invertible ) si no asigna a cero ningún elemento de T. El grupo G₀ consta de elementos homotópicos , en G , a la identidad en G , la función constante 1. Se pueden elegir las funciones fₙ ₍ z ) = zₙ como representantes en G de distintas clases de homotopía de aplicaciones _T → T. Así , el grupo de índices ΛC ⁽ _{T ) es el} conjunto de clases de homotopía, indexadas por el número de vueltas de sus miembros. Por lo tanto, ΛC _{( T ) es} isomorfo al grupo fundamental de T. Es un grupo discreto numerable.

El álgebra de Calkin K es el álgebra cociente C* de L ( H ) con respecto a los operadores compactos . Supongamos que π es la aplicación cociente. Por el teorema de Atkinson , un elemento invertible en K es de la forma π( T ), donde T es un operador de Fredholm . El grupo de índices Λ _K es nuevamente un grupo discreto numerable. De hecho, Λ _K es isomorfo al grupo aditivo de enteros Z , a través del índice de Fredholm . En otras palabras, para los operadores de Fredholm, las dos nociones de índice coinciden.

• Zhu, Kehe (1993). Introducción a las álgebras de operadores , CRC Press, Boca Raton, LA, OCLC 27680761